Dạng tổng hợp về phương trình bậc hai – Phương trình chưa tham số

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Dạng 2: Dạng tổng hợp về phương trình bậc hai – Phương trình chưa tham số

Bài 1: Cho phương trình : m 2x 2 1 2 2 x m2

a) Giải phương trình khi m 2 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 3 2 c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất Bài 2: Cho phương trình : m 4 x  22mx m 2  0 (x là ẩn )

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 .Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt

c) TÝnh x12x22 theo m

Bài 3: Cho phương trình : x22 m 1 x m 4     0 (x là ẩn ) a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M =x 1 x1  2x 1 x2  1 không phụ thuộc vào m.

Bài 4: Tìm m để phương trình

a) x2x2m10 có hai nghiệm dương phân biệt b) 4x22x m 1 0   có hai nghiệm âm phân biệt

c) m21 x 22 m 1 x 2m 1 0      có hai nghiệm trái dấu Bài 5: Cho phương trình : x2a 1 x a   2  a 2 0

a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x12x22 đạt giá trị nhỏ nhÊt

Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:1 1 1

bc 2. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm x2 + bx + c = 0 và x2 + cx + b = 0

Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:

2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bài 8: Cho phương trình : 2x22mx m 2 2 0

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình

Bài 9: Cho phương trình bậc hai tham số m : x24x m 1 0   a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện x21x22 = 10 Bài 10: Cho phương trình x22 m 1 x 2m 5     0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bài 11: Cho phương trình x22 m 1 x 2m 10     0 (với m là tham số )

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình

b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

c) Tìm giá trị của m để 10x x1 2x21x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 12: Cho phương trình m 1 x  22mx m 1 0   với m là tham số a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt  m 1

b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: 1 2

2 1

x x 5

x  x 20 Bài 13: Cho phương trình: x2mx m 1 0   (m là tham số)

a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng

b) Đặt Ax21x226x x1 2. Chứng minh Am28m 8 .

c) Tìm m để A = 8 và tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.

d) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

Bài 14: Giả sử phương trình a.x2bx c 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Đặt Sn xn1 xn2 (n nguyên dương)

a) Chứng minh: a.Sn 2 bSn 1 cSn0 b) áp dụng Tính giá trị của : A=

5 5

1 5 1 5

2 2

     

   

   

   

Bài 15: Cho f(x) = x2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1

a) CMR phương trình f(x) = 0có nghiệm với mọi m

b) Đặt x = t + 2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0có 2 nghiệm lớn hơn 2

Bài 16: Cho phương trình: x22 m 1 x m    24m 5 0

a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương

c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau

d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính x12x22 theo m

Bài 17: Cho phương trình x24x 3 8 0 có hai nghiệm là x1; x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức :

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

6x 10x x 6x

M 5x x 5x x

 

 

Bài 18: Cho phương trình x22 m 2 x m 1 0      a) Giải phương trình khi m =1

2

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để : x (1 2x ) x (1 2x )1  2  2  1 m2 Bài 19: Cho phương trình x2mx n 3  0 (1) (n , m là tham số)

a) Cho n = 0 . CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ : 21 22

1 2

x x 1

x x 7

 



  

 Bài 20: Cho phương trình: x22 k 2 x 2k 5     0 ( k là tham số)

a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của k sao cho x12x22 18

Bài 21: Cho phương trình 2m 1 x  2 4mx 4 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Giải phương trình (1) khi m bất kì

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m Bài 22: Cho phương trình: x22m 3 x m   23m0

a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1 x 1x26 Bài 23: Cho phương trình x22mx 2m 1 0  

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.

b) Đặt A = 2(x12x ) 5x x22  1 2. CMR A = 8m218m 9 . Tìm m sao cho A = 27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia

Bài 24: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0 Bài 25: Giải và biện luận phương trình: (m - 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Bài 26: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất

a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c) x2 + ( 3 5)x - 15 = 0 d) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0 Bài 27: Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Bài 28: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x2 – 3x – 7 = 0

a) TÝnh: A = x12 + x22 B = x1x2 C=

1 2

1 1

x 1x 1

  D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) b) Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là

1

1 x 1 và

2

1 x 1

Bài 29: Cho phương trình: x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)

a) Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b) Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu c) Gọi x1, x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0

Bài 30: Cho phương trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = -5

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

c) Tìm m để x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là ha1 nghiệm của phương trình (1) nói trong phÇn b)

Bài 31: Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = - 9

2

b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.

Bài 32: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số . a) Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1)

b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.

c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.

Bài 33: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số a) Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép

b) Tìm k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10

Bài 34: Cho phương trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: a) x12 + x22 b) x1 x1x2 x2

c)  

   

2 2

1 2 1 x 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

x x x x x x

x x 1 x x 1

  

   .

Bài 35: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

a) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình).

Bài 36: Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8.

Bài 37: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.

a) Giải phương trình với m = 0.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4.

Bài 38: Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1).

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tính B = x13 + x23. Bài 39: Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23  0.

Bài 40: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 41: Cho phương trình (2m - 1)x2 - 2mx + 1 = 0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1, 0)

Bài 42: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:

a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0 và 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.

b) 2x2 + mx – 1 = 0 và mx2 – x + 2 = 0.

c) x2 – mx + 2m + 1 = 0 và mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0.

Bài 43: Xét các phương trình sau: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2)

Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm chung duy nhÊt.

Bài 44: Cho hai phương trình: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) và x2 – mx + 10m = 0 (2)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình (1)

Bài 45: Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0

a) Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

b) Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương.

Bài 46: Cho hai phương trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2) a) Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

b) Định m để hai phương trình tương đương.

c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt Bài 47: Cho các phương trình: x2 – 5x + k = 0 (1) và x2 – 7x + 2k = 0 (2)

Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phương trình (1).

Bài 48: Cho pt: x2  (2 m  3) x  m2  3 m   2 0

a) Giải pt trên khi m = 1

b) Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?

c) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để x12  x22  1

e) Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?