Ẹũnh nghúa:

C. Vaọn dúng vaứo caực baứi toaựn khaực

A. ẹũnh nghúa:

Neỏu hai soỏ nguyẽn a vaứ b coự cuứng soỏ dử trong pheựp chia cho moọt soỏ tửù nhiẽn m  0 thỡ ta noựi a ủồng dử vụựi b theo mõủun m, vaứ coự ủồng dử thửực: a  b (mod m)

Vớ dú:7  10 (mod 3) , 12  22 (mod 10) + Chuự yự: a  b (mod m)  a – b  m B. Tớnh chaỏt cuỷa ủồng dử thửực:

1. Tớnh chaỏt phaỷn xá: a  a (mod m)

2. Tớnh chaỏt ủoĩi xửựng: a  b (mod m)  b  a (mod m)

3. Tớnh chaỏt baộc cầu: a  b (mod m), b  c (mod m) thỡ a  c (mod m) 4. Coọng , trửứ tửứng veỏ: a b (mod m) a c b d (mod m)

c d (mod m)          Heọ quaỷ: a) a  b (mod m)  a + c  b + c (mod m) b) a + b  c (mod m)  a  c - b (mod m) c) a  b (mod m)  a + km  b (mod m)

5. Nhãn tửứng veỏ : a b (mod m) ac bd (mod m) c d (mod m)       

Page 43 of 116

Heọ quaỷ:

a) a  b (mod m)  ac  bc (mod m) (c  Z) b) a  b (mod m)  an  bn (mod m)

6. Coự theồ nhãn (chia) hai veỏ vaứ mõủun cuỷa moọt ủồng dử thửực vụựi moọt soỏ nguyẽn dửụng a  b (mod m)  ac  bc (mod mc)

Chaỳng hán: 11  3 (mod 4)  22  6 (mod 8) 7. ac bc (mod m) a b (mod m) (c, m) = 1      

Chaỳng hán : 16 2 (mod 7) 8 1 (mod 7) (2, 7) = 1       C. Caực vớ dú: 1. Vớ dú 1:

Tỡm soỏ dử khi chia 9294 cho 15 Giaỷi

Ta thaỏy 92  2 (mod 15)  9294  294 (mod 15) (1)

Lái coự 24  1 (mod 15)  (24)23. 22  4 (mod 15) hay 294  4 (mod 15) (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 9294  4 (mod 15) tửực laứ 9294 chia 15 thỡ dử 4

2. Vớ dú 2:

Chửựng minh: trong caực soỏ coự dáng 2n – 4(n  N), coự võ soỏ soỏ chia heỏt cho 5 Thaọt vaọy:

Tửứ 24  1 (mod 5) 24k  1 (mod 5) (1) Lái coự 22  4 (mod 5) (2)

Nhãn (1) vụựi (2), veỏ theo veỏ ta coự: 24k + 2  4 (mod 5)  24k + 2 - 4  0 (mod 5) Hay 24k + 2 - 4 chia heỏt cho 5 vụựi mói k = 0, 1, 2, ... hay ta ủửụùc võ soỏ soỏ dáng 2n – 4 (n  N) chia heỏt cho 5

Page 44 of 116

a  1 (mod m)  an  1 (mod m) a  -1 (mod m)  an  (-1)n (mod m) 3. Vớ dú 3: Chửựng minh raống

a) 2015 – 1 chia heỏt cho 11 b) 230 + 330 chi heỏt cho 13 c) 555222 + 222555 chia heỏt cho 7

Giaỷi

a) 25  - 1 (mod 11) (1); 10  - 1 (mod 11)  105  - 1 (mod 11) (2)

Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 25. 105  1 (mod 11)  205  1 (mod 11) 205 – 1  0 (mod 11) b) 26  - 1 (mod 13)  230  - 1 (mod 13) (3)

33  1 (mod 13)  330  1 (mod 13) (4)

Tửứ (3) vaứ (4) suy ra 230 + 330  - 1 + 1 (mod 13)  230 + 330  0 (mod 13) Vaọy: 230 + 330 chi heỏt cho 13

c) 555  2 (mod 7)  555222  2222 (mod 7) (5)

23  1 (mod 7)  (23)74  1 (mod 7)  555222  1 (mod 7) (6) 222  - 2 (mod 7)  222555  (-2)555 (mod 7)

Lái coự (-2)3  - 1 (mod 7)  [(-2)3]185  - 1 (mod 7)  222555  - 1 (mod 7) Ta suy ra 555222 + 222555  1 - 1 (mod 7) hay 555222 + 222555 chia heỏt cho 7 4. Vớ dú 4: Chửựng minh raống soỏ 24n + 1

2 + 7 chia heỏt cho 11 vụựi mói soỏ tửù nhiẽn n Thaọt vaọy:Ta coự: 25  - 1 (mod 11)  210  1 (mod 11)

Xeựt soỏ dử khi chia 24n + 1 cho 10. Ta coự: 24  1 (mod 5)  24n  1 (mod 5)

 2.24n  2 (mod 10)  24n + 1  2 (mod 10)  24n + 1 = 10 k + 2 Nẽn 24n + 1

2 + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7 = BS 11 + 11 chia heỏt cho 11

Baứi taọp về nhaứ:

Page 45 of 116

a) 228 – 1 chia heỏt cho 29

b)Trong caực soỏ coự dáng2n – 3 coự võ soỏ soỏ chia heỏt cho 13 Baứi 2: Tỡm soỏ dử khi chia A = 2011 + 2212 + 19962009 cho 7.