2 Khai thác lý thuyết đồ thị vào giải toán trung học phổ thông
2.6 Bài toán liên quan đến đồ thị liên thông
Bài 1. Tại mỗi đỉnh của đồ thị liên thông ta viết một số thực, sao cho số viết tại mỗi đỉnh bằng trung bình cộng của các số viết tại các đỉnh kề với đỉnh này. Chứng minh rằng các số được viết đều bằng nhau.
Để cho gọn, ta kí hiệu số ghi tại đỉnh x cũng là x.
Giả sử a là số nhỏ nhất trong các số được viết tại tất cả các đỉnh và b là số viết tại đỉnh b bất kì, ta sẽ chứng minh a=b
Vì đồ thị liên thông, nên tồn tại đường đi (a, a1, a2, ..., ak, b). Nếu a được nối với m đỉnh x, y, ..., z, thì :
a= x+y+...+z m
Song a ≤ x, y, ....z, nên a = x = y = ... = z. Điều đó cũng có nghĩa là a = a1. Cho a1 đóng vai trò của a (điều này hoàn toàn có thể được vì a1 = a nên cũng là số nhỏ nhất trong các số đã viết) thì a1 = a2, . . . Cuối cùng ta có kết quả là
a =a1 =a2 =...=ak =b
Bài 2. Đồ thị liên thôngGcóm cạnh được đánh số lần lượt bằng các số 1,2, ...., m
sao cho tại mỗi đỉnh có ít nhất hai cạnh của đồ thị, ta đều có USCLN của các số nguyên viết trên các cạnh của đỉnh này bằng 1.
Giải
Từ một đỉnh x bất kì, đi dọc theo các cạnh phân biệt của đồ thị, ta đánh số các cạnh 1,2, .... theo thứ tự ta gặp chúng, cho tới khi gặp lại cạnh đã được đánh số thì dừng lại (không đi theo cạnh nào lần thứ hai). Nếu còn cạnh chưa được đánh số, do
G liên thông nên trong các cạnh này phải có cạnh mà đỉnh thuộc nó đã nằm trên đường đi vừa đánh số. Lại xuất phát từ đỉnh đó, lấy số vừa dừng lại, tiếp tục đi theo các cạnh chưa đánh số để đánh số tiếp (theo cách đã làm trên cho đến khi gặp lại tình huống cũ). Lặp lại quá trình này cho đến khi tất cả các cạnh đều được đánh số.
Giả sử y là đỉnh nối với k cạnh (k ≥2).
Nếu y trùng x thì y ở trên cạnh 1, ta chứng minh xong.
Nếu y khácx, giả sử lần đầu tiên ta gặp y tại đỉnh cuối của cạnh đánh sốr. Lúc này có k−1(k−1≥ 1) cạnh chứa được đánh số nối với y, do vậy, từ y ra theo một trong các cạnh còn lại này phải đánh số r+ 1. Do đó (r, r+ 1) = 1, nên USCLN của các số ghi trên cạnh qua y cũng bằng 1
Bài 3. Một huyện có 2n(n≥1)xã. Mỗi xã có đường nhựa nối trực tiếp với ít nhất
n xã khác. Chứng minh rằng từ một xã bất kì thuộc huyện đều có thể đi tới bất kì xã nào thuộc huyện này bằng đường nhựa
Giải 1. Xây dựng đồ thị mô tả các quan hệ
Đỉnh : Lấy 2n điểm tương ứng với 2n xã. Dùng ngay tên các xã để ghi các điểm tương ứng.
đi qua các điểm trung gian khác khi và chỉ khi hai xã tương ứng có đường nhựa nối với nhau.
Đồ thị nhận được ký hiệu bằngG nó mô tả toàn bộ mối liên hệ bằng đường nhựa của xã.
2. Đáp án của bài toán bằng "ngôn ngữ đồ thị".
Đối với mỗi đỉnh x của đồ thị G. Số cạnh xuất phát từ nó bằng đúng số đường nhựa xuất phát từ xã tương ứng. Bởi vậy bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn n, nên tổng bậc của hai đỉnh tùy ý không nhỏ hơn số đỉnh của đồ thị (2n). Khi đó, theo định lí 1.11, đồ thị G liên thông. Do đó hai đỉnh tùy ý x, y của đồ thị G có đường nối với nhau. Mặt khác, mỗi cạnh của đường này biểu thị một đường nhựa nối trực tiếp giữa hai xã tương ứng với x và y. Do đó từ hai xã bất kỳ đều có thể đi bằng đường nhựa tới từng xã còn lại của huyện.
Bài 4 : Một buổi hội thảo có 46 sinh viên tham dự. Biết rằng trong 10 em tùy ý luôn có ít nhất 2 em cùng học với nhau ở phổ thông. Chứng minh rằng có ít nhất 6 em cùng học với nhau ở phổ thông
Giải
Ta xây dựng một Graph mà mỗi đỉnh tương ứng với một em sinh viên. Hai đỉnh được nối với nhau bởi một cạnh, nếu hai em tương ứng cùng học ở phổ thông với nhau. Khi đó mỗi nhóm đỉnh tương ứng với các em cùng học tại một trường phổ thông sẽ lập nên một thành phần liên thông. Bởi vậy graph thu được có số thành phần liên thông không vượt quá 9.Thật vậy, nếu số thành phần liên thông vượt quá 9, thì ta chọn từ mỗi thành phần liên thông một đỉnh. Khi đó có ít nhất 10 em sinh viên tương ứng với các đỉnh này, nên từng đôi một không học cùng trường phổ thông. Ta đã đi tới mâu thuẫn, nên số thành phần liên thông của graph không vượt quá 9. Do graph có tất cả 46 đỉnh, nên tồn tại một thành phần liên thông có ít nhất 6 đỉnh. Vậy tồn tại ít nhất 6 em cùng học với nhau ở phổ thông.