Công thức thức Little
Để tìm thời gian trễđi qua hàng đợi, bao gồm thời gian xếp hàng chờđược phục vụ cộng với thời gian phục vụ, chúng ta sẽ dùng một công thức đơn giản là công thức Little, đó là tên của người đầu tiên đã chứng minh công thức. Công thức được phát biểu như sau: một hệ thống hàng đợi có tốc độđến trung bình λ và thời gian trễ
trung bình khi đi qua hệ thống hàng đợi E(T), sẽ có chiều dài trung bình:
E(n) = λE(T) (2-8)
Áp dụng công thức Little để tính thời gian trễ trung bình khi đi qua hàng đợi
Bằng cách kết hợp (2-7) và (2-8), chúng ta nhận được thời gian trễ trung bình khi
đi qua hàng đợi M/M/1:
E(T) = E(n)/λ = 1/µ/(1-ρ) (2-9) Nếu chúng ta định nghĩa độ trễ chuẩn hoá là tỉ số của thời gian trễ trên thời gian phục vụ một gói số liệu: E(T)/1/µ = µE(T), thì theo (2-9), µE(T) =1/(1-ρ). Đường cong biểu diễn sự thay đổi của µE(T) theo ρ được thể hiện trên hình 2.4. Trong miền ρ lớn (tiến gần tới 1), nó có dạng giống đường cong biểu diễn sự thay đổi của E(n) theo ρ, đã được vẽ trên hình 2.3.
Cho ρ <<1, ta sẽ nhận được E(T) =1/µ, đó cũng chính là thời gian phục vụ trung bình một gói số liệu. Đây là trường hợp, tính trung bình có một số ít gói số liệu ở
không phải chờ, do đó thời gian trễ hầu như chỉ bao gồm thời gian phục vụ (tức thời gian truyền một gói số liệu vào mạng).
Khi lưu lượng đến tăng lên (λ tăng), dẫn đến tải chuẩn hoá ρ tăng lên, E(T) bắt
đầu tăng lên nhanh chóng. Thí dụ cho ρ=0.5, độ trễđược chuẩn hoá µE(T)=2, nghĩa là độ trễ trung bình E(T)=2/µ, gấp đôi thời gian phục vụ; nói cách khác, thời gian trung bình mà gói số liệu phải chờđể được phục vụ bằng thời gian phục vụ trung bình. Nếu cho ρ=0.8, E(T)=5/µ, như vậy tính trung bình gói số liệu phải chờ trong khoảng thời gian 4/µ, lâu gấp bốn lần thời gian phục vụ trung bình 1/µ.
Hình 2.4 Thời gian trễ chuẩn hoá thay đổi theo tải chuẩn hoá, hàng đợi M/M/1 Từ sự so sánh các hình 2.2, 2.3 và 2.4, chúng ta có thể rút ra một số nhận xét về
hiệu năng hàng đợi:
• Khi tải của hệ thống tăng lên, thông lượng cũng tăng lên; đây là một tính chất mà chúng ta mong muốn.
• Khi tải của hệ thống tăng lên, số gói số liệu trung bình nằm trong hàng đợi E(n) cũng tăng lên, dẫn đến thời gian trễ trong hàng đợi tăng lên; đồng thời xác suất gói số liệu bị chặn khi đến hàng đợi cũng tăng lên; đây là tính chất chúng ta không mong muốn.
Trên thực tế, chúng ta mong muốn đạt được thông lượng càng lớn càng tốt và thời gian trễ trong hàng đợi càng nhỏ càng tốt; tuy nhiên, hai đòi hỏi này trái ngược nhau, không thểđạt được đồng thời; chính vì vậy cần phải có một sự thoả hiệp. Để
biểu diễn sự thoả hiệp, người ta đưa ra một đại lượng gọi là “Công suất” (Power), nó kết hợp hai biến hiệu năng là thông lượng và độ trễ vào thành một độ đo duy nhất. Điểm làm việc tối ưu là điểm có “Công suất” cực đại, đó là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua gốc toạđộ với đường cong µE(T) =1/(1-ρ). Khái niệm “Công suất” và cách tìm giá trị cực đại của nó được trình bày tại Chương 3, mục “3.3 Hiệu năng của cơ chếđiều khiển lưu lượng bằng cửa sổ trượt”