2 Khai thác lý thuyết đồ thị vào giải toán trung học phổ thông
2.4 Bài toán có liên quan đến bậc và cạnh của đồ thị
Học sinh được làm quen với khái niệm điểm và đường thẳng từ rất sớm. Đó là những yếu tố cơ bản của lý thuyết đồ thị. Như vậy đối với những bài toán yêu cầu tìm tất cả các đường đi qua một điểm cho trước ta có thể quy về bài toán đồ thị.
Bài 1. Một tổ học sinh lớp 10 chuyên toán có 11 học sinh.Buổi họp đầu tiên của tổ vào dịp đầu năm học. Bạn tổ trưởng đã phát hiện ra điều thú vị rằng: Mỗi bạn trong tổ đã quen đúng 3 bạn khác. Ngay lập tức bạn Chi đứng lên bác bỏ phát hiện đó. Vậy trong hai bạn ai nói đúng? Vì sao?
Giải. Xây dựng đồ thị:
+ Đối tượng: Các bạn học sinh và cụ thể là có 11 học sinh đặt tương ứng với 11 đỉnh + Quan hệ: Có quan hệ quen và không quen. Vậy nếu hai bạn quen nhau ta nối 2 đỉnh tương ứng bởi 1 cạnh.
Vậy từ đó ta có đồ thị tương ứng với bài toán đã cho (H46).
Theo giả thiết của bài toán ta thấy mỗi học sinh đều có quan hệ quen với 3 bạn khác điều đó ứng với trong đồ thị tại mỗi đỉnh đều có cạnh nối tới 3 đỉnh khác hay tất cả các đỉnh đều có bậc 3. Vậy ta sẽ áp dụng lý thuyết về bậc của đồ thị.
Nếu theo đúng giả thiết tất cả các đỉnh của đồ thị đều bậc 3 thì số cạnh của đồ thị là 332 6∈N. Điều này vô lý.
Vậy phát hiện của bạn tổ trưởng về số người quen của mỗi bạn trong tổ là không đúng. Do đó bạn Chi nói đúng.
Bài 2. Cho 2n điểm A1, A2, ..., A2n(n >1) trong không gian và không có ba điểm nào thẳng hàng. GọiM là tập hợp gồm (n2+ 1) đoạn thẳng có đầu mút tại các điểm đã cho. Chứng minh rằng:
1) Có ít nhất một tam giác có đỉnh tại các điểm Ar, As, At(1≤r, s, t≤2n) nào đó và các cạnh đều thuộc M.
2) Nếu số phần tử của M không vượt quá n2 thì có thể không tồn tại một tam giác như vậy.
Giải:
1) Để có khẳng định 1) ta chứng minh điều ngược lại: Nếu không có 3 cạnh nào thuộc tập M lập thành một tam giác, thì tập M gồm không quá n2 đoạn thẳng.
Chứng minh bằng quy nạp theo n khẳng định:
Nếu trong đồ thị có 2n đỉnh không có ba cạnh nào lập thành một tam giác thì số cạnh của đồ thị không vượt quá n2.
Mệnh đề đúng với n = 1, lúc đó đồ thị có 2 đỉnh và số cạnh không vượt quá
n2= 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n, ta chứng minh nó cũng đúng vớin+ 1.
Thật vậy, xét đồ thị G có2(n+ 1) đỉnh, trong đó không có ba cạnh nào lập thành một tam giác. Ta lấy một cạnh bất kỳ của G. Gọi cạnh đó là AB (H47).
Mỗi đỉnh trong n đỉnh còn lại chỉ có thể nối nhiều nhất với một trong hai đỉnh
A, B (vì trong Gkhông có tam giác nào) do đó số cạnh trong G có đỉnh tạiA hoặcB
nhiều nhất là 2n+ 1 (kể cả AB).
Theo giả thiết quy nạp, đồ thị với2nđỉnh (trong đó không có 3 cạnh nào lập thành một tam giác) có không quán2cạnh. Vậy đồ thịGcó nhiều nhất là:1+2n+n2 = (n+1)2
cạnh. Điều phải chứng minh.
Trong trường hợp G có số cạnh nhỏ hơn hoặc bằng n2:
Xét hai tập hợp con rời nhau M1, M2 và mỗi tập này chứa không quá n phần tử. Mỗi đỉnh thuộc M1 nối với các đỉnh thuộc M2 và ngược lại (H48).
Ta có đồ thị với số cạnh nhỏ hơn hoặc bằngn2và không có ba cạnh nào lập thành một tam giác. (điều phải chứng minh). Điều này chứng tỏ khẳng định 2) của bài toán là đúng.
Bài 3. Trong n− giác lồi G, không tồn tại tập U chứa nhiều hơn n cạnh hay đường chéo, sao cho 2 đoạn bất kì trong U đều có điểm chung
Giải
Giả sử trong G chọn được tập U gồm k cạnh hay đường chéo, sao cho hai đoạn bất kỳ trong chúng đều có điểm chung. Cần chứng minh k ≤n. Coi mỗi đỉnh của G
là một đỉnh đồ thị, hai đỉnh kề nhau, nếu chúng là đầu mút của những đoạn thuộc
U. Ta cũng nói đỉnh x có bậc i nếu x kề với i đỉnh khác. Ký hiệu mi là số đỉnh bậc
i(i= 1,2, ...). Ta có :
n =m0+m1+m2+. . . ,nên m1+m2+. . .≤n (1)
Xét đỉnh x bậc i >2 và G(x) gồm các đỉnh x1, x2, . . . , xi. Không giảm tổng quát ta có thể coi (x, x1) ; (x, xi)là các cạnh của đồ thị tương ứng với cạnh hay đường chéo ngoài cũng của G trong i nói trên. Khi đó đỉnh xj với 1< j < i, có bậc 1 (Vì bất kì cạnh hay đường chéo (xj, y) nào, với y khác x, đều không có điểm chung với một trong hai cạnh (x, x1) hoặc (x, xi), nghĩa là (xj, y) không thuộc U )
Do vậy mỗi đỉnh bậc i > 2 kề ít nhất i−2 đỉnh bậc 1, suy ra, mi đỉnh bậc
i(i= 3,4, . . .) kề với không ít hơn (i−2)mi đỉnh bậc 1. Mặt khác, nếu x và y là hai đỉnh khác nhau thì không thể kề với cùng một đỉnh bậc 1, nghĩa là các đỉnh bậc một kề với các đỉnh bậc i đôi một khác nhau. Ta có bất đẳng thức sau:
m1≥m3+ 2m4+ 3m5+. . . (2)
Mỗi cạnh gồm hai đầu mút, nênk cạnh thuộc U có 2k đầu mút, mỗi đỉnh bậc
2k =m1+ 2m2+ 3m3+. . . (3) Từ (1),(2),(3) suy ra:
2k=m1+ 2m2+ 3m3+. . .= (m1+ 2m2+ 2m3+. . .) + + (m3+ 2m4+ 3m5+. . .)
≤(m1+ 2m2+ 2m3+. . .) +m1 = 2 (m1+m2+m3+. . .)
= 2 (m1+m2+m3+. . .)≤2n Ta có k ≤n, đó là điều phải chứng minh.
Bài 4. Một cuộc họp có ít nhất 4 đại biểu. Khi đến họp mỗi đại biểu đã bắt tay ít nhất 3 đại biểu đến dự họp. Chứng minh rằng ta luôn luôn có thể sắp xếp một số đại biểu ngồi xung quanh một bàn tròn, để mỗi người ngồi giữa hai người mà anh (chị) ta đã bắt tay.
Giải 1) Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ
Đỉnh : Lấy các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với các đại biểu đến dự họp. Dùng ngay số giấy mới của các đại biểu ghi trên các điểm tương ứng.
Cạnh : Hai điểm x, y được nối bằng một cạnh khi và chỉ khi các đại biểux, y bắt tay nhau.
Đồ thị Gnhận được mô tả toàn bộ quan hệ bắt tay của các đại biểu đến dự họp. 2) Đáp án của bài toán bằng ngôn ngữ đồ thị
Theo cách xác định cạnh, mỗi đỉnh x có số cạnh đúng bằng số lần mà đại biểu x
đã bắt tay. Bởi vậy mỗi đỉnh của đồ thị G đều có bậc không nhỏ hơn 3. Do đó trong đồ thị của Gcó chu trình sơ cấp α. Khi đó dựa theo α mà sắp xếp các đại biểu tương ứng ngồi xung quanh bàn tròn, thì yêu cầu bài toán thỏa mãn.
Bài 5. Trong một kì nghỉ hè, có 7 người bạn đi nghỉ mát ở xa. Họ hứa với nhau rằng trong suốt kì nghỉ mỗi người phải viết thư cho đúng 3 người trong số họ. Chứng minh rằng, có ít nhất một người không viết thư trả lời cho người viết cho mình
Giải 1) Xây dựng đồ thị G mô tả quan hệ
Đỉnh : Lấy các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với 7 người bạn. Lấy tên các bạn đặt tên cho các đỉnh tương ứng.
Cạnh: Hai điểm x, y được nối bằng một cạnh khi và chỉ khi các bạn viết thư cho nhau. Bằng cách đó ta thu được một đồ thị có 7 đỉnh và mỗi đỉnh có đúng 3 cạnh.
Ta chứng minh bài toán bằng phản chứng. Giả sử ngược lại rằng mỗi người đều viết thư cho người viết cho mình, khi đó ta có thể thiết lập được một đồ thị mô tả quan hệ viết thư này.
2) Đáp án của bài toán
của G ta có số cạnh của đồ thị là 72·3 = 10,5 không phải là số nguyên. Điều này vô lý. Mâu thuẫn đó chứng tỏ có ít nhất một người không viết thư trả lời người viết cho mình.