2 Khai thác lý thuyết đồ thị vào giải toán trung học phổ thông
2.7 Bài toán liên quan đến cây
Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi đồ thị liên thông n đỉnh và m cạnh luôn tồn tại
m−n+ 1 cạnh, sao cho khi bỏ các cạnh này đi thì ta thu được một cây Giải
Trước hết ta thấy rằng nếu đồ thị liên thông đã cho không phải cây thì nó có một chu trình. Nếu bỏ một cạnh trên chu trình này thì ta thu được một đồ thị vẫn liên thông. Như vậy bằng cách lần lượt bỏ đi các cạnh trên các chu trình của đồ thị cho đến lúc ta thu được đồ thị không có chu trình. Khi đó đồ thị thu được là đồ thị liên thông và không có chu trình, tức là một cây. Theo định lý đã chứng minh rằng,
cây với n đỉnh có n−1 cạnh, nên số cạnh ta bỏ đi đúng bằng m−(n−1) =m−n+ 1
cạnh. Tóm lại trong đồ thị n đỉnh, m cạnh luôn tồn tạim−n+ 1 cạnh mà khi bỏ các cạnh này đi ta thu được một cây.
Bài 2 : Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các số nguyên dươngd1, d2, ..., dn
là bậc của các đỉnh trong một cây có n đỉnh là Pni=1di = 2·n−2. Trên mặt phẳng có n điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng, sao cho khoảng cách giữa chúng đôi một khác nhau. Từ một điểm ta nối điểm gần nó nhất trong số các điểm còn lại bởi một đoạn thẳng. Chứng minh rằng đồ thị được tạo ra bằng cách đó là một bụi.
Giải
Một chiều cần chứng minh là hiển nhiên. Nếu d1, d2, ..., dn là bậc của các đỉnh của một cây n đỉnh, thì Pni=1di = 2·n−2( theo định lý về tổng của các bậc thuộc các đỉnh trong đồ thị và theo định lý về cây có đúng n−1 cạnh).
Ngược lại, ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng: Nếu Pni=1di = 2n−2, thì luôn tồn tại một cây có n đỉnh với bậc các đỉnh là d1, d2, ..., dn.
Với n = 1 khẳng định hiển nhiên đúng.
Giả sử với mỗi bộ số tự nhiên n phần tử d1, d2, ..., dn luôn tồn tại một cây
G(n) có n đỉnh, sao cho d1, d2, ..., dn là bậc các đỉnh của G(n).
Xét một bộ n+ 1 số tự nhiên d1, d2, ..., dn+1 với Pni=1+1di = 2 (n+ 1)−2 = 2n
Ta giả sử không mất tính tổng quát là d1 ≥ d2 ≥ ... ≥ dn ≥ dn+1. Do Pn+1
i=1 di = 2 (n+ 1) − 2 = 2n ta có dn+1 và d1 ≥ 2. Xét dãy số d01 = d1 − 1 và
d0i =di cho mọi i >1. Ta có Pni=1d0i = 2n−2. Theo giả thiết quy nạp tồn tại một cây
G0(n) gồm n đỉnh p1, ..., Pn với Pi có bậc là d0i. Ta thêm vào Gn đỉnh Pn+1 và cạnh nối P1 với Pn+1. Đồ thị thu được là đồ thị liên thông có n+ 1 đỉnh và n cạnh là một cây và bậc của đỉnh Pi là di.
Bài 3. Trong một cuộc thi đấu cầu lông Hoài và Huệ quy ước với nhau : Người thắng cuộc là người đầu tiên thắng 4 ván hoặc thắng 2 ván liên tiếp. Hãy xác định số khả năng có thể xảy ra ?
Giải
Dùng A để kí hiệu Hoài thắng, B để kí hiệu Huệ thắng. Dùng cây để mô tả toàn bộ hiện trạng có khả năng xảy ra
Xây dựng cây : Xuất phát từ đỉnh S. Ván đầu tiên có hai khả năng : Hoài thắng hoặc Huệ thắng nên lấy hai điểm sao cho hai điểm này với S không thẳng hàng. Một trong hai điểm này ghi A, còn lại điểm kia ghi B. Nối S với A bằng một đoạn thẳng hoặc một đoạn cong để biểu thị "A thắng".
Tương tư để biểu thị "B thắng" nối S với B bằng một đoạn thẳng hoặc một đoạn cong.
Ván thứ hai có 2 khả năng : Hoài thắng hoặc Huệ thắng. Nên xuất phát từ A
cũng lấy hai điểm mới và ghi kí hiệu tương tự A, B và từ A kẻ đường thẳng hoặc hai đoạn cong tới hai điểm mới thêm. Đối với điểm B cũng chọn thêm hai đỉnh mới ghi
A và B, rồi từ B kẻ hai đoạn thẳng hoặc hai đoạn cong đi tới hai điểm mới thêm. Tiếp theo thực hiện kéo dài các đường một cách tương tự, nhưng do quy ước của Hoài và Huệ, những đường mà trên đó xuất hiện 2 đỉnh liên tiếp ghi cùng bằng một kí hiệu hoặc 4 đỉnh được ghi cùng bằng một kí hiệu đều không được kéo dài.
H53
Vì Hoài và Huệ đấu với nhau 7 ván thì hoặc có người thắng hai ván liên tiếp hoặc có người thắng 4 ván. Nên những đường xuất phát từ đỉnh S đều không có 7 cạnh (H53). Cây có 14 đỉnh ngọn nên có 14 khả năng xảy ra.
Bài 4. Tại một giải cầu lông có 4 đội Hà Nội, Hải Phòng, Hà Nam, Nam Định vào bán kết. Có mấy dự đoán xếp hạng sau :
1. Hải phòng vô địch, Nam Định nhì 2. Hải Phòng nhì, Hà Nam ba
3. Hà Nội nhì, Hà Nam ba
Kết quả là : Mỗi dự đoán đúng được một đội. Hãy cho biết kết quả xếp hạng của các đội ?
Giải
Dùng A, D, H, T để ký hiệu các đội Hà Nội, Hải Phòng, Hà Nam và Nam Định và xi, để kí hiệu đội x được xếp hạng i(1≤i≤4). Ta vẽ cây, hai nhánh đầu tiên ứng với dự đoán thứ nhất là D1, T2. Từ mỗi nhánh này lại có hai nhánh ứng với dự đoán thứ hai. Tiếp tục rẽ nhánh ứng với dự đoán thứ ba.
- Một đội không thể được xếp hai hạng khác nhau - Hai đội không thể xếp cùng một hạng
Suy ra chỉ có đường đi D1H3A2 thỏa mãn.
H54
Đường tô tậm D1H3A2 thỏa mãn điều kiện mỗi dự đoán đúng được một đội mà thứ tự ghi trên đường.
Vậy kết quả xếp hạng như sau : Hải Phòng vô địch, Hà Nội nhì, Hà Nam ba, Nam Định bốn.