S D→ 2D T: D→ 2K ×D :→ 2Y
2.3.3Ứng dụng của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia vào bài toán tối ưu
Stampacchia vào bài toán tối ưu
Trong phần này chúng ta sử dụng kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa biến phân kiểu Stampacchia để đưa ra điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu lý tưởng.
Giả sử rằng D, K là các tập như ở trên. Cho g :D×D→R là hàm số liên tục, và với mỗi x∈D, g(x,•) :D→R là hàm tựa lồi và S(x) ={x0 ∈D:g(x, x0)≤0} 6=∅.
Cho Q : K → 2Z0 và N : K ×D → 2K là các ánh xạ đa trị sao cho ánh xạ đa trị T :D→2K được định nghĩa như sau:
T(x) ={y∈K :∀y∗ ∈N(y, x) thỏa mãn < y∗, z−y >≥0 với mọi z ∈N(y, x)}là nửa liên tục dưới với giá trị khác rỗng với mọi x ∈D. Xét bài toán tối ưu phụ thuộc tham số sau:
IM in
(y,x)∈T(x)×S(x)f(y, x)
trong đó f :K×D→Y là liên tục và C-tựa lồi theo biến thứ 2 với x∈D. Khi đó ta có định lý sau:
Định lý 2.3.1. Với các giả thiết trên, tồn tại x∈D sao cho:
f(y, x) = IM in
(y,x)∈T(x)×S(x)f(y, x) với mọi y∈T(x). Chứng minh. Lấyε >0bất kỳ, xét các ánh xạ đa trị sau:
S1ε(x) ={x0 ∈D:g(x, x0)≤ε}
Sε
2(x) ={x0 ∈D:g(x, x0)< ε}
Ta thấy ∅ 6= S(x) ⊂ S2ε(x) ⊂ S1ε(x) với mọi x ∈ D, S1ε là ánh xạ đa trị đóng và
(Sε
2)−1(x) là tập mở khác rỗng và lồi với mọi x ∈ D. Chúng ta định nghĩa ánh xạ đa trịF :K×D×D→Y như sau:
F(y, x, x0) =f(y, x0)−f(y, x), (y, x, x0)∈K×D×D
Dễ dàng thấy rằng các giả thiết của định lý (2.3.3) được thỏa mãn, do đó tồn tại xε∈D sao cho xε ∈Sε
1(xε)và
F(yε, xε, x0)⊂F(yε, xε, xε) +C với mọix∈S2ε(xε),y ∈T(xε)
do đó f(y, x)⊂f(y, xε) +C với mọi x∈Sε
2(xε),y∈T(xε)
Mặt khác, D là tập Compact, không giảm tính tổng quát chúng ta giả sử xε → x khi ε→0. Do đó g(x, x)≤0 hay x∈S(x). Bây giờ ta chứng minh:
f(y, x)⊂f(y, x) +C với mọix∈S(x), y ∈T(x)
Thật vậy, lấyx∈S(x), y ∈T(x)tùy ý thìx∈Sε
2(x)và x∈(Sε
2)−1(x). Do(Sε
2)−1(x)là tập mở nên tồn tại ε0 >0sao choxε∈(S2ε)−1(x)với mọi ε < ε0 suy rax∈S2ε(xε). Do T là nửa liên tục và y ∈T(x); xε →x nên tồn tại yε ∈ T(xε) sao cho yε → y. Từ đó:
f(yε, x)⊂f(yε, xε) +C với mọiε < ε0
Lại do f là liên tục và C đóng nên: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Điều này có nghĩa f(y, x)∈IM in(f(y, S(x))/C)với mọi y∈T(x). Như vậy định lý được chứng minh.
Nhận xét: Định lý (2.3.1) đưa ra điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu lý tưởng phụ thuộc tham số, với tham số ở đây lày∈T(x)trong đóT(x)là nghiệm của bất đẳng thức tựa biến phân:
Đối với bài toán tối ưu: sự tồn tại nghiệm, tính ổn định nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và thuật toán giải bài toán là các vấn đề luôn được quan tâm nghiên cứu, trên cơ sở hai bài báo:" On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems of Stampacchia type" và "On the existence of solutions of quasi-equilibrium problems with constraints", luận văn đã đưa ra được điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia và một số ứng dụng của bài toán này, dưới dạng các hệ quả, về sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa cân bằng lý tưởng và bài toán tựa cân bằng Pareto. Cụ thể luận văn:
- Trình bày một số khái niệm về tính liên tục, nửa liên tục trên (dưới), tính lồi, tựa lồi theo nón của ánh xạ đa trị từ một tập con khác rỗng trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Một số điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị là C-liên tục trên(dưới)(mệnh đề 1.2.1, 1.2.2). Luận văn cũng mở rộng định lý Banach-Steihaus cho một họ các hàm lồi(lõm) trong không gian thùng (định lý 1.2.1, 1.2.2) và từ đó đưa ra điều kiện cần và đủ về tính C-liên tục trên (dưới) của ánh xạ đa trị.
- Chứng minh các điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân trên kiểu Stampacchia: (UQVIP) định lý (2.2.5),(2.2.7); và bài toán bao hàm thức tựa biến phân dưới kiểu Stampacchia (LQVIP) định lý (2.2.6), (2.2.8).
- Dựa trên sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, luân văn đưa ra một số ứng dụng dưới dạng các hệ quả (2.3.1), (2.3.2), (2.3.3), (2.3.4) đó là sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên, dưới và bài toán tựa cân bằng Pareto (mệnh đề 2.3.1).
- Đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu lý tưởng phụ thuộc tham số từ điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu
Stampacchia (định lý 2.3.1).
Tác giả luận văn mong muốn được tiếp cận và tiếp tục nghiên cứu các hướng mở, mới về các bài toán tối ưu.
[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2005),Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu đa trị, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[2] Berge (1959), Espaces Topologiques et Fontion Multivoques, Dunod, Paris.
[3] Fu J.Y (2000), Generalized vector quasi-equilibrium problems, Math.Methods Oper.Res, 52,57-64.
[4] Guerraggio A and Tan N.X. (2002),On general vector quasi-optimization problems, Math Methods Oper.Res, 55, 347-358.
[5] Luc D.T and Tan N.X. (2004), Existence condition in variational inclusions with contraints, Optimization 53(5,6), 505-515
[6] Minh N.B. and Tan N.X. (2000), Some sufficient conditions for the existence of equilibrium point concerning multivalued mappings, Vietnam J.Math, 28, 295-310. [7] Minh N.B. and Tan N.X (2005), On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems of Stapachia type, Advances in Nonlinear Variational Inequali- ties, 8,1-16.
[8] Minh N.B. and Tan N.X. (2006),On the existence of solutions of quasi-equilibrium problems with constraints, Math.Methods.Oper.Res, 64,17-31.
[9] Park S (2000), Fixed points and quasi-equilibrium problems, Nonliner operator theory, Math.Comput.Model, 32,1297-1304.
[10] Tan N.X. and Tinh P.N. (1998) On the existence of equilibrium points of vector functions, Numer.Funct.Anal.Optim, 19, 141-156
[11] Tan N.X. (2004) On the existence of solutions of quasivariational inclusion prob- lems, Journal of Optimization Theory and Applications, 123, 169-638.
[12] Luc D.T., Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economics and Math- ematical Systems, 319, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 1989.
[13] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQGHN, Hà Nội.
[14] Banach S., Theory of Operations Linear, Monography Mathematics, PWN 1932. [15] Blum E. and Oettli W. (1994) From optimization and variational inequality to
equilibrium problems, The Math.Student 63, 127-149
[16] Rockafeller R.T. (1970) Convex Analysis, Princeton University Press.
[17] Tuy H. (2003) Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Pub- lishers.