tựa biến phân kiểu Stampacchia
2.2.2Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng
phân kiểu Stampacchia dạng 1
Chúng ta có các định lý sau về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân trên, dưới kiểu Stampacchia dạng 1:
Định lý 2.2.5 (Định lý 2 trong [7]). Cho D và K là những tập compact lồi, khác rỗng trong các không gian vectơ tôpô Hausdorff X, Z tương ứng. Cho Y là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, C ⊂Y là nón lồi đóng và C0 có cơ sở Compact yếu∗ B. Cho các ánh xạ đa trị Si : D → 2D;i = 1,2; T : D → 2K và F : K ×D×D → 2Y thỏa mãn:
(i) S1 là ánh xạ đóng, S2(x) là khác rỗng với co(S2(x))⊆ S1(x) và S2−1(x0) là tập mở trong D với mỗi x, x0 ∈D.
(ii) T là nửa liên tục dưới với tập giá trị khác rỗng.
(iii) Với mỗi (y, x)∈K×D ánh xạ đa trị F(y, x,•) :D→2Y là C-tựa lồi trên. (iv) Với mỗi x0 ∈ D ánh xạ đa trị F(•,•, x0) : K ×D → 2Y là ánh xạ compact và (-C)-liên tục dưới và với ξ ∈ B bất kì, hàm Gξ : D → R được định nghĩa :
Gξ(x) = min
z∈F(T(x),x,x)< ξ, z > là nửa liên tục dưới.
(v) Tập F(y, x, x0) là khác rỗng , C-lồi và compact với mọi (y, x, x0)∈K×D×D
Khi đó bài toán (UQVIP1) có nghiệm.
Chứng minh. Xét hàm số h:D×D→R được định nghĩa như sau: h(x, x0) = min ξ∈B{ min z∈F(T(x),x,x0) < ξ, z >− min z∈F(T(x),x,x)< ξ, z >} với (x, x0)∈D×D.
Chúng ta chỉ ra rằng với mỗi x0 ∈D cố định, ánh xạ P :D→2Y được định nghĩa: P(x) = F(T(x), x, x0), x∈D là (-C)-liên tục dưới.
Thật vậy, với x∈D;y∈P(x) và dãy suy rộng {xβ} với xβ →x, chúng ta chỉ ra rằng có dãy suy rộng {yβ} với yβ ∈ P(xβ) có dãy con {yβλ} mà (yβλ−y) → c∈(−C). Ta cóy ∈P(x)−C =F(T(x), x, x0)−C ⇒y∈ F(z, x, x0)−C với z ∈T(x) nào đó. Do T là nửa liên tục dưới và xβ →x nên ta tìm được{zβ} mà zβ ∈T(xβ) và zβ →z. Ta cóF(•,•, x0) là (-C)-liên tục dưới, theo mệnh đề(1.2.2) thì có dãy suy rộng {yβ}với yβ ∈F(zβ, xβ, x0) =P(xβ) mà có dãy con {yβλ} thỏa mãn (yβλ −y)→c∈(−C). Sử
dụng mệnh đề (1.2.2) lần nữa ta nhận được P là (-C)-liên tục dưới.
(+) Chứng minh h là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất. Thật vậy, với ∀ε >0bé tùy ý, từ tính liên tục của tích vô hướng < ., . >và tính compact yếu∗ của B nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao choρ(V)⊂(−ε, ε)với mọiξ∈B. Lấyxβ ∈D, xβ →x. Do P là (−C)_liên tục dưới nên tồn tại lân cận U1 của x và β1 sao cho:
F(T(x), x, x0)⊂F(T(xβ), xβ, x0) +V +C
Do Gξ là hàm nửa liên tục dưới với mọiξ ∈B nên tồn tạiβ2 sao cho: Gξ(xβ)≥ Gξ(x)−ε với mọiβ ≥β2
Nên với mọi β ≥β0 = max{β1, β2}ta có :
min z∈F(T(x),x,x0) < ξ, z >≥ min z∈F(T(xβ),xβ,x0) < ξ, z >−ε min z∈F(T(xβ),xβ,xβ)< ξ, z >≥ min z∈F(T(x),x,x)< ξ, z >−ε Do đó: h(x, x0) = min ξ∈B{ min z∈F(T(x),x,x0) < ξ, z >− min z∈F(T(x),x,x)< ξ, z >} ≥min ξ∈B{ min z∈F(T(xβ),xβ,x0) < ξ, z >− min z∈F(T(xβ),xβ,xβ)< ξ, z >} −2.ε =h(xβ, x0)−2.ε với mọiβ ≥ β0 Như vậy h là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất.
(+) Chứng minh h là hàm tựa lồi theo biến thứ hai. Thật vậy, lấy y ∈ T(x), u1, u2 ∈D, α∈[0,1]. Do F(y, x,•) là C-tựa lồi trên nên ta có:
F(y, x, u1)⊂F(y, x, αu1+ (1−α)u2) +C (1) hoặc F(y, x, u2)⊂F(y, x, αu1+ (1−α)u2) +C (2) Nếu có (1) thì min z∈F(y,x,u1)< ξ, z > > min z∈F(y,x,αu1+(1−α)u2)< ξ, z > ∀ξ∈B ⇒h(x, u1)≥h(x, αu1+ (1−α)u2) (3)
Nếu có (2) thì min z∈F(y,,u2) < ξ, z > > min z∈F(y,x,αu1+(1−α)u2) < ξ, z > ∀ξ∈B ⇒h(x, u2)≥h(x, αu1+ (1−α)u2) (4) Từ (3)và (4)ta được: h(x, αu1+ (1−α)u2)≤max{h(x, u1);h(x, u2)}. Vậyh(x,•)là hàm tựa lồi và rõ ràngh(x, x) = 0 với mọix∈ D. Theo định lý (2.2.2) với g = h thì tồn tạix∈D sao cho:
x∈S1(x) h(x, x)≥0với mọi x∈S2(x) Do đó : min z∈F(y,x,x) < ξ, z >≥ min z∈F(y,x,x) < ξ, z >với mọi ξ∈B;x∈S2(x), y ∈T(x) (5)
(+) Chứng minh F(y, x, x)⊂F(y, x, x) +C với mọix∈S2(x), y ∈T(x) (6) Thật vậy, ngược lại giả sử tồn tại x∗ ∈ S2(x), y∗ ∈ T(x) sao cho: F(y∗, x, x∗) 6⊂
F(y∗, x, x) +C
Lấyv∗ ∈F(y∗, x, x∗) :v∗ 6∈F(y∗, x, x) +C. Do F(y∗, x, x) là compact, C-lồi; C là lồi, đóng nên theo định lý tách tồn tại ξ∈Y∗ sao cho:
< ξ, v∗ > < < ξ, v > ∀v ∈F(y∗, x, x) +C (7) doF(y∗, x, x)⊂F(y∗, x, x) +C ⇒< ξ, v∗ > < < ξ, v > ∀v ∈F(y∗, x, x) (8) Nếuξ6∈C0 thì tồn tạic∗ ∈Csao choa=< ξ, c∗ ><0. Do C là nón nênλc∗ ∈C;∀λ >0
⇒< ξ, λc∗ >=λa→ −∞ (khi λ→+∞). Lấy w∗ ∈F(y∗, x, x) ta có: w∗+λc∗ ∈F(y∗, x, x) +C
Từ (8) ta nhận được:
< ξ, v∗ > < < ξ, w∗ >+λ < ξ, c∗ >
Cho λ →+∞ ⇒< ξ, v∗ > <−∞. Điều này vô lý, vậy ξ ∈C0 và ξ 6= 0. Mặt khác B là cơ sở của C0 nên tìm được ξ ∈B vàt >0 sao cho ξ =t.ξ. Từ (8) ta có: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
min
z∈F(y∗,x,x∗)< ξ, z > < < ξ, v∗ > < min
z∈F(y∗,x∗,x∗)< ξ, z >
Điều này mâu thuẫn với (5). Vậy ta có (6) tức là:
F(y, x, x)⊂F(y, x, x) +C với ∀x∈S2(x), y ∈T(x)
Định lý 2.2.6. Cho D và K là những tập compact lồi, khác rỗng trong các không gian vectơ tôpô Hausdorff X, Z tương ứng. Cho Y là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, C ⊂ Y là nón lồi đóng và C0 có cơ sở compact yếu∗ B. Cho các ánh xạ đa trị Si :D→2D;i= 1,2; T :D→2K và F :K×D×D→2Y thỏa mãn:
(i) S1 là ánh xạ đóng, S2(x) là khác rỗng với co(S2(x))⊆ S1(x) và S2−1(x0) là tập mở trong D với mỗi x, x0 ∈D.
(ii) T là ánh xạ đóng với tập giá trị khác rỗng.
(iii) Với mọi (y, x)∈K×D ánh xạ đa trị F(y, x,•) :D→2Y là C-tựa lồi dưới. (iv) Với mỗi x0 ∈D ánh xạ đa trị F(•,•, x0) :K×D→2Y là (-C)-liên tục trên và với ξ ∈ B bất kì, hàm Gξ : D →R được định nghĩa : Gξ(x) = max
z∈F(T(x),x,x) < ξ, z > là nửa liên tục dưới.
(v) Tập F(y, x, x0)là khác rỗng, (-C)-lồi và compact với mọi (y, x, x0)∈K×D×D
Khi đó bài toán (LQVIP1) có nghiệm.
Chứng minh. Xét hàm số g :D×D→R được định nghĩa như sau: g(x, x0) = min ξ∈B{ max z∈F(T(x),x,x0) < ξ, z >− max z∈F(T(x),x,x)< ξ, z >} với (x, x0)∈D×D.
Chứng minh tương tự như Định lý 2.2.5 chúng ta chỉ ra rằng với mỗix0 ∈D cố định, ánh xạ P :D→2Y được định nghĩa:
P(x) = F(T(x), x, x0), x∈D là (-C)-liên tục trên.
(+) Chứng minh g là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất. Thật vậy, với ∀ε >0bé tùy ý, từ tính liên tục của tích vô hướng<•,•>và tính compact yếu∗ của B nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho ρ(V) ⊂ (−ε, ε) với mọi ξ ∈ B. Lấy xβ ∈ D, xβ
→x. Do P là (-C)-liên tục trên nên tồn tại lân cậnU1 của x và β1 sao cho: F(T(xβ), xβ, x0)⊂F(T(x), x, x0) +V −C
Do Gξ là hàm nửa liên tục dưới với mọiξ ∈B nên tồn tạiβ2 sao cho: Gξ(xβ)≥Gξ(x)−ε với mọiβ ≥β2
Nên với mọi β ≥β0 = max{β1, β2} ta có :
max
z∈F(T(xβ),xβ,x0)
< ξ, z >≤ max
z∈F(T(x),x,x0)
max z∈F(T(xβ),xβ,xβ) < ξ, z >≥ max z∈F(T(x),x,x) < ξ, z >−ε Do đó: g(x, x0) = min ξ∈B{ max z∈F(T(x),x,x0) < ξ, z >− max z∈F(T(x),x,x) < ξ, z >} ≥min ξ∈B{ max z∈F(T(xβ),xβ,x0) < ξ, z >− max z∈F(T(xβ),xβ,xβ) < ξ, z >} −2.ε =g(xβ, x0)−2.ε với mọiβ ≥ β0 Như vậy g là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất.
(+) Chứng minh g là hàm tựa lồi theo biến thứ hai. Thật vậy, lấyy∈T(x), u1, u2 ∈
D, α∈[0,1]. Do F(y, x,•) là C-tựa lồi dưới nên ta có:
F(y, x, αu1+ (1−α)u2)⊂F(y, x, u1)−C (a) hoặc F(y, x, αu1+ (1−α)u2)⊂F(y, x, u2)−C (b) Nếu có (a) thì max
z∈F(y,x,u1)< ξ, z > > max z∈F(y,x,αu1+(1−α)u2)< ξ, z > ∀ξ ∈B ⇒g(x, u1)≥g(x, αu1+ (1−α)u2) (c) Nếu có (b) thì max z∈F(y,x,u2)< ξ, z > > max z∈F(y,x,αu1+(1−α)u2)< ξ, z > ∀ξ∈B ⇒g(x, u2)≥g(x, αu1+ (1−α)u2) (d) Từ (c) và (d)ta được: g(x, αu1+ (1−α)u2)≤max{g(x, u1);g(x, u2)}.
Vậy g(x,•) là hàm tựa lồi và rõ ràng g(x, x) = 0 với mọi x ∈ D. Theo Định lý 2.2.2 thì tồn tại x∈Dsao cho:
x∈S1(x) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
g(x, x)≥0 với mọix∈S2(x)
Do đó : max
z∈F(y,x,x)< ξ, z >≥ max
z∈F(y,x,x)< ξ, z >với mọi ξ∈B;x∈S2(x), y ∈T(x) (e) (+) Chứng minh F(y, x, x)⊂F(y, x, x)−C với mọix∈S2(x), y ∈T(x) (f) Thật vậy, ngược lại giả sử tồn tại x∗ ∈ S2(x), y∗ ∈ T(x) sao cho: F(y∗, x, x) 6⊂
F(y∗, x, x∗)−C
Lấy v∗ ∈ F(y∗, x, x) : v∗ 6∈ F(y∗, x, x∗)−C. Do F(y∗, x, x∗) là compact, (-C)-lồi, C là lồi, đóng nên theo định lý tách tồn tạiξ ∈Y∗ sao cho:
< ξ, v∗ > > < ξ, v > ∀v ∈F(y∗, x, x∗)−C (g)
⇒ < ξ, v∗ > > < ξ, v > ∀v ∈F(y∗, x, x∗) (h) Nếuξ6∈C0 thì tồn tạic∗ ∈Csao choa=< ξ, c∗ ><0. Do C là nón nênλc∗ ∈C;∀λ >0
⇒< ξ, λc∗ >=λa→ −∞ (khi λ→+∞). Lấy w∗ ∈F(y∗, x, x∗) ta có: w∗−λc∗ ∈F(y∗, x, x∗)−C
Từ (h) ta nhận được:
< ξ, v∗ > > < ξ, w∗ >−λ < ξ, c∗ >
Cho λ →+∞ ⇒< ξ, v∗ > > +∞. Điều này vô lý, vậy ξ ∈C0 và ξ 6= 0. Mặt khác B là cơ sở của C0 nên tìm được ξ ∈B vàt >0 sao cho ξ =t.ξ. Từ (h) ta có:
max
z∈F(y∗,x∗,x∗)< ξ, z > > < ξ, v∗ > > max
z∈F(y∗,x,x∗)< ξ, z >
Điều này mâu thuẫn với (e). Vậy ta có (f) tức là:
F(y, x, x)⊂F(y, x, x)−C với ∀x∈S2(x), y ∈T(x)
Vậy định lý được chứng minh, hay bài toán (LQVIP1)có nghiệm.
2.2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biếnphân kiểu Stampacchia dạng 2 phân kiểu Stampacchia dạng 2
Cho X,Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff, Y là không gian vectơ Hausdorff lồi địa phương, D, K là các tập khác rỗng tương ứng trong X, Z, C là nón trong Y. Chúng ta có các định lý sau về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 2:
Định lý 2.2.7. Cho D và K là những tập compact lồi, khác rỗng trong các không gian vectơ tôpô Hausdorff X, Z tương ứng. Cho Y là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, C ⊂ Y là nón lồi đóng và C0 có cơ sở compact yếu∗ B. Cho các ánh xạ đa trị Si :D→2D;i= 1,2; T :D×D→2K và F :K×D×D→2Y thỏa mãn:
(i) S1 là ánh xạ đóng, S2(x) là khác rỗng với co(S2(x))⊆ S1(x) và S2−1(x0) là tập mở trong D với mỗi x, x0 ∈D.
(iii) Ánh xạ đa trị F là (T,C)-tựa lồi chéo trên theo biến thứ 3.
(iv) Ánh xạ đa trị F(•,•, x0) : K ×D → 2Y là ánh xạ compact và (-C)-liên tục dưới với mỗi x0 ∈ D và với ξ ∈ B bất kì, hàm Gξ : D → R được định nghĩa :
Gξ(x) = min
z∈F(T(x,x),x,x)
< ξ, z > là nửa liên tục dưới.
(v) Tập F(y, x, x0) là khác rỗng , C-lồi và compact với mọi (y, x, x0)∈K×D×D
Khi đó bài toán (UQVIP2) có nghiệm.
Chứng minh. Xét hàm số h:D×D→R được định nghĩa như sau: h(x, x0) = min ξ∈B{ min z∈F(T(x,x0),x,x0) < ξ, z >− min z∈F(T(x,x),x,x)< ξ, z >} với (x, x0)∈D×D. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chúng ta chỉ ra rằng với mỗi x0 ∈D cố định, ánh xạ P :D→2Y được định nghĩa: P(x) = F(T(x, x0), x, x0), x∈D là (-C)-liên tục dưới.
Thật vậy, với x∈D;y ∈P(x)−C và dãy suy rộng {xβ} với xβ →x, chúng ta chỉ ra rằng có dãy suy rộng{yβ}vớiyβ∈P(xβ)có dãy con{yβλ}mà(yβλ−y)→c∈(−C). Ta có:y∈P(x)−C=F(T(x, x0), x, x0)−C ⇒y∈F(z, x, x0)−Cvới z∈T(x, x0)nào đó. Do T là nửa liên tục dưới vàxβ →xnên ta tìm được{zβ}màzβ ∈T(xβ, x0)vàzβ →z. Ta cóF(•,•, x0) là (-C)-liên tục dưới, theo mệnh đề (1.2.2) thì có dãy suy rộng {yβ}
với yβ ∈F(zβ, xβ,x0) =P(xβ)mà có dãy con {yβλ} thỏa mãn (yβλ−y)→c∈(−C). Sử dụng mệnh đề(1.2.2) lần nữa ta nhận được P là (-C)-liên tục dưới.
(+) Chứng minh h là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất. Thật vậy, với ∀ε >0bé tùy ý, từ tính liên tục của tích vô hướng < ., . >và tính compact yếu∗ của B nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao choρ(V)⊂(−ε, ε)với mọiξ∈B. Lấyxβ ∈D, xβ →x. Do P là (-C)-liên tục dưới nên tồn tại lân cận U1 của x và β1 sao cho:
F(T(x, x0), x, x0)⊂ F(T(xβ, x0), xβ, x0) +V +C Do Gξ là hàm nửa liên tục dưới với mọi ξ∈B nên tồn tại β2 sao cho:
Gξ(xβ)≥ Gξ(x)−ε với mọiβ ≥β2 Nên với mọi β ≥β0 = max{β1, β2}ta có :
min z∈F(T(x,x0),x,x0) < ξ, z >≥ min z∈F(T(xβ,x0),xβ,x0) < ξ, z >−ε min z∈F(T(xβ,xβ),xβ,xβ)< ξ, z >≥ min z∈F(T(x,x),x,x)< ξ, z >−ε
Do đó: h(x, x0) = min ξ∈B{ min z∈F(T(x,x0),x,x0) < ξ, z >− min z∈F(T(x,x),x,x) < ξ, z >} ≥min ξ∈B{ min z∈F(T(xβ,x0),xβ,x0) < ξ, z >− min z∈F(T(xβ,xβ),xβ,xβ) < ξ, z >} −2.ε =h(xβ, x0)−2.ε với mọiβ ≥ β0 Như vậy h là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất.
(+) Chứng minh h là hàm tựa lồi chéo theo biến thứ hai. Thật vậy, lấy u1, u2 ∈
D, t∈[0,1], ut =tu1+ (1−t)u2. Do F là (T,C)-tựa lồi chéo trên theo biến thứ 3 nên ta có: F(T(ut, u1), ut, u1)⊂F(T(ut, ut), ut, ut) +C (1) hoặc F(T(ut, u2), ut, u2)⊂F(T(ut, ut), ut, ut) +C (2) Nếu có (1)thì min z∈F(T(ut,u1),ut,u1)< ξ, z > > min z∈F(T(ut,ut),ut,ut)< ξ, z > ∀ξ ∈B ⇒h(ut, u1)≥h(ut, ut) (3) Nếu có (2)thì min z∈F(T(ut,u2),ut,u2)< ξ, z > > min z∈F(T(ut,ut),ut,ut)< ξ, z > ∀ξ ∈B ⇒h(ut, u2)≥h(ut, ut) (4) Từ (3) và (4)ta được: h(ut, ut)≤max{h(ut, u1);h(ut, u2)}.
Vậy h là hàm tựa lồi chéo theo biến thứ 2 và rõ ràng h(x, x) = 0 với mọi x∈D. Theo Định lý 2.2.3 với g = h thì tồn tại x∈D sao cho:
x∈S1(x)
h(x, x)≥0với mọi x∈S2(x)
Do đó :
min
z∈F(y,x,x)< ξ, z >≥ min
z∈F(y,x,x)< ξ, z >với mọi ξ∈B;x∈S2(x), y ∈T(x, x) (5) (+) Chứng minh F(y, x, x)⊂F(y, x, x) +C với mọix∈S2(x), y ∈T(x, x) (6) Thật vậy, ngược lại giả sử tồn tại x∗ ∈ S2(x), y∗ ∈ T(x, x∗) sao cho: F(y∗, x, x∗) 6⊂
F(y∗, x, x) +C
Lấy v∗ ∈ F(y∗, x, x∗) : v∗ 6∈ F(y∗, x, x) +C. Do F(y∗, x, x) là Compact, C_lồi; C là lồi, đóng nên theo định lý tách tồn tạiξ ∈Y∗ sao cho:
doF(y∗, x, x)⊂F(y∗, x, x) +C ⇒< ξ, v∗ > < < ξ, v > ∀v ∈F(y∗, x, x) (8) Nếuξ6∈C0 thì tồn tạic∗ ∈Csao choa=< ξ, c∗ ><0. Do C là nón nênλc∗ ∈C;∀λ >0
⇒< ξ, λc∗ >=λa→ −∞ (khi λ→+∞). Lấy w∗ ∈F(y∗, x, x) ta có: w∗+λc∗ ∈F(y∗, x, x) +C
Từ (8) ta nhận được: < ξ, v∗ > < < ξ, w∗ >+λ < ξ, c∗ >
Cho λ → +∞ ⇒< ξ, v∗ > < −∞. Điều này vô lý, vậy ξ ∈C0 và ξ 6= 0. Mặt khác B là cơ sở củaC0 nên tìm được ξ∈B và t >0 sao cho ξ=t.ξ. Từ (8)ta có:
min
z∈F(y∗,x,x∗)
< ξ, z > < < ξ, v∗ > < min
z∈F(y∗,x∗,x∗)
< ξ, z >
Điều này mâu thuẫn với (5). Vậy ta có (6) tức là:
F(y, x, x)⊂F(y, x, x) +C với ∀x∈S2(x), y ∈T(x, x) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vậy định lý được chứng minh, hay bài toán (UQVIP2)có nghiệm.
Định lý 2.2.8. Cho D và K là những tập compact lồi, khác rỗng trong các không gian vectơ tôpô Hausdorff X, Z tương ứng. Cho Y là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, C ⊂ Y là nón lồi đóng và C0 có cơ sở compact yếu∗ B. Cho các ánh xạ đa trị Si :D→2D;i= 1,2; T :D×D→2K và F :K×D×D→2Y thỏa mãn:
(i) S1 là ánh xạ đóng, S2(x) là khác rỗng với co(S2(x))⊆ S1(x) và S2−1(x0) là tập mở trong D với mỗi x, x0 ∈D.
(ii) T là ánh xạ đóng với tập giá trị khác rỗng.
(iii) Ánh xạ đa trị F là (T,C)-tựa lồi chéo dưới theo biến thứ ba.
(iv) Ánh xạ đa trị F(•,•, x0) :K×D→2Y là (-C)-liên tục trên với mọix0 ∈D và với ξ ∈ B bất kì, hàm Gξ : D →R được định nghĩa : Gξ(x) = max
z∈F(T(x),x,x)
< ξ, z > là nửa liên tục dưới.
(v) Tập F(y, x, x0) là khác rỗng, (-C)-lồi và compact với ∀(y, x, x0)∈K×D×D
Khi đó bài toán (LQVIP2) có nghiệm.
Chứng minh. Xét hàm số g :D×D→R được định nghĩa như sau:
g(x, x0) = min
ξ∈B{ max
z∈F(T(x,x0),x,x0)
< ξ, z >− max
với (x, x0)∈D×D.
Chứng minh tương tự như Định lý 2.2.7 chúng ta chỉ ra rằng với mỗix0 ∈D cố định, ánh xạ P :D→2Y được định nghĩa:
P(x) = F(T(x, x0), x, x0), x∈D là (-C)-liên tục trên.
(+) Chứng minh g là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất. Thật vậy, với ∀ε >0bé tùy ý, từ tính liên tục của tích vô hướng<•,•>và tính compact yếu∗ của B nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho ρ(V) ⊂ (−ε, ε) với mọi ξ ∈ B. Lấy xβ ∈ D, xβ
→x. Do P là (-C)-liên tục trên nên tồn tại lân cậnU1 của x và β1 sao cho: F(T(xβ, x0), xβ, x0)⊂F(T(x, x0), x, x0) +V −C
Do Gξ là hàm nửa liên tục dưới với mọiξ ∈B nên tồn tạiβ2 sao cho: Gξ(xβ)≥Gξ(x)−ε với mọiβ ≥β2
Nên với mọi β ≥β0 = max{β1, β2} ta có :
max z∈F(T(xβ,x0),xβ,x0) < ξ, z >≤ max z∈F(T(x,x0),x,x0) < ξ, z >+ε max z∈F(T(xβ,xβ),xβ,xβ)< ξ, z >≥ max z∈F(T(x,x),x,x)< ξ, z >−ε Do đó: g(x, x0) = min ξ∈B{ max z∈F(T(x,x0),x,x0) < ξ, z >− max z∈F(T(x,x),x,x)< ξ, z >} ≥min ξ∈B{ max z∈F(T(xβ,x0),xβ,x0) < ξ, z >− max z∈F(T(xβ,xβ),xβ,xβ)< ξ, z >} −2.ε =g(xβ, x0)−2.ε với mọiβ ≥ β0 Như vậy g là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất.
(+) Chứng minh g là hàm tựa lồi chéo theo biến thứ hai. Thật vậy, lấy u1, u2 ∈
D, t∈[0,1];ut =tu1+ (1−t)u2. Do F là (T,C)-tựa lồi chéo dưới theo biến thứ ba nên ta có:
F(T(ut, ut), ut, ut)⊂F(T(ut, u1), ut, u1)−C (a) hoặc F(T(ut, ut), ut, ut)⊂F(T(ut, u2), ut, u2)−C (b) Nếu có (a) thì max
z∈F(T(ut,u1),ut,u1)< ξ, z > ≥ max
⇒g(ut, u1)≥g(ut, ut) (c) Nếu có (b) thì max
z∈F(T(ut,u2),ut,u2)< ξ, z > > max
z∈F(T(ut,ut),ut,ut)< ξ, z > ∀ξ∈B (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
⇒g(ut, u2)≥g(ut, ut) (d)
Từ (c)và (d)ta được:g(ut, ut)≤max{g(ut, u1);g(ut, u2)}. Vậyg(x,•)là hàm tựa lồi chéo theo biến thứ hai và rõ ràng g(x, x) = 0 với mọi x ∈D. Theo Định lý 2.2.3 thì tồn tạix∈D sao cho:
x∈S1(x)
g(x, x)≥0 với mọix∈S2(x)
Do đó :
max
z∈F(y,x,x)< ξ, z >≥ max
z∈F(y,x,x)< ξ, z >với mọi ξ∈B;x∈S2(x), y ∈T(x, x) (e) (+) Chứng minh F(y, x, x)⊂F(y, x, x)−C với mọix∈S2(x), y ∈T(x, x) (f) Thật vậy, ngược lại giả sử tồn tại x∗ ∈ S2(x), y∗ ∈ T(x, x∗) sao cho: F(y∗, x, x) 6⊂
F(y∗, x, x∗)−C. Lấyv∗ ∈F(y∗, x, x) :v∗ 6∈F(y∗, x, x∗)−C. DoF(y∗, x, x∗)là compact, (-C)-lồi, C là lồi, đóng nên theo định lý tách tồn tại ξ∈Y∗ sao cho:
< ξ, v∗ > > < ξ, v > ∀v ∈F(y∗, x, x∗)−C (g)
⇒ < ξ, v∗ > > < ξ, v > ∀v ∈F(y∗, x, x∗) (h) Nếuξ6∈C0 thì tồn tạic∗ ∈Csao choa=< ξ, c∗ ><0. Do C là nón nênλc∗ ∈C;∀λ >0