S D→ 2D T: D→ 2K ×D :→ 2Y
2.3.2 Ứng dụng của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia vào một số bài toán tựa cân bằng
Stampacchia vào một số bài toán tựa cân bằng
Mối quan hệ giữa bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia với bài toán tựa cân bằng được thể hiện thông qua các hệ quả sau:
Hệ quả 2.3.1. Cho D, K là các tập con khác rỗng, lồi, đóng, trong không gian tôpô vectơ Hausdorff X, Z và C là nón lồi, đóng trong không gian tôpô vectơ lồi địa phương Hausdorff Y. Các ánh xạ đa trị S1, S2, T và F thỏa mãn các điều kiện như trong định lý (2.2.5). Hơn nữa, giả thiết thêm rằng F(y, x, x)⊂C với mọi (y, x)∈K×D. Khi đó bài toán (UQEP1) có nghiệm.
Chứng minh. Theo định lý (2.2.5) thì tồn tại (x,∈D sao cho: x∈S1(x)
F(y, x, x)⊂F(y, x, x) +C với mọi x∈S2(x), y∈T(x)
Theo giả thiết F(y, x, x)⊂C với mọi(y, x)∈K×D.
NênF(y, x, x)⊂C+C ⊂C. Hay bài toán(UQEP1) có nghiệm.
Hệ quả 2.3.2. Cho D, K là các tập con khác rỗng, lồi, đóng, trong không gian tôpô vectơ Hausdorff X, Z và C là nón lồi, đóng trong không gian tôpô vectơ lồi địa phương Hausdorff Y. Các ánh xạ đa trị S1, S2, T và F thỏa mãn các điều kiện như trong định
lý (2.2.6). Hơn nữa, giả thiết thêm rằng F(y, x, x)∩C =6 ∅ với mọi (y, x)∈ K×D. Khi đó bài toán (LQEP1) có nghiệm.
Chứng minh. Theo định lý (2.2.6) thì tồn tại x,∈D sao cho: x∈S1(x)
F(y, x, x)⊂F(y, x, x)−C với mọi x∈S2(x), y∈T(x)
Lấy c∈F(y, x, x)∩C, khi đó tồn tại z ∈F(y, x, x) và c1 ∈ C sao cho c=z−c1, do đó z = c+c1 ∈ C nên F(y, x, x)∩C 6= ∅. Điều này có nghĩa bài toán (LQEP1) có nghiệm.
Mệnh đề 2.3.1. Giả sử C là nón nhọn thì các khẳng định sau là đúng:
i) Mỗi nghiệm của bài toán tựa cân bằng trên (UQEP) là nghiệm của bài toán tựa cân bằng dưới (LQEP). Hơn nữa với các giả thuyết của hệ quả (2.3.1), bài toán tựa cân bằng dưới (LQEP) có nghiệm.
ii) Mỗi nghiệm của bài toán tựa cân bằng dưới (LQEP) là nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto (PQEP). Hơn nữa với các giả thuyết của hệ quả (2.3.2), bài toán tựa cân bằng Pareto (PQEP) có nghiệm.
Chứng minh. +) Khẳng định i) là hiển nhiên.
+) Giả sử khẳng định ii) không đúng. Tức là tồn tại x ∈ D là nghiệm của bài toán tựa cân bằng lý tưởng dưới (LQEP) nhưng không là nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto, khi đó:
F(y, x, x)⊂ −C\ {0})với x∈S2(x) và y∈T(x)
Do C là nón nhọn nên C∩(−C) = {0}nên:
F(y, x, x)∩C ⊂(−C\ {0})∩C=∅
Điền này mâu thuẫn vớixlà nghiệm của bài toán tựa cân bằng lý tưởng dưới(LQEP), do đó ta có khẳng định ii).
Nhận xét:
Ta nhận thấy nếu F là ánh xạ đơn trị thì:
• Bài toán tựa cân bằng trên (UQEP) trùng với bài toán tựa cân bằng dưới (LQEP).
• Và nếu C∪(−C) = Y bài toán tựa cân bằng dưới (LQEP) trùng với bài toán tựa cân bằng Pareto (PQEP).
Hệ quả 2.3.3. Cho D, K là các tập con khác rỗng, lồi, đóng, trong không gian tôpô vectơ Hausdorff X, Z và C là nón lồi, đóng trong không gian tôpô vectơ lồi địa phương Hausdorff Y. Các ánh xạ đa trị S1, S2, T và F thỏa mãn các điều kiện như trong định lý (2.2.7). Hơn nữa, giả thiết thêm rằng F(T(x, x), x, x)⊂C với mọi x∈D. Khi đó bài toán (UQEP2) có nghiệm.
Chứng minh. Theo định lý (2.2.7) thì tồn tại (x,∈D sao cho: x∈S1(x)
F(y, x, x)⊂F(y, x, x) +C với mọi x∈S2(x), y∈T(x, x)
Theo giả thiết F(T(x, x), x, x)⊂C với mọix∈D.
NênF(y, x, x)⊂C+C ⊂C. Hay bài toán(UQEP2) có nghiệm.
Hệ quả 2.3.4. Cho D, K là các tập con khác rỗng, lồi, đóng, trong không gian tôpô vectơ Hausdorff X, Z và C là nón lồi, đóng trong không gian tôpô vectơ lồi địa phương Hausdorff Y. Các ánh xạ đa trị S1, S2, T và F thỏa mãn các điều kiện như trong định lý (2.2.8). Hơn nữa, giả thiết thêm rằng F(T(x, x), x, x)∩C 6=∅ với mọi x∈D. Khi đó bài toán (LQEP2) có nghiệm.
Chứng minh. Theo định lý (2.2.8) thì tồn tại x,∈D sao cho: x∈S1(x)
F(y, x, x)⊂F(y, x, x)−C với mọix∈S2(x), y∈T(x, x)
Lấy c∈F(y, x, x)∩C, khi đó tồn tại z ∈F(y, x, x) và c1 ∈ C sao cho c=z−c1, do đó z = c+c1 ∈ C nên F(y, x, x)∩C 6= ∅. Điều này có nghĩa bài toán (LQEP2) có nghiệm.