Khi R là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein, năm 1975, R. Y. Sharp [47] đã chứng minh nguyên lý chuyển dịch địa phương để chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hmi (M) qua địa phương hóa Hpi−RdimR/p
p (Mp). Trong [59], P. Schenzel cũng xem Hpi−RdimR/p
p (Mp) như là "địa phương hóa" của
Hmi (M) tại iđêan nguyên tố p để nghiên cứu các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. ý tưởng này tiếp tục được M. Brodmann và R. Y. Sharp [4] sử dụng để nghiên cứu chiều và số bội cho các môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M) và mở rộng kết quả đó trên lớp vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Vấn đề ở đây là nguyên lý chuyển dịch địa phương này không đúng trong trường hợp tổng quát. Mục tiêu của tiết này là tìm điều kiện của vành cơ sở R để tồn tại một đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun Hmi (M).
Với mỗi iđêan nguyên tố p của R, địa phương hóa tại p là một hàm tử khớp, tuyến tính từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun sao cho Mp làRp-môđun Noether và Mp 6= 0 với mọip⊇ AnnRM. Hàm tử này đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu môđun Noether. Tuy nhiên, đối với
R-môđun Artin A, nếup 6= m thì Ap = 0, do đó SuppRA⊆ {m}. Như vậy, hàm tử địa phương hóa không hữu hiệu trong việc nghiên cứu môđun Artin. Vì thế chúng ta cần xây dựng với mỗi p ∈ Spec(R) một hàm tử "đối địa phương hóa" Fp : MR → MRp sao cho Fp tương thích với mọi R-môđun Artin A, nghĩa là Fp có các tính chất sau:
(a) Fp là tuyến tính và khớp trên phạm trù các R-môđun Artin; (b) Fp biến các R-môđun Artin thành các Rp-môđun Artin; (c) Fp(A) 6= 0 nếu p ⊇ AnnRA với mỗi R-môđun Artin A.
Một số tác giả đã xây dựng đối địa phương hóa Fp, với mỗi p∈ Spec(R). Tuy nhiên không một đối địa phương hóa nào thỏa mãn cả ba tính chất (a), (b), (c) ở trên. Đầu tiên, L. Melkersson và P. Schenzel [35] đã định nghĩa đối địa phương hóa của Atạip là môđunHomR(Rp, A). Hàm tử đối địa phương hóa này là khớp trên phạm trù các R-môđun Artin vàHomR(Rp, A) 6= 0nếu
p ⊇ AnnRA. Tuy nhiên, ngay cả khi vành R là đầy đủ, HomR(Rp, A) nhìn chung không Artin. Thật vậy, nếu dimR > 2 và p 6= m là iđêan nguyên tố có độ cao lớn hơn 1 thì HomR(Rp, E(R/m)) không là Artin (xem [12, Ví dụ 3.8]). K. E. Smith trong [53] đã nghiên cứu một hàm tử có tên là "đối ngẫu với địa phương hóa"
Fp(−) = HomR HomR(−, E(R/m)), E(R/p)
với mỗi p ∈ SpecR, trong đó E(−) là bao nội xạ của R/m. A. S. Richardson [45] cũng định nghĩa đối địa phương hóa của A tại p là HomRp (HomR(A, E(R/m)))p, E(Rp/pRp). Do E(R/p) có cấu trúc Rp- môđun nên ta có Rp-đẳng cấu E(R/p) ∼= E(R
p/pRp). Vì thế hai hàm tử đối địa phương hóa định nghĩa bởi A. S. Richardson và K. E. Smith thực chất chính là một. Hàm tử Fp(−) này là khớp, tuyến tính và Fp(A) 6= 0 nếu
p ⊇ AnnRA, và khi vành R là đầy đủ thì Fp(A) là Rp-môđun Artin. Tuy nhiên, nếu R không đầy đủ thì Fp(A) nhìn chung không là Rp-môđun Artin (xem Định lý 2.3.8). Trong tiết này, chúng tôi đưa ra một điều kiện cần để tồn tại đối địa phương thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) và từ đó cho thấy một đối địa phương hóa như thế nhìn chung không tồn tại. Trước hết chúng tôi trình bày một số bổ đề chuẩn bị cho chứng minh kết quả chính.
Bổ đề 2.3.1. Nếu p ∈ AttRA thì AnnR(0 :A p) = p.
Chứng minh. Vì p ∈ AttRA nên theo Mệnh đề 1.1.4 tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Att
b
RA sao cho P ∩ R = p. Chú ý rằng A có cấu trúc Rb-môđun và P ⊇ Ann
b
b
R-môđun hữu hạn sinh và Ann
b RA= Ann b RD(A). Suy ra Ann b R(0 :A P) = Ann b RD(0 :A P) = Ann b R(D(A)/PD(A)) = P. Vì thế p ⊆AnnR(0 :A p) ⊆ AnnR(0 :A P) = Ann b R(0 :A P)∩R = P∩ R = p. Do đó AnnR(0 :A p) =p.
Theo D. Kirby [27, Mệnh đề 5], có một công thức tương tự cho môđun Artin như Định lý giao Krull và Bổ đề Nakayama của môđun hữu hạn sinh. Bổ đề 2.3.2. Cho A là R-môđun Artin. Khi đó A = [
n≥1
(0 :A mn). Đặc biệt
A 6= 0 nếu và chỉ nếu (0 :A m) 6= 0.
Bổ đề 2.3.3. Cho A = A1 +. . .+An là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của
A, trong đó Ai là pi-thứ cấp. Cho r là số nguyên sao cho 0 < r < n. Đặt
B = A1 +. . .+Ar. Khi đó
AttR(A/B) ={pr+1, . . . ,pn}.
Chứng minh. Do thành phần thứ cấp Ai không thừa trong biểu diễn tối tiểu của A nên ta có (Ai + B)/B 6= 0 với mỗi i = r + 1, . . . , n. Vì (Ai +B)/B ∼= A
i/Ai∩B nên (Ai +B)/B là pi-thứ cấp. Suy ra
A/B = (Ar+1 +B)/B +. . .+ (An+B)/B
là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A/B. Do đó AttR(A/B) ={pr+1, . . . ,pn}.
Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M và p ∈ Spec(R), ta đã biết tính chất
hóa tuyến tính của môđun Artin thì ta cũng có một tính chất tương tự như sau.
Bổ đề 2.3.4. Chop ∈ Spec(R).Giả sử rằngp 6⊇AnnRA. Khi đóFp(A) = 0 với mỗi hàm tử tuyến tính Fp : MR → MRp.
Chứng minh. Vì p 6⊇AnnRA nên tồn tại phần tử x ∈ (AnnRA)\p. Khi đó 0 = Fp(x.IdA) = x.IdFp(A). Do x /∈ p nên x/1 là khả nghịch trong Rp. Vì thế IdFp(A) = 0 và do đó Fp(A) = 0.
Nhận xét 2.3.5. Rõ ràng nếu p,q ∈ Spec(R) với q ⊆ p thì ánh xạ
Mq → (Mp)qRp cho tương ứng mỗi phần tử m/s ∈ Mq thành phần tử (m/1)/(s/1) ∈ (Mp)qRp, trong đó m ∈ M, s ∈ R \ q, là một đẳng cấu. Vì thế nếu Mq 6= 0 thì Mp 6= 0. Tính chất tương tự như vậy cũng đúng cho đối địa phương hóa. Thật vậy, giả sử tồn tại với mỗi p ∈ Spec(R) một hàm tử Fp : MR → MRp thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) nói đến ở trên. Khi đó theo Bổ đề 2.3.4 ta có
Var(AnnRA) = {p ∈ Spec(R) | Fp(A) 6= 0},
là tập con đóng của Spec(R) trong tôpô Zariski. Vì thế với bất kì p,q ∈ Spec(R) thỏa mãn q⊆ p, nếu Fq(A) 6= 0 thì Fp(A) 6= 0.
Bổ đề 2.3.6. Cho p ∈ Spec(R). Giả sử Fp : MR → MRp là một hàm tử tuyến tính và khớp trên phạm trù các R-môđun Artin. Cho A là R-môđun Artin sao cho Fp(A) là Rp-môđun Artin khác 0. Khi đó AnnR(0 :A p) = p. Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp Fp là hiệp biến. Vì vành R là Noether nên p là iđêan hữu hạn sinh. Giả sử p = (x1, . . . , xt)R. Ta sẽ dùng quy nạp theoi ≤ tđể chứng minhFp(0 :A (x1, . . . , xi)R)làRp-môđun Artin khác 0. Cho i = 1. Ta có dãy khớp các R-môđun Artin
0 →(0 :A x1) → A .x1
Vì hàm tử Fp là khớp và hiệp biến nên ta có dãy khớp các Rp-môđun 0→ Fp(0 :A x1) →Fp(A) Fp→(.x1) Fp(A).
Do Fp tuyến tính nên ánh xạ Fp(.x1) là phép nhân bởi x1/1 trên Fp(A),
trong đó x1/1 là ảnh của x1 trong Rp. Suy ra ta có đẳng cấu các Rp-môđun
Fp(0 :A x1) ∼= (0 :
Fp(A) x1). Do Fp(A) là Rp-môđun Artin theo giả thiết nên (0 :Fp(A) x1) cũng là Rp-môđun Artin. Vì giả thiếtFp(A) làRp-môđun Artin khác 0 nên theo Bổ đề 2.3.2 ta suy ra (0 :Fp(A) pRp) 6= 0. Do x1 ∈ p nên ta có (0 :Fp(A) pRp) là môđun con của(0 :Fp(A) x1), do đó (0 :Fp(A) x1) 6= 0. Từ đẳng cấu trên ta suy ra Fp(0 :A x1) làRp-môđun Artin khác 0. Vì thế khẳng định đúng với i = 1.
Cho i > 1 và giả sử Fp(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) là Rp-môđun Artin khác 0. Từ dãy khớp các R-môđun Artin
0→ (0 :A (x1, .., xi)R) →(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) .xi
→(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) và lập luận tương tự trên ta được Fp(0 :A (x1, . . . , xi)R) là Rp-môđun Artin khác 0, do đó khẳng định được chứng minh.
Như vậy ta đã chứng minh được Fp(0 :A (x1, . . . , xt)R) 6= 0 hay
Fp(0 :A p) 6= 0. Suy ra p ⊇ AnnR(0 :A p) theo Bổ đề 2.3.4. Do đó AnnR(0 :A p) =p.
Giả sử hàm tử Fp là phản biến. Để suy ra AnnR(0 :A p) = p ta chứng minh p ∈ AttRA. Thật vậy, giả sử p ∈/ AttRA và ta cần chỉ ra mâu thuẫn. Cho A = A1 + . . . + An là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong đó các Ai là pi-thứ cấp với i = 1, . . . , n. Khi đó AttRA = {p1, . . . ,pn}.
Không mất tính chất tổng quát ta có thể giả sử p ⊇ pi với i = 1, . . . , r và
p 6⊇ pi với i = r + 1, . . . , n. Vì p ⊇ AnnRA nên theo Mệnh đề 1.1.2 tồn tại k ∈ {1, . . . , n} sao cho p chứa pk. Do đó r > 0. Vì p ∈/ AttRA nên
định lý tránh nguyên tố tồn tại x ∈ p\ i=1pi. Đặt B = A1 + . . . + Ar.
Do x /∈ pi với mọi i = 1, . . . , r nên ta có xB = B. Vì thế ta có dãy khớp
B →.x B → 0. Do Fp là hàm tử phản biến, khớp và tuyến tính nên ta có dãy khớp 0→ Fp(B) .x/→1 Fp(B). Suy ra (0 :Fp(B) x) = 0. Mặt khác, từ dãy khớp
0 →B → A →A/B → 0 ta có dãy khớp các Rp-môđun
0→ Fp(A/B) →Fp(A) → Fp(B) →0.
Do giả thiết Fp(A) là Rp-môđun Artin nên Fp(B) và Fp(A/B) cũng là Rp- môđun Artin. Ta khẳng định Fp(A/B) = 0. Thật vậy, nếu A = B thì
Fp(A/B) = 0. Giả sử B 6= A. Khi đó AttR(A/B) = {pr+1, . . . ,pn} theo Bổ đề 2.3.3. Vì p 6= pi với mọi i = r + 1, . . . , n nên từ Mệnh đề 1.1.2 ta có p 6⊇ AnnR(A/B). Suy ra Fp(A/B) = 0 theo Bổ đề 2.3.4, khẳng định được chứng minh. Vì Fp(A) 6= 0 theo giả thiết nên từ dãy khớp trên suy ra
Fp(B) 6= 0 . Do Fp(B) là Rp-môđun Artin khác 0 nên từ Bổ đề 2.3.2 ta có 0 :Fp(B) pRp 6= 0. Vì x ∈ p nên suy ra 0 :Fp(B) x 6= 0. Điều này là mâu thuẫn. Do đó p∈ AttRA. Suy ra AnnR(0 :A p) =p theo Bổ đề 2.3.1.
Theo N. T. Cường và L. T. Nhàn [11], với mỗi R-môđun Artin A ta có N-dimRA ≤dim(R/AnnRA). Hơn nữa, tồn tại R-môđun Artin A sao cho N-dimRA < dim(R/AnnRA) (xem [11, Ví dụ 4.1]). Mệnh đề sau đây đưa ra một số đặc trưng để đẳng thức xảy ra, trong đó chú ý rằng mệnh đề tương đương giữa (i) và (iii) đã được chứng minh bởi H. Zăoschinger trong [61]. Mệnh đề 2.3.7. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) dim(R/AnnRA) = N-dimRA với mỗi R-môđun Artin A;
(ii) dim(R/AnnRA) = N-dimRAvới mỗi môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất A= Hk
mRb(R/Pb ), trong đó P ∈ Spec(Rb) và k = dim(R/Pb ); (iii) dim(R/Pb ) = dim(R/(P∩R)) với mọi P ∈ Spec(Rb).
Chứng minh. Chứng minh của (i)⇒(ii) là hiển nhiên.
(ii)⇒(iii). Cho P ∈ Spec(Rb). Đặt p = P ∩ R và k = dim(R/Pb ). Ta cũng đặt A = Hk
mRb(R/Pb )-môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất của R/Pb . Khi đó A là Rb-môđun Artin và theo Định lý 1.2.8 ta có
Att
b
RA = {Q∈ Ass
b
R(R/Pb ) : dimR/Qb = dimR/Pb } = {P}.
Do A là Rb-môđun Artin nên A cũng là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → Rb. Hơn nữa, A còn là R-môđun Artin. Khi đó theo Mệnh đề 1.1.4 ta có AttRA = {P ∩ R} = {p}. Vì thế theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta có dim(R/AnnRA) = dim(R/p) và dim(R/b Ann
b
RA) = dim(R/Pb ).
Nếu ta xem R-môđun Artin A này như là Rb-môđun Artin bởi đồng cấu tự nhiên R → Rb thì ta lại được cấu trúc Rb-môđun ban đầu trên A.Vì vậy theo Mệnh đề 1.4.4 ta có N-dimRA = dimR/b Ann
b
RA. Từ giả thiết (ii) ta được dim(R/Pb ) = dim(R/p).
(iii)⇒(i). Cho A là R-môđun Artin. Theo Mệnh đề 1.1.2(ii) tồn tại
p ∈ AttRA sao cho dim(R/AnnRA) = dim(R/p). Theo Mệnh đề 1.1.4 tồn tại P ∈ Att
b
RA sao cho P∩ R = p. Vì thế từ giả thiết (iii) và Mệnh đề 1.1.2 suy ra
dim(R/b Ann
b
RA) ≥dim(R/Pb ) = dim(R/p) = dim(R/AnnRA).
Vậy khẳng định (i) được chứng minh.
Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần để tồn tại một đối địa phương hóa
tương thích với mọi môđun Artin (nghĩa là thỏa mãn các tính chất (a), (b),
(c) đã nói đến ở trên).
Định lý 2.3.8. Giả sử rằng tồn tại, với mỗi p ∈ Spec(R), một hàm tử
Fp : MR → MRp thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c). Khi đó ánh xạ tự nhiên R →Rb thỏa mãn tính chất đi lên. Đặc biệt, mọi thớ hình thức của
Chứng minh. Vì Fp thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) nên theo Bổ đề 2.3.6 ta có AnnR(0 :A p) = p với mỗi R-môđun Artin A và với mỗi
p ∈ Var(AnnRA). Vì thế ánh xạ tự nhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đi lên theo Định lý 1.4.9. Hơn nữa, ta có N-dimRA = dim(R/AnnRA) theo Mệnh đề 1.4.8, với mỗi R-môđun Artin A. Do đó từ Mệnh đề 2.3.7 kéo theo dim(R/Pb ) = dim(R/(P ∩ R)) với mọi P ∈ Spec(Rb) thỏa mãn
P∩R = p. Vì thế P ∈ min Var(pRb) và do đó Ass
b
RPRbP/pRbP = {PRbP}. Suy ra thớ hình thức RbP/pRbP có độ dài hữu hạn với mọi p ∈ Spec(R) và
P ∈ Spec(Rb) thỏa mãn P∩R = p. Vậy mọi thớ hình thức của R là vành Artin.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng đối địa phương hóa cho các môđun Artin thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) nhìn chung không tồn tại ngay cả khi R là thương của vành chính quy Noether địa phương. Chú ý rằng, vành R được gọi là vành chính quy địa phương nếu iđêan cực đại m có một hệ sinh gồm
n phần tử, trong đó n= dimR.
Ví dụ 2.3.9. Cho K là một trường có đặc số0vàS = K[X1, X2, X3]là vành các đa thức trên K. Đặt b = (X22 − X12 −X13) và n = (X1, X2, X3). Cho
R = (S/b)n/b và ta kí hiệu xi là ảnh của Xi trong vành thương S/b. Cho
p = (x1 +x2 −x2x3)R+ ((x3 −1)2(x1 + 1)−1)R. Khi đó ta có
(i) R là miền nguyên Noether địa phương và là thương của miền nguyên chính quy địa phương;
(ii) dimR = 2 và p là iđêan nguyên tố của R với dim(R/p) = 1; (iii) Hp2(R) không là R-môđun hữu hạn sinh;
(iv) Hp2(R) là R-môđun Artin, p chứa linh hóa tử của Hp2(R) và ta có AnnR 0 :H2
p(R) p 6= p.
không tồn tại đối địa phương hóa tương thích với mọi R-môđun Artin (nghĩa là thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) nói đến trong Định lý 2.3.8).
Chứng minh. Các tính chất (i), (ii), (iii) đã được chứng minh trong [3, 8.2.9]. Ta chứng minh khẳng định (iv). Vì dimR = 2 nên Hp2(R) là R-môđun Artin theo Định lý 1.2.7(ii). Do đó (0 :H2
p(R) p)làR-môđun Artin. Theo [15, Định lý 3] ta có Hp2(R) là p-đối hữu hạn, tức là SuppRHp2(R) nằm trong Var(p) vàExtjR(R/p, Hp2(R)) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi số nguyên
j ≥ 0. Do đó (0 :H2
p(R) p) là hữu hạn sinh. Vì thế `R(0 :H2
p(R) p) < ∞. Suy ra AnnR(0 :H2
p(R) p) là iđêan m-nguyên sơ. Do dim(R/p) = 1 nên AnnR(0 :H2
p(R) p) 6= p. Vì R là miền nguyên nên theo [3, 8.2.6(i)] ta có AttRHp2(R) ⊆ {0}. Chú ý rằng Hp2(R) 6= 0 theo Định lý 1.2.5. Suy ra AttRHp2(R) 6= ∅ theo Mệnh đề 1.1.2(i). Vì thế AttRHp2(R) = {0} và do đó AnnR(Hp2(R)) = 0 theo Mệnh đề 1.1.2(ii). Vì thế p ⊇ AnnR(Hp2(R)). Theo Định lý 1.4.9, vành R không thỏa mãn tính chất đi lên. Do đó, theo Định lý 2.3.8 không tồn tại đối địa phương hóa tương thích với mọiR-môđun Artin.
Đối với môđun đối đồng điều địa phương Artin Hmi (M), nhìn chung ta cũng có N-dimR(Hmi (M)) ≤ dim(R/AnnRHmi (M)). Hơn nữa tồn tại vành địa phương(R,m)sao cho N-dimR(Hm1(R)) < dim(R/AnnRHm1(R))(xem [11, Ví dụ 4.1]). Theo Mệnh đề 1.4.8, tại mỗi cấp i, nếu Hmi (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì N-dimR(Hmi (M)) = dim(R/AnnRHmi (M)), nghĩa là tính bão hòa nguyên tố mạnh hơn, suy ra được đẳng thức về chiều. Kết quả sau đây không những đưa ra một vài đặc trưng để đẳng thức N-dimR(Hmi(M)) = dim(R/AnnRHmi (M)) đúng với mọi môđun đối đồng điều địa phương Artin Hmi(M) mà còn cho thấy khi đẳng thức về chiều này thỏa mãn cho mọi môđun M, tại mọi cấp i thì nó tương đương với tính bão hòa nguyên tố.
Mệnh đề 2.3.10. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) dim(R/AnnRHmi(M)) = N-dimR(Hmi (M)) với mọi số nguyên i và với mọi R-môđun hữu hạn sinh M;
(ii)Hmi (M)thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với mọi số nguyêni, với mọi
R-môđun hữu hạn sinh M;
(iii) Vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay.
Chứng minh. Khẳng định (iii)⇒(ii) được suy ra từ [38, Hệ quả 3.2]. Theo Định lý 2.2.5, ta có (i)⇒(iii). Khẳng định (ii)⇒(i) là kết quả của Bổ đề 1.4.8. Do đó ta có điều phải chứng minh.
Với mỗi p ∈ Spec(R), cho Fp là đối địa phương hóa định nghĩa bởi A. S. Richardson [45]. Nếu vành cơ sở R là đầy đủ thì từ đối ngẫu địa phương suy ra Fp(Hmi(M)) = Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) (xem [45, Định lý 2.6]). Với giả thiết vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay, M. Brodmann và R. Y. Sharp [4, Định lý 2.4] đã xem vai trò của Rp-môđun
Hpi−Rdim(R/p)
