Trong tiết này chúng tôi mở rộng kết quả của K. Divaani-Aazar và P. Schenzel [17] từ trường hợp R đầy đủ sang trường hợp môđun HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Chú ý rằng tồn tại miền nguyên Noether địa phương không đầy đủ R và một iđêan I của R sao cho HId(M) khác 0 và thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố (xem Nhận xét 3.1.3). Trước hết, từ Định lý 3.1.2, chúng ta có hệ quả sau về mối liên hệ giữa tập AssR(I, M) và AttRHId(M).
Hệ quả 3.2.1. Cho AssR(I, M) như trong Kí hiệu 3.1.1. Khi đó ta có
(i) AssR(I, M) ⊆ AttRHId(M). Đặc biệt, nếu AssR(I, M) 6= ∅ thì
HId(M) 6= 0.
(ii) Giả sử rằng AssR(I, M) = ∅. Khi đó HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố khi và chỉ khi HId(M) = 0.
Chứng minh. (i) Lấy p ∈ AssR(I, M). Khi đó p ∈ AssRM, dim(R/p) = d
và √I +p = m. Lấy P ∈ Ass
b
R(R/pb Rb) sao cho dim(R/Pb ) = d. Suy ra
P∩ R = p. Theo Bổ đề 2.1.1(i), P ∈ Ass
b
RM .c Lấy Q ∈ Spec(Rb) sao cho
Q ⊇ IRb+P. Khi đó Q∩R ⊇ I + p. Do đó Q ⊇ mR.b Suy ra q IRb+P = \ Q⊇IRb+P Q = mR.b Vì thế P ∈ Att b
RHId(M) theo Mệnh đề 1.2.11. Suy ra p ∈ AttRHId(M) theo Mệnh đề 1.1.4. Do đó AssR(I, M) ⊆AttRHId(M).Khẳng định còn lại được suy ra ngay từ Mệnh đề 1.1.2(i).
(ii) Giả sửAssR(I, M) =∅.Rõ ràng nếuHI(M) = 0thìHI(M)thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Giả sửHId(M) 6= 0. Khi đó tồn tạip ∈ AttRHId(M) theo Mệnh đề 1.1.2(i). Vì thế, theo Mệnh đề 1.1.4, tồn tại P ∈ Att
b
RHId(M) sao cho P∩ R = p. Suy ra P ∈ Ass
b
RMc và dimR/Pb = d theo Mệnh đề 1.2.11. Do đó p ∈ AssRM vàdimR/p= d.Nếu HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì √I +p = m theo Định lý 3.1.2, do đó p ∈ AssR(I, M).
Điều này là không thể. Vậy khẳng định (ii) được chứng minh. Hệ quả sau đây là kết quả chính của tiết này.
Hệ quả 3.2.2. Nếu HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì AttRHId(M) = p ∈ AssRM | dim(R/p) =d,pI +p = m .
Chứng minh. Cho AssR(I, M) được xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Khi đó Ass(I, M) ⊆ AttRHId(M) theo Hệ quả 3.2.1(i). Lấy p ∈ AttRHId(M).
Khi đó p ∈ AssRM và dim(R/p) = d. Vì HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên √I +p = m theo Định lý 3.1.2. Vì thế p ∈ Ass(I, M). Do đó
AttRHId(M) = AssR(I, M)
= p ∈ AssRM | dim(R/p) =d,pI +p = m .
ở chương trước, chúng ta đã nghiên cứu vấn đề chuyển iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp tùy ý với giá cực đại
Hmi (M) qua đầy đủ m-adic. Sau đây, chúng ta tiếp tục nghiên cứu vấn đề đó cho các môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý trong mối liên hệ với tính bão hòa nguyên tố và tính không trộn lẫn của vành. Chú ý rằng, vành R được gọi là không trộn lẫn nếu dimR/Pb = dimRb với mọi
Mệnh đề 3.2.3. ChoAssR(I, M) được xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Att b RHId(M) = [ p∈AttRHd I(M) Ass b R(R/pb Rb);
(ii) HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố và R/p không trộn lẫn với mọi p ∈ AssR(I, M).
Chứng minh. (i)⇒(ii). Lấy q ∈ Var(AnnRHId(M)). Theo Mệnh đề 1.1.2(ii) tồn tại p ∈ AttRHId(M) sao cho p ⊆ q. Lấy Q ∈ Ass(R/qb Rb) sao cho
Q ∩ R = q. Vì ánh xạ tự nhiên R → Rb thỏa mãn Định lý đi xuống nên tồn tại P ∈ Spec(Rb) sao cho P ⊆ Q và P∩ R = p. Do P ⊇ pRb nên tồn tại P0 ∈ min Ass
b
R(R/pb Rb) sao cho P0 ⊆ P. Vì p ∈ AttRHId(M) nên áp dụng giả thiết (i) ta có P0 ∈ Att
b RHId(M). Suy ra P0 ⊇ Ann b RHId(M) theo Mệnh đề 1.1.2(ii) và do đó Q ⊇ Ann b RHId(M). Vì Rb-môđun HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên ta có Ann
b R(0 :Hd I(M) Q) = Q. Do vậy q⊆ AnnR(0 :Hd I(M) q) ⊆ Ann b R(0 :Hd I(M) Q)∩ R = Q∩R = q. Suy ra AnnR(0 :Hd
I(M) q) = q. Do đóHId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố.
Lấy p ∈ AssR(I, M). Khi đó p ∈ AttRHId(M) theo Hệ quả 3.2.1(i). Lấy P ∈ Ass
b
R(R/pb Rb). Theo giả thiết (i), ta có P ∈ Att
b
RHId(M). Suy ra dim(R/Pb ) = d theo Mệnh đề 1.2.11. Vì thế R/p là không trộn lẫn.
(ii)⇒(i). Lấy P ∈ Att
b
RHId(M). Đặt p = P∩R. Khi đó p ∈ AttRHId(M) theo Mệnh đề 1.1.4 và dim(R/Pb ) = d theo Mệnh đề 1.2.11. Từ đó suy ra dim(R/p) = d. Do đó P∈ Ass
b
R(R/pb Rb).
Ngược lại, lấy p ∈ AttRHId(M) và P ∈ Ass
b
R(R/pb Rb). Vì HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên ta có p ∈ AssR(I, M) theo Hệ quả 3.2.2. Vì thế p ∈ AssRM, dim(R/p) = d và √I +p = m. Suy ra
P ∈ Ass
b
RMctheo Bổ đề 2.1.1(i). Vì R/p không trộn lẫn theo giả thiết (ii) nên dim(R/Pb ) = dim(R/p) = d. Do √I +p = m nên qP+IRb = mR.b
Vì thế P∈ Att
b
RHId(M) theo Mệnh đề 1.2.11. 3.3 Đối giá và số bội
Cho p ∈ Spec(R). Trong [53], K. E. Smith đã nghiên cứu hàm tử "đối ngẫu với địa phương hóa"
Fp(−) = HomR HomR(−, E(R/m)), E(R/p)
từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun, trong đó E(−) là bao nội xạ . Chú ý rằng hàm tử Fp là khớp, tuyến tính, Fp(A) 6= 0khi và chỉ khi p ⊇AnnRA, và khi R là đầy đủ thì Fp(A) là Artin với bất kì R-môđun Artin A.
Mệnh đề 3.3.1. Cho p ∈ Spec(R) và Fp(−) là hàm tử đối ngẫu với địa phương hóa ở trên. Cho N xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Giả sử rằng R
là đầy đủ. Khi đó
Fp(HId(M)) ∼= Hd−dim(R/p)
pRp (M/N)p.
Chứng minh. Vì vànhRlà đầy đủ nên theo Mệnh đề 1.4.7, HId(M)thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Vì thế theo Hệ quả 3.2.2 ta có
AttRHId(M) = AssR(I, M) = AssR(M/N).
Nếu HId(M) = 0 thì M/N = 0 và do đó đẳng cấu trên luôn thỏa mãn. Giả sử HId(M) 6= 0. Khi đó dimM/N = d.
Nếu p 6⊇ AnnRHId(M) thì Fp(HId(M)) = 0 theo Bổ đề 2.3.4 và (M/N)p = 0. Vì thế đẳng cấu trong Mệnh đề 3.3.1 luôn thỏa mãn.
Xét trường hợp p ⊇ AnnR(HId(M)). Kí hiệu K(M/N) := Kd(M/N) (xem Bổ đề 2.1.5). áp dụng đối ngẫu Matlis và Định lý 2.1.5, với chú ý rằng
R là đầy đủ, ta có
D(Hmd(M/N)) ∼= D(D(K(M/N))) ∼= K(M/N). Từ đẳng cấuER(R/p) ∼= E
Rp(Rp/pRp)như cácRp-môđun ta suy raRp-đẳng cấu
HomR K(M/N), E(R/p) ∼= Hom
Rp (K(M/N))p, E(Rp/pRp).
Chú ý rằng dim(M/N)p = d − dimR/p do p ⊇ AnnR(M/N) và R là catenary. Vì thế, theo P. Schenzel [51, Mệnh đề 2.2] ta có
(K(M/N))p ∼= K((M/N)
p) = Kd−dimR/p((M/N)p).
Do đó theo Định lý 2.1.5 ta có
HomRp Kd−dimR/p((M/N)p), E(Rp/pRp) ∼= Hd−dimR/p
pRp (M/N)p.
Vì thế
Fp(HId(M)) ∼= Hd−dim(R/p)
pRp (M/N)p.
Mệnh đề 3.3.1 gợi ý chúng tôi đưa ra khái niệm tập đối giá của môđun đối đồng điều địa phương HId(M) như sau.
Định nghĩa 3.3.2. Cho N xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Tập đối giá của
HId(M), kí hiệu là CosR(HId(M)), được cho bởi công thức CosR(HId(M)) = p∈ Spec(R) | HpdR−dim(R/p)
p (M/N)p 6= 0 .
Bổ đề dưới đây cho ta mối quan hệ giữa tập đối giá CosR(HId(M)) và tập Var(AnnRHId(M)).
Chứng minh. Cho AssR(I, M) và N xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Lấy
p ∈ CosR(HId(M)).Suy ra HpdR−dim(R/p)
p (M/N)p 6= 0.Theo Mệnh đề 1.1.2(i) tồn tại qRp ∈ AttRp HpdR−dim(R/p)
p (M/N)p. áp dụng Định lý 1.2.9 ta suy ra
q ∈ AttRHmd(M/N). Vì thếq∈ AssR(M/N)theo Định lý 1.2.8. Chú ý rằng AssR(M/N) = AssR(I, M) nên q ∈ AssR(I, M). Suy ra q ∈ AttRHId(M) theo Hệ quả 3.2.1(i) và do đó q⊇ AnnRHId(M)theo Mệnh đề 1.1.2(ii). Chú ý rằng q⊆ p. Vậy p ∈ Var(AnnRHId(M)).
Kí hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Khi đó AssRM/UM(0) = {p ∈ AssRM | dimR/p = d}. Bổ đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa khái niệm tập đối giá với khái niệm tập giả giá được định nghĩa bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp [4].
Bổ đề 3.3.4. Cho R-môđun N xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Khi đó (i) CosR(HId(M)) = PsuppdR(M/N);
(ii) CosR(Hmd(M)) = PsuppRd(M/UM(0)) = PsuppdR(M).
Chứng minh. (i) Theo định nghĩa 3.3.2 ta có
CosR(HId(M)) = p∈ Spec(R) | HpdR−dim(R/p)
p (M/N)p 6= 0 = PsuppdR(M/N).
(ii) Trong Kí hiệu 3.1.1, thayI = m ta được
AssR(m, M) = {p∈ AssR(M) | dimR/p = d} = AssRM/UM(0).
Suy ra N = UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Do đó CosR(Hmd(M)) = PsuppdR(M/UM(0)). Từ dãy khớp
ta suy ra dãy khớp
0 →(UM(0))p → Mp → (M/UM(0))p → 0.
Vì dimUM(0) < d nên dim(UM(0))p < d−dimR/p. Do đó ta có dãy 0 →HpdR−dim(R/p) p (Mp) → HpdR−dim(R/p) p (M/UM(0))p →0. Vì thế ta có Rp-đẳng cấu HpdR−dim(R/p) p (Mp) ∼= Hd−dim(R/p) pRp (M/UM(0))p.
Do đó PsuppdR(M/UM(0)) = PsuppdR(M).
Định lý sau đây đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương HId(M) thông qua tập đối giá CosR(HId(M)).
Định lý 3.3.5. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; (ii) CosR(HId(M)) = Var(AnnRHId(M)).
Chứng minh. (i)⇒(ii). Cho AssR(I, M) và N được xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Vì HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên ta có đẳng cấu
HId(M) ∼= Hd
m(M/N) theo Định lý 3.1.2. Suy ra Hmd(M/N) cũng thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Vì thế theo Định lý 1.4.13 và Bổ đề 3.3.4 ta có
Var AnnRHmd(M/N) = PsuppdR(M/N) = CosR(HId(M)).
Do đó Var AnnRHId(M)= Var AnnRHmd(M/N)= CosR(HId(M)).
(ii)⇒(i). Cho q ⊇ AnnR(HId(M)). Khi đó q ∈ CosR(HId(M)) theo giả thiết (ii) và do đó HqdR−dim(R/q)
q (M/N)q 6= 0. Lấy Q ∈ Ass(R/qb Rb) sao cho dim(R/Qb ) = dim(R/q). Khi đó Q ∩ R = q và Q là iđêan nguyên tố tối tiểu của qR.b Vì ánh xạ cảm sinh Rq → RbQ là phẳng hoàn toàn nên ta có
Hd−dim(R/b Q)
QRbQ
\
(M/N)Q ∼= Hd−dim(R/q)
Với mỗi p∈ AssRM, vì Ass(M/N(p)) = {p} nên theo Bổ đề 2.1.1 ta có Ass b R(M /c N[(p)) = Ass b R(M/N\(p)) = Ass b R(R/pb Rb).
Vì thếN[(p)có phân tích nguyên sơ thu gọn làN[(p) = \
P∈Ass
b
R(R/b pRb)
K(p,P), trong đó K(p,P) là môđun con P-nguyên sơ của Mc. Vì R → Rb là đồng cấu phẳng và mỗi N(p) đều là môđun con của M nên theo [33, Định lý 7.4] ta có 0 = ( \ p∈AssRM N(p))⊗R Rb = \ p∈AssRM (N(p)⊗R Rb) = \ p∈AssRM [ N(p) = \ p∈AssRM P∈Ass b R(R/b pRb) K(p,P). Chú ý rằng Ass b RR/pb Rb∩Ass b
RR/qb Rb = ∅với mọi p,q∈ AssRM thỏa mãn
p 6= q. Vì thế các iđêan nguyên tố P là đôi một phân biệt. Giả sử Ass
b RMc có m phần tử. Vì Ass b RMc = [ p∈AssM Ass b R(R/pb Rb) nên [ p∈AssM Ass b R(R/pb Rb) cũng có m phần tử theo Bổ để 2.1.1(i). Vì thế nếu thành phần K(p,P) nào đó là thừa trong phân tích trên của 0 thì bằng cách rút gọn các thành phần thừa trong phân tích nguyên sơ 0 = T
p∈AssRM
P∈Ass
b
R(R/b pRb)
K(p,P) ta được một phân tích nguyên sơ thu gọn của 0 với ít hơn m thành phần, điều này vô lý. Do đó 0 = \
p∈AssRM
P∈Ass
b
R(R/b pRb)
K(p,P) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun
con 0 của M .c Tương tự ta cũng có
b N = \ p∈AssR(I,M) P∈Ass b R(R/b pRb) K(p,P)
là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con Nb củaM .c Kí hiệu K1 là giao của tất cả các thành phần nguyên sơ K(p,P) trong đóp ∈ AssR(I, M)
và P ∈ Ass
b
R(R/pb Rb) sao cho dim(R/Pb ) = d. Rõ ràng K1 ⊇ Nb. Kí hiệu U
c
M /Nb(0) là môđun con lớn nhất của M /c Nb có chiều nhỏ hơn d. Vì AssR(I, M) = AssR(M/N) nên theo Bổ đề 2.1.1 ta có
Ass b RM /c Nb = {P ∈ Ass b R(R/pb Rb) | p ∈ AssR(I, M)}. Suy ra U c M /Nb(0) = \ p∈AssR(I,M) P∈Ass b R(R/b pRb),dimR/b P=d K(p,P)/Nb = K1/N .b
Vì thếdim(K1/Nb)Q ≤ dim(K1/Nb)−dim(R/Qb ) < d−dim(R/Qb ).Từ dãy khớp 0 →K1/Nb → M /c Nb →M /Kc 1 →0 ta suy ra dãy khớp
0 →(K1/Nb)Q →(M /c Nb)Q →(M /Kc 1)Q → 0.
Tác động hàm tử đối đồng điều địa phương vào dãy khớp này ta được đơn cấu 0→ Hd−dim(R/b Q) QRbQ \ (M/N)Q → Hd−dim(R/b Q) QRbQ (M /Kc 1)Q. Từ (1) ta suy ra Hd−dim(R/b Q) QRbQ (M /Kc 1)Q 6= 0. (2) Như trong Kí hiệu 3.1.1, đặt
Ass b R(IR,b Mc) = P∈ Ass b RMc|dim(R/Pb ) = d, q IRb+P = mRb .
Khi đó theo Bổ đề 2.1.1(ii) ta có Ass b R(IR,b Mc) = P ∈ Ass b R(R/pb Rb) | p ∈ AssRM,dim(R/Pb ) = d, q IRb+P = mRb . Đặt K2 = \ P∈Ass b R(IR,bMc)
K(p,P). Vì qIRb+ P = mRb với mọi iđêan
P ∈ [ p∈AssR(I,M) Ass b R(R/pb Rb) nên ta suy ra Ass b R(IR,b Mc) ⊇ P ∈ Ass b R(R/pb Rb) | p ∈ AssR(I, M),dim(R/Pb ) = d .
Do đó K2 ⊆ K1. Vì dimK1/K2 ≤d nên ta có
dim(K1/K2)Q ≤ dimK1/K2 −dimR/Qb ≤ d−dimR/Q.b
Từ dãy khớp 0→ K1/K2 → M /Kc 2 → M /Kc 1 →0 ta có toàn cấu Hd−dim(R/b Q) QRbQ (M /Kc 2)Q → Hd−dim(R/b Q) QRbQ (M /Kc 1)Q → 0. Do đó từ (2) ta suy ra Hd−dim(R/b Q) QRbQ (M /Kc 2)Q 6= 0. Điều này dẫn đến Q ∈ Cos b R(Hd IRb(Mc)). Vì Cos b R(Hd IRb(Mc)) ⊆ Var Ann b R(Hd IRb(Mc)) theo Bổ đề 3.3.3 nên ta có Q ⊇ Ann b R(Hd IRb(Mc)). Do Hd IRb(Mc) ∼= Hd I(M) và Hd
IRb(Mc) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên ta có Ann b R(0 :Hd I(M) Q) = Ann b R(0 :Hd IRb(Mc) Q) =Q. Do đó q⊆ AnnR(0 :Hd I(M) q) ⊆ Ann b R(0 :Hd I(M) Q)∩ R = Q∩R = q. Suy ra AnnR(0 :Hd
I(M) q) = q. Vậy HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố.
Nhận xét 3.3.6. Định lý 3.3.5 cho ta thấy nếu HId(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì đối giá của nó là một tập con đóng của Spec(R) trong tôpô Zariski. Chú ý rằng CosR(HId(M)) vẫn có thể không đóng ngay cả khi
I = m (xem [4, Ví dụ 3.2]). Nhìn chung, nếu R/AnnRHmd(M) không là vành catenary thì tập CosR(Hmd(M)) không đóng (xem [38, Hệ quả 3.4]).
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng thậm chí khi R là thương của vành chính quy địa phương và CosR(HId(M)) là đóng, HId(M) có thể không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố.
Ví dụ 3.3.7. Cho K là một trường có đặc số 0. Kí hiệu S = K[X1, X2, X3] là vành các đa thức trên K. Đặt n = (X1, X2, X3), a = (X22 −X12 −X13),
b = (X2)vàc = a∩b.Kí hiệuxilà ảnh củaXitrongS/c. ChoR = (S/c)n/c,
m = (x1, x2, x3)R và
I = (x1 +x2 −x2x3)R+ (x3 −1)2(x1 + 1)−1R.
Khi đó (R,m) là vành Noether địa phương có chiều dimR = 2 và (i) AttRHI2(R) = {aR,bR};
(ii) Var(AnnRHI2(R)) = Spec(R) và CosR(HI2(R)) = Var(bR); (iii) HI2(R) không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố.
Chứng minh. Chú ý rằng R/aR là miền nguyên (xem [3, 8.2.9]). Rõ ràng
R/bR là miền nguyên. Vì thế Ass(R) = {aR,bR}. Do đó dimR = 2. (i). Xét dãy khớp
0→ R/(aR∩bR) →f R/aR⊕R/bR →g R/(aR+bR) →0
trong đó, với mỗi x, y ∈ R, f(x + aR ∩ bR) = (x + aR, x + bR) và
g(x+aR, y+bR) =x−y+aR+bR.Vì aR∩bR = 0 nên ta có dãy khớp 0→ R →R/aR⊕R/bR → R/(aR+bR) → 0.
Do a+b = (X2, X22 −X12 −X13) = (X2,−X12 −X13) nên ta có dim((S/c)/((a+b)/c))n/c = dim(S/(a+b))n
= dim(S/(X2,−X12 −X13))n = 1.
Vì thế dimR/(aR+bR) = 1. Chú ý rằng hàm tử đối đồng điều địa phương là hiệp biến, tuyến tính và giao hoán với giới hạn thuận nên theo [4, 3.4.5, 3.4.10] ta có HI2(R/aR⊕R/bR) ∼= H2
I(R/aR)⊕HI2(R/bR). Từ đó ta suy ra dãy khớp
Do đó theo Mệnh đề 1.1.2(iii) ta có
AttR(HI2(R/aR)⊕HI2(R/bR)) ⊆AttRHI2(R).
Do HI2(R/aR) 6= 0 theo [4, 8.2.9] và Att
b
RHI2(R/aR) ⊆ Ass
b
R(R/ab Rb) theo Định lý 1.2.11 nên ta có
∅ 6= AttRHI2(R/aR) ⊆AssR(R/aR) ={aR}.
Vì thế AttRHI2(R/aR) = {aR}. Do I + bR là m-nguyên sơ nên ta có
HI2+bR(R/bR) ∼= H2
m(R/bR). Vì bR = AnnR(R/bR) nên theo Định lý 1.2.3 ta có HI2(R/bR) ∼= H2
m(R/bR). Chú ý rằng, theo Định lý 1.2.8 ta có AttRHI2(R/bR) = {bR}. Vì AttRHI2(R) ⊆ Ass(R) = {aR,bR} nên AttRHI2(R) = {aR,bR}.
(ii). Vì AttRHI2(R) = {aR,bR} = Ass(R) nên theo Mệnh đề 1.1.2 ta có Var(AnnRHI2(R)) = Spec(R).Chú ý rằng0 = aR∩bRlà phân tích nguyên sơ thu gọn của iđêan0củaR,dim(R/(I+bR)) = 0vàdim(R/(I+aR)) = 1 theo [4, 8.2.9]. Với M = R và kí hiệu N là môđun con của M được định nghĩa như trong kí hiệu 3.1.1, ta có AssR(I, R) = {bR}và N = bR. Suy ra
CosR(HI2(R)) = {p∈ Spec(R) | Hp2R−dim(R/p)
p (R/bR) 6= 0} = Psupp2R(R/bR).
DoRlà catenary nênHm2(R/bR)thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố theo Định lý 1.4.10. Do đó
Psupp2R(R/bR) = Var(AnnRHm2(R/bR)) = Var(bR) theo Định lý 1.4.12. Vậy CosR(HI2(R)) = Var(bR).
(iii). Vì CosR(HI2(R)) 6= Var(AnnRHI2(R)) nên từ Định lý 3.3.5 suy ra
HI2(R) không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố.
Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, nếu q là iđêan của R sao cho
một đa thức bậc dvới hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn. Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với q và được biểu diễn dưới dạng
ΣqM(n) = `R(M/qn+1M) = e(q, M)
d! n
d +đa thức có bậc nhỏ hơn d
khi n 0, trong đó e(q, M) là một số nguyên dương và được gọi là số bội của M ứng với q (xem [6, Mệnh đề 4.5.2]). Lí thuyết bội đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Một trong những tính chất cơ bản của số bội là công thức sau đây, được gọi là công thức liên kết của số bội (xem [6, Hệ quả 4.6.8])
e(q, M) = X
p∈SuppRM
dim(R/p)=d
`Rp(Mp)e(q, R/p).
Đối với R-môđun Artin A, theo suy nghĩ đối ngẫu, chúng ta cũng định nghĩa được số bội thông qua đa thức Hilbert-Samuel của A. Nhắc lại rằng, theo D. Kirby [27], nếu q là iđêan của R sao cho (0 :A q) có độ dài hữu hạn thì `R(0 :A qn+1) là một đa thức bậc N-dimRA với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn. Ta kí hiệu đa thức này là ΘqA(n). Đặt N-dimRA = s. Ta có biểu diễn
ΘqA(n) = `R(0 :A qn+1) = e
0(q, A)
s! n
s +đa thức có bậc nhỏ hơn s
khi n 0, trong đó e0(q, A) là một số nguyên dương. Ta gọi e0(q, A) là số bội của A ứng với q (xem[13], [4]). Trong [4], M. Brodmann và R. Y. Sharp đã giới thiệu khái niệm tập giả giá PsuppiR(M) và giả chiều thứ i, kí hiệu là psdi(M), để xây dựng thành công công thức bội liên kết cho môđun