Macaulay
Như chúng ta đã biết, nếu Rlà thương của vành Gorenstein địa phương thì
R là thương của vành Cohen-Macaulay, nhưng điều ngược lại không đúng, chẳng hạn khi R là miền nguyên chiều 1 trong Ví dụ 2.1.8 là vành Cohen- Macaulay nhưng không là thương của vành Gorenstein. Nói cách khác, lớp vành là thương của vành Gorenstein địa phương thực sự nằm trong lớp vành là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Trong [26, Hệ quả 1.2], T. Kawasaki đã chứng minh được R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương khi và chỉ khi R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Nhắc lại rằng, với mỗi p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec(Rb) sao cho P∩R = p, đồng cấu tự nhiênR → Rb cảm sinh ra đồng cấu địa phương
f : Rp → RbP. Khi đó vành thớ RbP ⊗(Rp/pRp) ∼= Rb
P/pRbP của đồng cấu
f trên iđêan cực đại pRp của Rp được gọi là thớ hình thức của R ứng với p
và P. Kết quả này của T. Kawasaki là khá thú vị vì nó liên hệ một tính chất trên vành với một tính chất trên các thớ hình thức của vành. Gần đây, N. T. Cường và Đ. T. Cường [9, Định lý 5.2] đưa ra một số đặc trưng khác của lớp vành là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương thông qua sự tồn tại hệ tham số p-chuẩn tắc. Một câu hỏi tự nhiên là công thức (2) còn đúng khi xét trên lớp vành mở rộng hơn như lớp vành catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức Cohen-Macaulay? Mục tiêu của tiết này là trả lời một phần cho câu hỏi đó. Cụ thể, chúng tôi đưa ra một đặc trưng cho lớp vành catenary phổ dụng có mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết tối tiểu của Hmi(M) trên R và R.b Công cụ chủ yếu mà chúng tôi sử dụng để chứng minh kết quả chính của tiết này
là khái niệm giả giá thứ i của M, được giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp trong [4]. Khái niệm này được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.2.1. Cho i ≥ 0là một số nguyên. Giả giá thứi củaM, kí hiệu là PsuppiR(M), được cho bởi công thức
PsuppiR(M) = {p∈ Spec(R) | Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) 6= 0}.
Khái niệm giả giá là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu chiều và số bội cho môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M) (xem [4], [38]), nghiên cứu cấu trúc của môđun chính tắc của M (xem [2]) cũng như quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M (xem [14], [42]). Vai trò của PsuppiR(M) đối với các R-môđun đối đồng điều địa phương Artin Hmi (M) theo một nghĩa nào đó là quan trọng như vai trò của tập giá đối với môđun hữu hạn sinh. Sau đây là một số tính chất của tập giả giá. Chú ý rằng, tập con T của Spec(R) được gọi là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa nếu với hai iđêan nguyên tố bất kì p,q của R
thỏa mãn p ⊆q và p ∈ T ta luôn có q∈ T.
Bổ đề 2.2.2. [4, Bổ đề 2.2] Giả sử R là catenary. Cho số nguyên i ≥ 0. Khi đó PsuppiR(M) là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa.
Tập giả giá khi chuyển qua đầy đủ có tính chất sau.
Bổ đề 2.2.3. [4, Định lý 2.4] Giả sử vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Cho
p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec(Rb) là iđêan tối tiểu của pRb. Khi đó p là phần tử tối tiểu của PsuppiR(M) nếu và chỉ nếu P là phần tử tối tiểu của Psuppi
b
R(Mc).
Với mọi số nguyên i ≥ 0 ta luôn có PsuppiR(M) ⊆ Var(AnnRHmi(M)) (xem [14, Bổ đề 2.3]). Hơn nữa, các ví dụ [4, 3.1, 3.2] cũng chỉ ra rằng
tập PsuppR(M) không đóng đối với tôpô Zariski. Vì vậy, nhìn chung ta có PsuppiR(M) 6= Var(AnnRHmi (M)). Khi R là catenary thì PsuppiR(M) luôn đóng với phép đặc biệt hóa, nhưng tính chất này không đúng trong trường hợp tổng quát. Chẳng hạn, từ chứng minh của [38, Hệ quả 3.4] ta thấy nếu R không là catenary thì Psuppm(R) không đóng dưới phép đặc biệt hóa, trong đó m = dimR. Bổ đề sau cho ta điều kiện cần để PsuppiR(M) = Var(AnnRHmi(M)).
Bổ đề 2.2.4. [4, Mệnh đề 2.5]. Nếu vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì PsuppiR(M) = Var(AnnRHmi(M)) với mọi số nguyên i ≥0.
Định lý sau đây là kết quả chính của tiết này. Định lý 2.2.5. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i)Rlà vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay; (ii) min Att
b RHmi(M) = min [ p∈AttRHi m(M) Ass b
R(R/pb Rb) với mọi R-môđun hữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0;
(iii) dim(R/AnnRHmi(M)) = N-dimRHmi (M) với mọi R-môđun hữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử P ∈ min S
p∈AttRHi
m(M)
Ass
b
R(R/pb Rb). Khi đó tồn tại p0 ∈ AttRHmi (M) sao cho P ∈ Ass
b
R(R/pb 0Rb). Theo Bổ đề 2.1.1(ii), ta có P ∩ R = p0. Lấy p1 ∈ min AttRHmi (M) sao cho
p1 ⊆ p0. Khi đó P ⊇ p1R.b Suy ra tồn tại P1 ∈ min Ass
b
R(R/pb 1Rb) sao cho P1 ⊆ P. Hơn nữa, ta có P1 ∈ S
p∈AttRHi
m(M)
Ass
b
R(R/pb Rb) vì
p1 ∈ AttRHmi (M). Suy ra P1 = P do tính chất tối tiểu của P trong tập S p∈AttRHi m(M) Ass b R(R/pb Rb). Vì thế p0 = P ∩ R = P1 ∩ R = p1. Suy
ra P ∈ min Ass
b
R(R/pb 0Rb) và p0 ∈ min AttRHmi (M). Theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta có p0 ∈ min Var(AnnRHmi(M)). Vì vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.2.4 ta có
p0 ∈ min PsuppiR(M). VìP ∈ min Ass
b
R(R/pb 0Rb) nên từ giả thiết (i) và Bổ đề 2.2.3 suy ra P∈ min Psuppi
b
R(Mc). Vì vậyP ∈ min Var(Ann
b
R(Hmi(M)) theo Bổ đề 2.2.4. Do đó P∈ min Att
b
RHmi (M) theo Mệnh đề 1.1.2(ii). Suy ra min Att b RHmi(M) ⊇ min [ p∈AttRHi m(M) Ass b R(R/pb Rb).
Ngược lại, lấy P ∈ min Att
b
R(Hmi (M)). Đặt p0 = P ∩ R. Khi đó theo Mệnh đề 1.1.4 ta có p0 ∈ AttRHmi(M) . Lấy p1 ∈ min AttRHmi(M) sao cho p1 ⊆ p0. Vì đồng cấu tự nhiên R → Rb là phẳng hoàn toàn nên nó thỏa mãn Định lý đi xuống (xem [33, Định lý 9.5]), nghĩa là tồn tại iđêan nguyên tố P1 ⊆ P sao cho P1 ∩ R = p1. Suy ra tồn tại
P2 ∈ min Var(p1Rb) sao cho P2 ⊆ P1. Rõ ràng P2 ∩ R = p1 theo Bổ đề 2.1.1(ii). Vì p1 ∈ min AttRHmi (M) nên theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta có p1 ∈ min Var(AnnRHmi(M)). Do đó từ giả thiết (i) và Bổ đề 2.2.4 suy ra p1 ∈ min PsuppiR(M). Vì P2 ∈ min Var(p1Rb) nên áp dụng giả thiết (i) và Bổ đề 2.2.3 ta có P2 ∈ min Psuppi
b
R(Mc). Do đó P2 ∈ min Var(Ann
b
R(Hmi(M)) theo Bổ đề 2.2.4 và theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta suy ra P2 ∈ min Att b RHmi(M). Vì P ∈ min Att b RHmi (M) và P2 ⊆ P nên ta có P2 = P. Do đó P ∈ min Ass b
R(R/pb 1Rb). Hơn nữa, do p1 ∈ AttRHmi(M) nên ta có P ∈ [
p∈AttRHi
m(M)
Ass
b
R(R/pb Rb). Giả sử Q là phần tử tối tiểu trong tập [
p∈AttRHi
m(M)
Ass
b
R(R/pb Rb) sao cho Q ⊆ P. Chú ý rằng, theo chứng minh trên ta có min Att b RHmi(M) ⊇ min [ p∈AttRHi m(M) Ass b R(R/pb Rb).
Do đó Q ∈ min Att
b
R(Hm(M)). Suy ra P = Q do tính chất tối tiểu của P trong Att
b
RHmi (M). Vì vậy P là phần tử tối tiểu của tập
[ p∈AttRHi m(M) Ass b R(R/pb Rb). Do đó ta có min Att b RHmi(M) = min [ p∈AttRHi m(M) Ass b R(R/pb Rb).
(ii) ⇒ (iii). Cho i ≥ 0. Đặt t = N-dimRHmi (M). Theo Mệnh đề 1.4.4
t = dim(R/b Ann
b
RHmi(M)). Khi đó tồn tại iđêan nguyên tố P của Rb
chứa Ann
b
RHmi(M) sao cho dim(R/Pb ) = t. Đặt p := P ∩ R. Rõ ràng
p ⊇ Ann
b
RHmi(M)∩R ⊇AnnRHmi (M). Do đó
t= dim(R/Pb ) ≤ dim(R/p) ≤dim(R/AnnRHmi (M)).
Đặtk = dim(R/AnnRHmi(M).Theo Mệnh đề 1.1.2(ii) tồn tại iđêan nguyên tố p0 ∈ min AttRHmi(M) sao cho dim(R/p0) = k. Lấy iđêan nguyên tố
P ∈ min Ass
b
R(R/pb 0Rb)sao chodim(R/Pb ) = dim(R/p0) =k.Khi đó ta có
P∩R = p0 vàP∈ S
p∈AttRHi
m(M)
Ass
b
R(R/pb Rb).GọiP1 là phần tử tối tiểu của tập S
p∈AttRHi
m(M)
Ass
b
R(R/pb Rb) sao cho P1 ⊆ P. Suy ra P1 ∈ Ass
b
R(R/pb 1Rb) với p1 nào đó thuộc AttRHmi(M). Vì thế p0 = P∩ R ⊇ P1 ∩R = p1. Do tính chất tối tiểu của p0 trong tập AttRHmi (M) nên p1 = p0. Suy ra cả P và
P1 đều là các phần tử của tập Ass
b
R(R/pb 0Rb). Vì P ∈ min Ass
b
R(R/pb 0Rb) và
P ⊇ P1 nên ta có P = P1. Suy ra P ∈ min S
p∈AttRHi
m(M)
Ass
b
R(R/pb Rb). Từ giả thiết (ii) suy ra P ∈ min Att
b
RHmi (M). Do đó theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta có dim(R/Pb ) ≤ dim(R/b Ann
b
RHmi (M)). Suy ra k ≤t. Vậy dim(R/AnnRHmi (M)) = N-dimRHmi (M).
(iii) ⇒ (i). Theo M. Hochster và C. Huneke [21], một phần tử x ∈ R được gọi là triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương của M nếu x /∈ p với mọi
quả 4.3], để chứng minh (i), ta cần chỉ ra rằng R/p có phần tử triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương với mọi p ∈ Spec(R). Cho p ∈ Spec(R) và đặt
s = dim(R/p). Kí hiệu ai = AnnR(Hmi (R/p)) với i = 0,1, . . . , s − 1 và đặt a = Qsi=0−1ai. Theo giả thiết (iii), với mỗi số nguyên i, ta có dim(R/ai) = dim(R/b Ann
b
RHmi (R/p)). Vì đồng cấu tự nhiên R → Rb là phẳng nên theo Định lý 1.2.4 ta có Rb-đẳng cấu Hmi(R/p) ∼= Hi
mRb(R/pb Rb). Do đó theo Mệnh đề 1.1.2 (ii) suy ra
dim(R/ai) = dim(R/b Ann
b
R(Hi
mRb(R/pb Rb))) = maxdim(R/Pb ) | P ∈ Att
b
RHmi
b
R(R/pb Rb) .
Vì Rb là đầy đủ nên Rb là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein địa phương. Do đó với mỗi P ∈ Att
b
RHi
mRb(R/pb Rb) ta có dim(R/Pb ) ≤ i theo Bổ đề 2.1.6. Vì vậy dim(R/ai) ≤ i với mọi số nguyên i. Từ đó suy ra dim(R/a) < s và do đó a 6⊆ p. Vì thế tồn tại phần tử x ∈ a\p. Suy ra xHmi(R/p) = 0 với mọi i < s, nghĩa là R/p có phần tử triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương. Do đó, theo [16, Hệ quả 4.3], vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay.
Gần đây, L. T. Nhàn và P. H. Quý [43] đã chứng minh rằng R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức Cohen-Macaulay khi và chỉ khi công thức (2) đúng cho mọi môđun M và mọi số nguyên i ≥ 0. Kết quả này là một mở rộng không tầm thường của Định lý 2.2.5.
Từ định lý trên, chúng tôi tiếp tục đặc trưng cấu trúc của vành cơ sở R
thông qua mối quan hệ giữa các tập giả giá thứ i của M và Mc. Với mỗi
R-môđun hữu hạn sinh M, tập giá của M có tính chất sau SuppR(M) ={P∩R | P ∈ Supp
b
R(Mc)}.
Tuy nhiên, một quan hệ tương tự giữa các tập giả giá PsuppiR(M) và Psuppi
b
Ví dụ 2.2.6. Cho(R,m)là miền nguyên Noether địa phương không catenary phổ dụng (tồn tại miền nguyên như vậy theo M. Brodmann và R. Y. Sharp [4]). Khi đó tồn tại R-môđun hữu hạn sinh M và số nguyên k ≥ 0 sao cho
PsuppkR(M) 6= {P∩R | P ∈ Psuppk
b
R(Mc)}.
Thật vậy, theo [33, Định lý 31.7] tồn tại iđêan nguyên tố p của R sao cho
R/p là trộn lẫn. Do đó tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Ass
b
R(R/pb Rb) thỏa mãn dim(R/Pb ) < dim(R/p). Chọn M = R/p và k = dim(R/Pb ). Vì
P ∈ Ass
b
RMc nên theo Định lý 1.2.8 ta có P ∈ Att
b RHk mRb(Mc). Suy ra P ∈ Var(Ann b RHk
mRb(Mc)) theo Mệnh đề 1.1.2(ii). Vì vậy, theo Bổ đề 2.2.4 ta có P∈ Psuppk
b
R(Mc). Mặt khác, vìP ∈ Ass
b
R(R/pb Rb) nên p= P∩R. Do dim(R/p) > k, nên HpkR−dim(R/p)
p (Mp) = 0. Suy ra p∈/ PsuppkR(M).
Nhìn chung, ta có mối quan hệ sau giữa hai tập PsuppiR(M) và Psuppi
b
R(Mc).
Bổ đề 2.2.7. Với mỗi số nguyên i ≥0, ta có
PsuppiR(M) ⊆ {P∩R | P ∈ Psuppi
b
R(Mc)}.
Chứng minh. Cho i ≥ 0 và p ∈ PsuppiR(M). Khi đó Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) 6= 0.
Lấy P ∈ Ass
b
R(R/pb Rb) sao chodim(R/Pb ) = dim(R/p).Suy ra P∩R = p.
Khi đó ánh xạ f : R → Rb cảm sinh ra ánh xạ Rp → RbP, biến mỗi phần tử
a/s của Rp thành phần tử f(a)/f(s) của RbP, trong đó a, s ∈ R, s /∈ p. Chú ý rằng ánh xạ cảm sinh này xác định vì quy tắc trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện của lớp a/s và f(s) ∈/ P. Vì đồng cấu Rp → RbP là hoàn toàn phẳng nên theo Định lý 1.2.4 ta có
Hi−dim(R/p)
pRbP
(Mp ⊗Rp RbP) ∼= Hi−dim(R/p)
Chú ý rằng ta có các đẳng cấu sau Mp ⊗Rp RbP ∼= (M ⊗ R Rp)⊗Rp RbP ∼= M ⊗ R (Rp ⊗Rp RbP) ∼ = M ⊗R RbP ∼= M ⊗ R (Rb⊗ b R RbP) ∼ = (M ⊗R Rb)⊗ b R RbP ∼= Mc⊗ b R RbP ∼= Mc P.
Mặt khác vì dimR/Pb = dimR/pb Rb nên P ∈ min Var(pRb). Suy ra
PRbP ∈ min Var(pRbP). Do đó Rad(pRbP) = PRbP. Vì thế
Hi−dim(R/p) pRbP (Mp ⊗Rp RbP) ∼= Hi−dim(R/b P) Rad(pRbP) (McP) ∼= Hi−dim(R/b P) PRbP (McP). Suy ra Hi−dim(R/b P) PRbP (McP) 6= 0và do đó P ∈ Psuppi b R(Mc). Bổ đề được chứng minh xong.
Sau đây, chúng tôi đưa ra một đặc trưng khác của vành catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thông qua tập giả giá thứ i củaM.
Hệ quả 2.2.8. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i)Rlà vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay; (ii) PsuppiR(M) = {P ∩ R | P ∈ Psuppi
b
R(Mc)} với mọi R-môđun hữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Theo Bổ đề 2.2.7, ta chỉ cần chứng minh PsuppiR(M) ⊇ {P∩R | P ∈ Psuppi b R(Mc)}. Lấy P ∈ Psuppi b R(Mc). Chọn Q∈ min Psuppi b
R(Mc) sao cho Q ⊆ P. Khi đó từ Bổ đề 2.2.4 và Mệnh đề 1.1.2(ii) ta suy ra Q ∈ min Var(Ann b RHi mRb(Mc)) = min Att b RHi mRb(Mc).
Do đồng cấu R → Rb là phẳng và Hmi (M) có cấu trúc Rb-môđun nên theo Định lý 1.2.4 ta có
Hmi
b
R(Mc) ∼= Hi
Do đó Q ∈ min Att
b
RHm(M). áp dụng giả thiết (i) và Định lý 2.2.5(i)⇒(ii) suy ra Q∈ Ass
b
R(R/qb Rb) với iđêan qnào đó nằm trong AttRHmi (M). Theo Mệnh đề 1.1.2(ii), Q∩R = qvàq ∈ Var(Ann(Hmi(M))). Do R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.2.4 ta có
q ∈ PsuppiR(M). Hơn nữa, vì vành R là catenary nên theo Bổ đề 2.2.2 ta có PsuppiR(M) là đóng dưới phép đặc biệt hóa. Vì thế P∩R ∈ PsuppiR(M). Suy ra
PsuppiR(M) ⊇ {P∩R | P ∈ Psuppi
b
R(Mc)}.
(ii) ⇒ (i). Theo Định lý 2.2.5, (iii)⇒(i), ta chỉ cần chứng minh dim(R/AnnRHmi(M)) = dim(R/b Ann
b
RHmi(M))
với mọi R-môđun hữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0. Cho
i ≥ 0 là một số nguyên. Đặt t := dim(R/AnnRHmi (M)) và k := dim(R/b Ann
b
RHmi (M)). Theo chứng minh (ii)⇒(iii) của Định lý 2.2.5, ta luôn có t ≥ k.
Ngược lại, cho p ∈ min Var(AnnRHmi (M)) sao cho dim(R/p) = t.
Khi đó theo Mệnh đề 1.1.2 ta có p ∈ min AttRHmi(M). Vì thế theo Mệnh đề 1.1.4(ii) tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Att
b
RHmi (M) thỏa mãn
p = P∩R. áp dụng Mệnh đề 1.1.2(ii) ta suy ra P ∈ Var(Ann
b RHmi(M)). Từ Rb-đẳng cấu Hi mRb(Mc) ∼= Hi m(M) ta có P ∈ Var(Ann b RHi mRb(Mc)). Vì thế theo Bổ đề 2.2.4 ta có P ∈ Psuppi b R(Mc). Vì p = P ∩ R nên áp dụng giả thiết (ii) ta có p ∈ PsuppiR(M). Lấy Q ∈ Ass(R/pb Rb) sao cho dim(R/Qb ) = dim(R/p) = t. Vì ánh xạ cảm sinh Rp → RbQ là phẳng nên lập luận tương tự trong chứng minh (iii)⇒(i) của Định lý 2.2.5 ta có
Hi−dim(R/b Q) QRQ (McQ) ∼= Hi−dim(R/p) pRp (Mp)⊗RbQ 6= 0. Suy ra Q∈ Psuppi b R(Mc). Do đó Q ∈ Var(Ann b RHmi b R(Mc)) = Var(Ann b RHmi(M)).
Vì thế t= dim(R/Qb ) ≤dim(R/b Ann
b
RHmi (M)) =k. Vậy t = k.