Trong chương này, chúng ta xét các bài toán bao hàm thức tựa biến phân loại 1 và loại 2, mỗi loại được phân thành hai lớp khác nhau: Lớp bài toán tựa biến phân trên (UQVIP) và lớp bài toán tựa biến phân dưới (LQVIP). Đồng thời cũng đưa ra một số kết quả cho sự tồn tại nghiệm của các dạng bài toán này. Các kết quả nhận được từ bài toán bao hàm thức tựa biến phân được ứng dụng để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của lớp các bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên (UIQEP), lý tưởng dưới (LIQEP) và bài toán tựa cân bằng Pareto.
2.1 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stam-
pacchia
Các bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia được phân thành hai dạng, mỗi dạng được phân thành hai lớp trên và dưới như sau:
2.1.1 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchiadạng 1 dạng 1
Cho X,Y,Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là những tập hợp con khác rỗng,C ⊂Y là một nón. Xét các ánh xạ đa trị:
Si :D→2D;i= 1,2 T :D→2K F :K×D×D→2Y
1. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân trên kiểu Stampacchia dạng 1(UQVIP1)
Tìm x∈D sao cho: x∈S1(x)
F(y, x, x)⊂F(y, x, x) +C với mọi x∈S2(x), y ∈T(x).
2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân dưới kiểu Stampacchia dạng 1(LQVIP1)
Tìm x∈D sao cho: x∈S1(x)
F(y, x, x)⊂F(y, x, x)−C với mọix∈S2(x), y ∈T(x).
2.1.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchiadạng 2 dạng 2
Cho X,Y,Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là những tập hợp con khác rỗng,C ⊂Y là một nón. Xét các ánh xạ đa trị:
Si :D→2D;i= 1,2 T :D×D→2K F :K×D×D→2Y
3. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân trên kiểu Stampacchia dạng 2(UQVIP2)
Tìm x∈D sao cho: x∈S1(x)
F(y, x, x)⊂F(y, x, x) +C với mọi x∈S2(x), y ∈T(x, x).
4. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân dưới kiểu Stampacchia dạng 2(LQVIP2)
Tìm x∈D sao cho: x∈S1(x)
F(y, x, x)⊂F(y, x, x)−C với mọix∈S2(x), y ∈T(x, x). Nhận xét:
(i) KhiY =R;C=R+ và F là hàm số thực thì các bài toán trên gọi là các bài toán tối ưu vô hướng.
(ii) Khi Y là không gian vectơ thì các bài toán trên được gọi là các bài toán tối ưu vectơ.
Tiếp theo, luận văn đưa ra các điều kiện về sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao