Trong [46], R. N. Roberts đã giới thiệu khái niệm chiều Krull (kí hiệu là Kdim) cho môđun tùy ý và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho các môđun Artin. Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các môđun hữu hạn sinh, D. Kirby trong [28] đã đổi thuật ngữ của Roberts và đề xuất thành chiều Noether. Sau đây là khái niệm chiều Noether cho môđun Artin theo thuật ngữ của D. Kirby [28].
Định nghĩa 1.4.1. Chiều Noether của R-môđun Artin A, kí hiệu bởi N-dimRA, được định nghĩa như sau: khi A = 0, đặtN-dimRA = −1. Bằng quy nạp, cho một số nguyênd ≥ 0, ta đặtN-dimRA = dnếu N-dimRA < d
là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆ A1 ⊆. . . của A,tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d với mọi n > n0.
Như vậy N-dimRA = 0 khi và chỉ khi A 6= 0 và A là Noether. Trong trường hợp này,Acó độ dài hữu hạn. KhiN-dimRA > 0,nếu chỉ dùng Định nghĩa 1.4.1 thì rất khó có thể xác định được N-dimRA.Cần chú ý thêm, với mỗi R-môđun Artin A và mỗi iđêan q của R sao cho `R(0 :A q) < ∞, D. Kirby [27] đã chỉ ra rằng tồn tại một đa thức ΘqA(n)với hệ số hữu tỷ sao cho
`R(0 :A q ) = ΘA(n) khi n 0. Đa thức này, theo một nghĩa nào đó, là đối ngẫu với đa thức Hilbert - Samuel của môđun hữu hạn sinh và được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của môđun Artin A tương ứng với q. Trong [46], R. N. Roberts đưa ra kết quả quan trọng sau về chiều Noether của môđun Artin.
N-dimRA = deg(`R(0 :A qn+1))
= inf{t| ∃x1, . . . , xt ∈ m : `R(0 :A (x1, . . . , xt)R) < ∞}.
Kết quả này cho phép chúng ta có thể tính toán được chiều Noether, có thể định nghĩa các khái niệm hệ bội, hệ tham số, phần hệ tham số một cách tự nhiên và từ đó nghiên cứu số bội của môđun Artin. Kết quả này cũng cho ta thấy khái niệm chiều Noether trong nhiều khía cạnh có vai trò quan trọng đối với môđun Artin tương tự như vai trò của chiều Krull đối với môđun hữu hạn sinh. Tuy nhiên, có những kết quả về chiều Noether lại khác biệt so với chiều Krull. Chẳng hạn, chiều Noether của môđun Artin luôn hữu hạn ngay cả khi vành cơ sở R không là vành Noether, trong khi đó tồn tại vành Noether (không địa phương) với chiều Krull vô hạn (xem [36]).
Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa chiều Noether của môđun Artin
A và chiều Krull của vành R/AnnRA.
Mệnh đề 1.4.2. [11, Mệnh đề 2.5, Hệ quả 2.6] Các phát biểu sau là đúng: (i) N-dimR(A) = 0 nếu và chỉ nếu dimR/AnnRA = 0. Trong trường hợp này A có độ dài hữu hạn và R/AnnRA là vành Artin.
(ii) N-dimRA 6dim(R/AnnRA).
Chú ý rằng tồn tạiR-môđun ArtinAsao choN-dimRA < dim(R/AnnRA) (xem [11, Ví dụ 4.1]). Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiện nào của vành R hoặc của môđun Artin A ta có N-dimRA = dim(R/AnnRA)?
Mệnh đề 1.4.3. [11, Hệ quả 2.6] Nếu R đầy đủ thì N-dimRA = dim(R/AnnRA).
Chú ý rằng A có cấu trúc tự nhiên như Rb-môđun. Với cấu trúc này, mối quan hệ giữa chiều Noether của A trên R vàRb như sau.
Mệnh đề 1.4.4. [11, Nhận xét 2.3, Hệ quả 4.8] Ta có N-dimRA = dimR/b Ann
b
RA = N-dim
b
RA.
Theo Định lý 1.2.7, các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại
Hmi (M) là Artin với mọi số nguyên i. Vì thế chiều của các môđun này cũng luôn xác định và có các tính chất đã nêu ở trên. Ngoài ra, chiều của các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi(M) còn có mối liên hệ với cấp của môđun này.
Định lý 1.4.5. [11, Định lý 3.1, Hệ quả 3.6] Các phát biểu sau là đúng: (i) N-dimR(Hmi(M)) ≤ i.
(ii) N-dimR(Hmd(M)) = dimR/AnnR(Hmd(M)) = d.
Một trong những tính chất được quan tâm khi nghiên cứu môđun Artin là tính bão hòa nguyên tố, được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn trong [11] với tên gọi là tính chất (*). Ta đã biết AnnR(M/pM) = p với mỗiR-môđun hữu hạn sinh M và với mỗi iđêan nguyên tố p chứaAnnRM.
Xét tính chất tương tự AnnR(0 :A p) = p, với mọi p ⊇ AnnRA, cho môđun Artin A. Tính chất này nhìn chung không đúng (xem [11, Ví dụ 4.6]). Từ đó ta có định nghĩa sau (xem [11, Định nghĩa 4.3]).
Định nghĩa 1.4.6. MộtR-môđun ArtinAđược gọi là thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇AnnRA.
Rõ ràng AnnR(0 :A p) ⊇ p. Do đó A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố khi và chỉ khi AnnR(0 :A p) là bé nhất có thể, với mỗi iđêan nguyên tố
p ⊇ AnnRA. Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng tồn tại những môđun Artin thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố.
Mệnh đề 1.4.7. [11, Bổ đề 4.5] Athỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) R là đầy đủ;
(ii) A chứa một môđun con đẳng cấu với bao nội xạ của R/m.
Tính bão hòa nguyên tố ngày càng được quan tâm sử dụng nhiều trong việc nghiên cứu môđun Artin, môđun hữu hạn sinh và cấu trúc vành cơ sở (xem [10], [11], [38], [39], [60], [61]). Trước hết là kết quả của N. T. Cường và L. T. Nhàn [11] về mối liên hệ giữa tính bão hòa nguyên tố và chiều của môđun Artin.
Mệnh đề 1.4.8. [11, Mệnh đề 4.5] Nếu A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì dimR/AnnRA = N-dimRA.
Trong [11], họ cũng đưa ra ví dụ khẳng định chiều ngược lại của Mệnh đề 1.4.8 là không đúng (xem [11, Ví dụ 4.6]). Sau đó, H. Zăoschinger [61] đã đặc trưng vành cơ sở R để mọi R-môđun Artin đều thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Chú ý rằng ánh xạ tự nhiên R → Rb được gọi là thỏa mãn tính chất đi lên nếu với bất kì p,q ∈ Spec(R),Q ∈ Spec(Rb) thỏa mãn q⊆ p và
Q∩R = q, luôn tồn tại P ∈ Spec(Rb) thỏa mãn Q ⊆ P và P∩R = p.
Định lý 1.4.9. (Xem [61]) Đồng cấu tự nhiên R →Rb thỏa mãn tính chất đi lên khi và chỉ khi tính bão hòa nguyên tố được thỏa mãn cho mọi R-môđun Artin A.
N. T. Cường, N. T. Dung và L. T. Nhàn [10] đã chỉ ra mối liên hệ giữa tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan cực đại và tính catenary của vành cơ sở. Chú ý rằng, Hmd(M) là
Định lý 1.4.10. (Xem [10]) Các mệnh đề sau là tương đương: (i) Hmd(M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;
(ii) Vành R/AnnRHmd(M) là catenary.
Gần đây, L. T. Nhàn và T. N. An trong [39] đã nghiên cứu tính bão hòa nguyên tố cho các môđun Artin tựa không trộn lẫn trong mối liên hệ với tính catenary của vành cơ sở và chiều của các môđun Artin đó. Theo L. T. Nhàn và T. N. An [39], một R-môđun Artin A là tựa không trộn lẫn nếu dim(R/Pb ) = dim(R/b Ann
b
RA) với mọi P ∈ min Att
b
RA. Hơn nữa, nếu dim(R/Pb ) = dim(R/b Ann
b
RA) với mọi P ∈ Att
b
RA thì A được gọi là không trộn lẫn.
Định lý 1.4.11. [39, Định lý 1.1] Giả sử A là tựa không trộn lẫn. Nếu
A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì vành R/AnnRA là catenary và dim(R/AnnRA) = dim(R/b Ann
b
RA).
Chú ý rằng chiều ngược lại của Định lý 1.4.11 là không đúng (xem [39, Ví dụ 3.4]). Thay cho việc nghiên cứu tất cả các môđun Artin không trộn lẫn, L. T. Nhàn và T. N. An đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng điều địa phương Artin không trộn lẫn.
Định lý 1.4.12. [39, Định lý 1.2] Giả sử Hmi (M) là tựa không trộn lẫn. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố ;
(ii) dim(R/AnnR(Hmi(M))) = N-dim(Hmi(M)) và R/AnnR(Hmi(M)) là vành catenary.
Ngoài ra, tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi(M) còn được đặc trưng thông qua tập giả giá thứ i
hiệu bởi PsuppR(M), là tập hợp gồm các iđêan nguyên tố p của R sao cho
Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Khái niệm và tính chất của giả giá sẽ được trình bày
chi tiết hơn ở Chương 2.
Định lý 1.4.13. [38, Định lý 1.2] Cho số nguyên i ≥ 0. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; (ii) Var(AnnR(Hmi(M))) = PsuppiR(M).
Chương 2
Môđun đối đồng điều địa phương với giá
cực đại
Trong suốt chương này, luôn giả thiết(R,m)là vành Noether địa phương,
A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d. Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Kí hiệuRb vàMclần lượt là đầy đủm-adic củaR vàM. Mục tiêu của chương này là nghiên cứu việc chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi(M) qua đầy đủ m-adic trong mối liên hệ với tính catenary phổ dụng và các thớ hình thức Cohen-Macaulay của vành cơ sở. Cấu trúc của vành cơ sở còn được phản ánh qua sự tồn tại một đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun ArtinHmi(M)mà chúng tôi nghiên cứu trong phần cuối của chương này. Nội dung của chương này được trình bày dựa theo hai bài báo [7] và [41].
2.1 Chuyển iđêan nguyên tố gắn kết qua đầy đủ
Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố liên kết của M và tập các iđêan nguyên tố liên kết của Mcđược cho bởi hai công thức sau.
Bổ đề 2.1.1. (i) Ass b RMc= [ p∈AssM Ass b R(R/pb Rb);
(ii) AssRM = P∩R | P ∈ Ass
b
RMc .
Chứng minh. Khẳng định (i) được suy ra ngay từ [33, Định lý 23.2(ii)]. Cho
f : R →Rb là đồng cấu tự nhiên và fa : Spec(Rb) → Spec(R) là ánh xạ cảm sinh của f. Vì f là ánh xạ phẳng hoàn toàn nên theo [33, Định lý 7.3(i)], fa
là toàn ánh. áp dụng [33, Định lý 23.2(ii)] ta có {P∩ R | P ∈ Ass b RMc}= fa(Ass b RMc) = fa [ p∈AssRM Ass b R(R/pb Rb) = [ p∈AssRM fa Ass b R(R/pb Rb).
Theo [33, Định lý 23.2 (i)], fa Ass
b
R(R/pb Rb) = {p} với mỗi p∈ Spec(R). Vì thế
{P∩R | P ∈ Ass
b
RMc} = AssRM.
Cho Alà R-môđun Artin. Vì A có cấu trúcRb-môđun Artin nên tập iđêan nguyên tố gắn kết của A trên Rb luôn xác định. Trong [47, Bổ đề 4.6], R. Y. Sharp đã chứng minh mối quan hệ giữa hai tập AttRA và Att
b
RA được cho bởi công thức sau
AttRA = {P∩R | P ∈ Att
b
RA}.
Công thức này là đối ngẫu với công thức (ii) trong Bổ đề 2.1.1. Tuy nhiên đối ngẫu với công thức (i) trong Bổ đề 2.1.1
Att b RA= [ p∈AttRA Ass b R(R/pb Rb) (1)
nhìn chung không đúng, ngay cả khi A là môđun đối đồng điều địa phương
với giá cực đại. Sau đây là một ví dụ.
Ví dụ 2.1.2. ChoRlà miền nguyên Noether địa phương chiều 2 xây dựng bởi Ferrand và Raynaud [54] có tính chất tồn tại iđêan nguyên tốP ∈ AssRb sao
cho dim(R/Pb ) = 1. Khi đó theo Hệ quả 1.2.10 ta có P ∈ Att
b
RH1
mRb(Rb).
Hơn nữa, P ∩R ∈ AssR theo Bổ đề 2.1.1(ii). Vì vành R là miền nguyên nên AssR = {0}.Do đó P∩R = 0. Chú ý rằng theo Định lý 1.2.7, Hm1(R) làR-môđun Artin. Suy ra Hm1(R)có cấu trúc Rb-môđun Artin. áp dụng Định lý 1.2.4 ta có các Rb-đẳng cấu Hm1(R) ∼= H1 m(R)⊗R Rb ∼= H1 mRb(Rb). Vì thế P ∈ Att b
RHm1(R). Suy ra 0 = P∩ R ∈ AttRHm1(R) theo Mệnh đề 1.1.4. Vì dimRb = dimR = 2 nên tồn tại iđêan nguyên tố Q ∈ AssRb sao chodim(R/Qb ) = 2.Khi đóQ∩R = 0theo Bổ đề 2.1.1(ii). ĐặtA = Hm1(R) và p= 0. Theo kết quả vừa lập luận ta có p∈ AttRA vàQ ∈ Ass
b R(R/pb Rb). Chú ý rằng dimR/b Ann b R(Hm1(R)) = N-dim b R(Hm1(R)) ≤ 1 theo Mệnh đề 1.4.4 và Định lý 1.4.5. Vì thế dim(R/Pb ) ≤ 1 với mỗi P ∈ Att
b
RA theo Mệnh đề 1.1.2(ii). Suy ra Q∈/ Att
b RA. VậyAtt b RA6= [ p∈AttRA Ass b R(R/pb Rb).
Sau đây chúng tôi đưa ra đặc trưng của vành cơ sở để công thức (1) đúng với mọi R-môđun Artin A.
Mệnh đề 2.1.3. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) Att b RA= [ p∈AttRA Ass b
R(R/pb Rb) với mỗi R-môđun Artin A; (ii) ánh xạ cảm sinh fa : Spec(Rb) → Spec(R) là song ánh.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Vì ánh xạ tự nhiên R → Rb là phẳng hoàn toàn nên theo [33, Định lý 7.3(i)] ánh xạ cảm sinh fa : Spec(Rb) → Spec(R) là toàn ánh. Giả sử tồn tại P1,P2 ∈ Spec(Rb) sao cho P1 ∩ R = P2 ∩ R. Đặt
k := dim(R/Pb 1) và A := Hk
mRb(R/Pb 1), môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất của R/Pb 1 với giá cực đại. Khi đó A là Rb-môđun Artin theo Định lý 1.2.7(ii) vàAtt
b
RA = P1 theo Định lý 1.2.8. Chú ý rằngAcó cấu trúc R-môđun Artin cảm sinh từ đồng cấu tự nhiênR →R.b Đặtp := P1∩R.
áp dụng Mệnh đề 1.1.4 ta có AttRA = p}.Vì vậyAtt
b
RA = Ass
b
R(R/pb Rb) theo giả thiết (i). Suy ra {P1} = Ass
b R(R/pb Rb). Tương tự, bằng cách xét Rb-môđun Artin B := Ht mRb(R/Pb 2), trong đó t = dim(R/Pb 2) ta có P2 = Ass b
R(R/pb Rb).Suy raP1 = P2.Do đó ánh xạSpec(Rb) → Spec(R) là song ánh.
(ii) ⇒(i). Lấy P ∈ Att
b
RA. Đặt p := P∩R. Khi đóp ∈ AttRA theo Mệnh đề 1.1.4. Lấy Q ∈ Ass
b
R(R/pb Rb). Suy ra Q∩ R = p. Từ giả thiết (ii) ta có
P = Q và do đó P∈ Ass
b
R(R/pb Rb), trong đó p∈ AttRA. Ngược lại, giả sử
p ∈ AttRA vàP ∈ Ass
b
R(R/pb Rb). Theo Mệnh đề 1.1.4, tồn tại Q ∈ Att
b
RA
sao cho p = Q∩R. Vì P ∈ Ass
b
R(R/pb Rb) nên P∩R = p. Suy ra P = Q
do giả thiết (ii). Vì thế P ∈ Att
b
RA.
Nhận xét 2.1.4. Tồn tại vành Noether địa phương (R,m) không đầy đủ sao cho Att b RA= [ p∈AttRA Ass b R(R/pb Rb)
với mọi R-môđun Artin A. Chẳng hạn, nếu R là một vành định giá rời rạc không đầy đủ thì R thỏa mãn điều kiện trong Mệnh đề 2.1.3(ii) và do đó công thức này là đúng. Chú ý rằng R là vành định giá rời rạc nếu và chỉ nếu R là miền nguyên Noether địa phương chiều 1 và iđêan cực đại là iđêan chính (xem [33, Định lý 11.2]). NếuR là vành định giá rời rạc thì Rb cũng là vành định giá rời rạc, do đó ánh xạ Spec(Rb) → Spec(R)là song ánh. Một ví dụ về vành định giá rời rạc không đầy đủ là địa phương hóa của vành K[x] tại iđêan cực đại (x), trong đó K là một trường và K[x]là vành đa thức một biến x trên K.
Ví dụ 2.1.2 đã chứng tỏ rằng công thức (1) nhìn chung không đúng cho các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại. Vì thế ta tiếp tục xem
xét mối quan hệ Att b RHmi(M) = [ p∈AttRHi m(M) Ass b R(R/pb Rb)
giữa hai tập AttRHmi(M) vàAtt
b
RHmi (M).Kết quả sau đây đưa ra một điều kiện đủ để công thức này luôn đúng. Trước hết chúng ta nhắc lại một số kết quả liên quan đến đối ngẫu địa phương và đối ngẫu Matlis. Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của R-môđun R/m và đặt D(−) := HomR(−, E(R/m)). Khi đó D(N) được gọi là đối ngẫu Matlis của R-môđun N. Trong trường hợp vành R là đầy đủ, đối ngẫu Matlis cho ta một tương đương khá đẹp giữa phạm trù các R-môđun Artin và phạm trù các R-môđun hữu hạn sinh. Cụ thể, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin thì D(M) là R-môđun Artin và D(A) là R-môđun hữu hạn sinh. Hơn nữa,
D(D(M)) ∼= M và D(D(A)) ∼= A (xem [32, Hệ quả 4.3]). Nếu vành R
không đầy đủ thì D(D(M)) ∼= Mcvà D(M) là R-môđun Artin. Đồng thời AttRD(M) = AssRM (xem [47, Định lý 2.3]). Hơn nữa, vì A có cấu trúc
b
R-môđun Artin nên D(A) là Rb-môđun hữu hạn sinh và DR(A) ∼= D
b
R(A) (xem [3, Định lý 10.2.19]).
Một câu hỏi tự nhiên là, khi vành R đầy đủ, R-môđun hữu hạn sinh nào tương ứng với R-môđun Artin Hmi (M)? Định lý đối ngẫu địa phương không chỉ trả lời cho câu hỏi này cho trường hợp vành đầy đủ mà còn cho một lớp vành rộng hơn: vành thương của vành Gorenstein. Đồng thời, đối ngẫu địa phương cung cấp một công cụ cơ bản để nghiên cứu các môđun đối đồng điều địa phương ứng với giá cực đại. Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu R có chiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải
