2 Khai thác lý thuyết đồ thị vào giải toán trung học phổ thông
2.3 Bài toán liên quan đến đồ thị màu
Với bài toán trong đó có chứa những mối quan hệ đối lập giữa các đối tượng như: " quen và không quen", " nói cùng thứ tiếng hoặc khác thứ tiếng", " có đường đi và không có đường đi"..., đồng thời yêu cầu của bài toán thường là chứng minh có ít nhất 3 đối tượng có cùng mối quan hệ hoặc sẽ tạo thành một vòng tròn. Các bài toán sẽ dẫn tới đồ thị có cạnh hoặc đỉnh được tô màu và giải bài toán bằng đồ thị với các cạnh (đỉnh) được tô màu.
Các dạng bài toán giải bằng đồ thị tô màu: I. Dạng 1
1.1 Bài toán.
Bài toán 1 (Đề thi Olympic Toán Quốc Tế): Mười bảy nhà bác học viết thư cho nhau. Mỗi người đều viết thư cho tất cả người khác. Các thư chỉ trao đổi về 3 đề tài. Từng cặp nhà bác học chỉ viết thư trao đổi về cùng một đề tài. Chứng minh rằng chỉ có ít nhất 3 nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi về cùng một vấn đề.
Bài toán 2: Trong một cuộc gặp gỡ quốc tế có 17 nhà ngoại giao tham gia. Mỗi cặp nhà ngoại giao chỉ trao đổi trực tiếp với nhau bằng một trong ba ngôn ngữ: Anh, Pháp, Đức. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được ba nhà ngoại giao, mà họ có thể trao đổi trực tiếp được bằng một trong ba ngôn ngữ kể trên.
Bài toán 3: Mỗi cặp đối tượng cho trước chỉ có một trong ba quan hệ t1, t2, t3. Chứng minh rằng trong 17 đối tượng được xét luôn luôn tìm được ba đối tượng, mà mỗi cặp trong bộ ba này cùng có quan hệ ti, (1≤i≤3) đã cho.
1.2 Khẳng định.
Áp dụng định lý 1.14 1.3 Giải toán
1.3.1 Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ
Các đồ thị tương ứng với ba bài toán đã cho được xây dựng như sau:
a) Đỉnh: Lấy 17 điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với 17 nhà bác học (17 nhà ngoại giao, 17 đối tượng đã cho). Dùng ngay tên các nhà bác học (nhà ngoại giao, đối tượng đã cho) để ghi trên các điểm tương ứng.
- Cạnh đỏ để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ nhất (Hai nhà ngoại giao trao đổi trực tiếp được bằng tiếng Anh; hai đối tượng có quan hệ t1).
- Cạnh xanh để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ hai (hai nhà ngoại giao trao đổi trực tiếp bằng tiếng Pháp; hai đối tượng có quan hệ t2).
- Cạnh vàng để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ ba (hai nhà ngoại giao trao đổi trực tiếp bằng tiếng Đức; Hai đối tượng có quan hệ t3).
Đồ thị Gi(1≤i≤3) mô tả toàn bộ quan hệ điều kiện được cho trong bài toán i
Nhận xét: Đồ thị Gi(1≤i≤ 3) đầy đủ cóa3+ 1 = 17 đỉnh với ba màu cạnh. Nên theo khẳng định trên ta có ngay kết quả cần chứng minh.
1.3.2 Suy ra đáp án.
Theo định lý 1.14, trong đồ thịGi(1≤i≤3) đều có tam giác cùng màu. Nếu tam giác này:
- Màu đỏ, thì ba nhà bác học tương ứng trao đổi vấn đề thứ nhất (ba nhà ngoại giao tương ứng trao đổi trực tiếp với nhau bằng tiếng Anh; ba đối tượng tương ứng có quan hệ t1).
- Màu xanh, thì ba nhà bác học tương ứng trao đổi về vấn đề thứ hai (ba nhà ngoại giao tương ứng trao đổi trực tiếp được với nhau bằng tiếng Pháp; ba đối tượng tương ứng có quan hệ t2).
- Màu vàng, thì ba nhà bác học tương ứng trao đổi về vấn đề thứ ba (ba nhà ngoại giao tương ứng trao đổi trực tiếp với nhau bằng tiếng Đức; ba đối tượng tương ứng có quan hệ t3).
II. Dạng 2 2.1 Bài toán.
Bài toán 1: Một nhóm gồm 5 thành viên, trong đó mỗi bộ ba đều có hai người quen nhau và hai người không quen nhau. Chứng minh rằng có thể xếp cả nhóm ngồi xung quanh một bàn tròn, để mỗi người ngồi giữa hai người mà thành viên đó quen. Bài toán 2: Cho 5 số nguyên dương tùy ý, mà cứ ba số bất kỳ đều có hai số có ước chung và hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có thể ghi 5 số trên lên 1 đường tròn, để mỗi số đều đứng giữa hai số mà nó có ước chung.
Bài toán 3: Cho 5 đối tượng tùy ý, mà cứ ba đối tượng bất kỳ, đều có hai đối tượng có quan hệ t1 và hai đối tượng có quan hệt2. Chứng minh rằng có thể xếp tất cả các đối tượng đứng trên một đường tròn, để mỗi đối tượng đều đứng giữa hai đối tượng mà nó có quan hệ ti(1≤i≤2).
2.2 Khẳng định.
Với dãy u1 = 3;u2 = 6;...;un+1= (un−1)n+ 2 còn có khẳng định sau:
được tô bằng n màu), sao cho không tam giác nào cùng màu, luôn luôn có hình 5 cạnh với các cạnh cùng màu và các đường chéo được tô bằng các màu khác.
Chứng minh: Bằng quy nạp theo n.
1. Cơ sở quy nạp: với n = 2 đồ thị tương ứng G2 đầy đủ có b3−1 = 5 đỉnh và 2 màu cạnh (xanh, đỏ) không có đồ thị con K3 cùng màu. Khi đó G2 có thể biểu diễn dưới dạng hình 5 cạnh cùng màu đỏ và đường chéo màu xanh.
Thật vậy, doG2 đầy đủ nên mỗi đỉnh xuất phát đúng 4 cạnh được tô bằng 2 màu. Chính xác hơn, tại từng đỉnh, mỗi màu được tô trên đúng hai cạnh. Giả sử ngược lại, tại đỉnh A màu đỏ được tô trên 3 cạnh là AB, AC, AD. Khi đó một trong ba cạnh
BC, BD, CD màu đỏ, đồ thị có tam giác đỏ. Ngược lại cả ba cạnh đều màu xanh, đồ thị có tam giác xanh. Như vậy mâu thuẫn với giả thiết.
Giả sử tại A có các cạnh đỏ làAB và AC (đường liền nét), còn AD và AE là xanh (đường nét đứt). Khi đó cạnh BC phải là xanh và ED là đỏ (H27).
Hai cạnh BE và CE không thể cùng xanh. Giả sửBE đỏ thì CE xanh. Suy ra
CD đỏ và BD xanh. Vậy ta được hình 5 cạnh với cạnh màu đỏ và đường chéo xanh (H28).
2. Quy nạp: Giả sử khẳng định đúng với n = k. Xét đồ thị Gk+1 đầy đủ với
b(k+1)+1−1 đỉnh, k+ 1 màu cạnh và không có đồ thị con K3 cùng màu.
Mỗi đỉnh của Gk+1 xuất phát (bk+1−1).(k+ 1) cạnh với k+ 1 màu, nên phải có ít nhất bk+1−1 cạnh cùng màu. Giả sử tại đỉnh A có bk+1−1 cạnh cùng được tô bởi màu m1. Khi đó trong các đỉnh đối của A không có cặp đỉnh nào được nối với nhau bởi cạnh màu m1 (trái lại thì có K3 cùng màu m1 ). Xét đồ thị con đầy đủ Gk lập nên từ bk+1−1đỉnh đối của Acó cạnh chỉ tô bởi k màu (trừ màu m1) và không cóK3
cùng màu, nên theo giả thiết quy nạp, trong Gk có hình 5 cạnh với cạnh cùng một màu và đường chéo là các màu khác (tất cả đều không là màu m1). Vậy trong Gk+1
có điều cần khẳng định. 2.3. Giải toán.
2.3.1 Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ.
Các đồ thị tương ứng với ba bài toán đã cho được xây dựng như sau:
a) Đỉnh: Lấy 5 điểm trên mặt phẳng, không có 3 điểm nào thẳng hàng tương ứng với 5 thành viên ( 5 số nguyên dương, 5 đối tượng đã chọn ra). Dùng ngay tên các thành viên ( các số, tên các đối tượng) để ghi trên các điểm tương ứng.
b) Cạnh: Dùng
- Cạnh đỏ để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai người quen nhau ( hai số có ước chung, hai đối tượng có quan hệ t1 ).
- Cạnh xanh để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai người không quen nhau ( hai số nguyên tố cùng nhau, hai đối tượng có quan hệ t2 ).
Đồ thị Gi(1≤i≤3) mô tả toàn bộ quan hệ điều kiện được cho trong bài toán i. Nhận xét: Đồ thị Gi(1≤i≤3)đầy đủ u2+1−1 = 5 đỉnh với 2 màu cạnh, nên theo khẳng định trên suy ngay ra kết quả.
2.3.2 Suy ra đáp án. Theo khẳng định 2 vớin = 2 đồ thị Gi là đa giác 5 cạnh với các cạnh màu đỏ và các đường chéo màu xanh hoặc ngược lại. Khi đó dựa theo đường gấp khúc khép kín màu đỏ mà sắp xếp các thành viên ( các số, các dối tượng) tương ứng xung quanh một bàn tròn (lên một đường tròn), thì mỗi thành viên ( mỗi số, mỗi đối tượng ) sẽ ngồi giữa hai đối tượng quen (hai số mà nó có ước chung, có quan hệ t1).
III. Dạng 3 3.1 Bài toán.
Bài toán 1: Trên mặt phẳng lấy 6 điểm tùy ý, không có 3 điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa các cặp điểm khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cặp điểm mà đoạn thẳng nối giữa chúng là cạnh ngắn nhất của tam giác nào đó, đồng thời là cạnh dài nhất của tam giác khác có đỉnh là các điểm đã cho.
Bài toán 2: Chứng minh rằng trong n(n≥6) người tùy ý luôn chọn đượcn−4bộ ba mà trong mỗi bộ ba này hoặc từng đôi một quen nhau hoặc từng đôi một không quen nhau.
Bài toán 3: Chứng minh rằng trong n(n ≥ 6) số nguyên dương tùy ý luôn luôn chọn được n−4bộ ba mà trong mỗi bộ ba này từng cặp số có ước chung hoặc nguyên tố cùng nhau.
Bài toán 4: Chứng minh rằng trong n(n ≥6) đối tượng tùy ý luôn chọn ra được
n−4 bộ ba, ,mà trong mỗi bộ ba này hoặc từng cặp có quan hệt1, hoặc từng cặp có quan hệ t2.
Bài toán 5: Với n = 5 thì các khẳng định phát biểu trong các bài toán 2, 4 còn đúng nữa không? Nếu các khẳng định trên không đúng hãy cho phản ví dụ.
3.2 Khẳng định.
Khẳng định 3: Đồ thị đầy đủ gồm n đỉnh (n ≥6) và được tô bằng không quá hai màu cạnh, thì luôn có ít nhất n−4 tam giác cùng màu.
Chứng minh. Trường hợp 1: Đồ thị đầy đủ Gn có n đỉnh (n ≥ 6) được tô bằng một màu cạnh. Khẳng định dễ dàng được chứng minh.
Trường hợp 2: Đồ thị đầy đủ Gn có n đỉnh (n ≥ 6) với 2 màu cạnh (chẳng hạn xanh, đỏ). Ta phải chứng minh Gn có ít nhất n −4 tam giác cùng màu. Điều này chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh của đồ thị.
1. Cơ sở quy nạp: n= 6 thì đồ thị tương ứng G6 đầy đủ với hai màu cạnh (xanh, đỏ). Ta chứng minh G6 có ít nhất 6 - 4 = 2 tam giác cùng màu.
Mà G6 luôn có ít nhất một tam giác cùng màu. Do đó ta phải chứng minh G6 có ít nhất một tam giác cùng màu nữa.
Không mất tính tổng quát, ta gọi các đỉnh của G6 là A, B, C, D, E, F và tam giác cùng màu là tam giác ABC với các cạnh màu đỏ (nét liền) (H29).
Ta xét các trường hợp sau có thể xảy ra:
10) Cả ba cạnh AD, AE, AF đều được tô màu đỏ (H30).
Khi đó, nếu có ít nhất một trong ba cạnh DE, EF, DF đỏ thì trong G6 có thêm ít nhất một tam giác cùng màu nữa (tam giác đỏ).
Ngược lại, nếu cả ba cạnh DE, EF, DF xanh (nét đứt) thì trong G6 có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác xanh).
20) Cả ba cạnh AD, AE, AF đều được tô xanh (H31). Chứng minh tương tự trường hợp 10).
Nếu có ít nhất một trong ba cạnh DE, EF, DF xanh thì trongG6 có thêm ít nhất một tam giác nữa cùng màu (tam giác xanh).
Ngược lại, cả ba cạnh DE, EF, DF đỏ thì trong G6 có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác đỏ).
30) Trong ba cạnh AD, AE, AF có hai cạnh đỏ, chẳng hạn AD, AE được tô màu đỏ (H32).
Khi đó, nếu có ít nhất một trong ba cạnh CD, DE, CF đỏ thì trong G6 có thêm ít nhất một tam giác nữa cùng màu (tam giác đỏ).
Ngược lại, cả ba cạnh CD, DE, CE xanh thì trong G6 có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác xanh).
40)Trong ba cạnhAD, AE, AF có đúng một cạnh đỏ, chẳng hạn AD được tô màu đỏ (nét liền) (H33).
a) Một trong hai cạnh BD, CD đỏ. Khi đó trong G6 có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác đỏ).
b) Cả hai cạnh BD, CD xanh (H34).
b1) EF xanh: Khi đó trong G6 có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác AEF
xanh).
b2) EF đỏ:
b2.1) BE đỏ (H35).
b2.1.1) Hoặc BF hoặc CE đỏ, ta có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác đỏ).
b2.1.2) Cả hai cạnh BF và CE xanh (H36).
b2.1.2.1)HoặcDE hoặcDF xanh, ta có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác xanh).
giác DEF đỏ).
b2.2) BE xanh (H37)
b2.2.1) DE xanh, ta có tam giác cùng màu thứ hai (tam giácBDE xanh).
b2.2.2) DE đỏ (H38).
b2.2.2.1) DF đỏ, ta có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác DEF đỏ).
b2.2.2.2) DF xanh (H39).
b2.2.2.2.1) Hoặc BF hoặc CF xanh, ta có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác xanh).
b2.2.2.2.2) Cả BF và CF đều đỏ, ta có tam giác cùng màu thứ hai (tam giác BCF
đỏ).
Vậy trong mọi trường hợp G6 đều có ít nhất hai tam giác cùng màu.
2. Quy nạp: Giả sử định lý đúng với n = k với n ≥ 6. Xét đồ thị Gk+1 đầy đủ với (k+ 1)đỉnh được tô bằng hai màu xanh, đỏ. Ta phải chứng minh Gk+1 có ít nhất
(k+ 1−4) = (k−3) tam giác cùng màu.
Thật vậy, vì Gk+1 đầy đủ gồm k+ 1 đỉnh (k+ 1≥ 7) với hai màu cạnh nên có ít nhất một tam giác cùng màu.
Giả sử các đỉnh của Gk+1 là A1, A2, ..., Ak+1 và tam giác cùng màu là tam giác
A1A2A3 (chẳng hạn màu đỏ) (H40).
Loại A1 và các cạnh xuất phát từ A1 ra khỏi đồ thị Gk+1 ta có đồ thị Gk với hai màu cạnh (xanh, đỏ). Nên theo giả thiết quy nạp, trong Gk luôn có ít nhất (k −4)
tam giác cùng màu.
Khôi phục đỉnh A1 cùng các cạnh thuộcA1 ta được đồ thịGk+1 với hai màu cạnh ( xanh, đỏ) và Gk+1 có ít nhất k−4 + 1 hay k−3 tam giác cùng màu. Khẳng định được chứng minh.
3.3 Giải toán. Giải bài toán 1.
Xét tất cả các tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Vì khoảng cách giữa các cặp điểm đã cho khác nhau từng đôi một, nên mỗi tam giác có đỉnh là các điểm đã cho đều có cạnh ngắn nhất và dài nhất. Đối với tam giác này ta dùng màu xanh để tô cạnh ngắn nhất. Sau khi tất cả các đoạn thẳng nối giữa các cặp điểm đã cho được phép tô màu xanh đã tô xong, phần đoạn thẳng còn lại tô màu đỏ.
Đồ thị G nhận được là đồ thị đầy đủ gồm 6 đỉnh với các cạnh được tô bằng 2 màu (xanh, đỏ), nên theo khẳng định 3 trong đó có ít nhất hai tam giác cùng màu. Vì tam giác nào cũng có cạnh ngắn nhất được tô màu xanh trước, nên các tam giác cùng màu đều là tam giác xanh. Khi đó cạnh dài nhất trong mỗi tam giác này là đoạn thẳng cần tìm. Bởi vì trong tam giác ta xét nó đóng vai trò cạnh dài nhất, nhưng vì đoạn thẳng này có màu xanh nên nó là cạnh ngắn nhất của một tam giác nào đó trong các tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.
10) Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ.
Các đồ thị tương ứng với các bài toán 2-4 được xây dựng như sau:
a) Đỉnh: Lấy n điểm (n ≥6)tương ứng với n người (n số nguyên, n đối tượng) đã chọn ra. Dùng ngay tên người (các số, ký hiệu các đối tượng) để ghi trên các điểm tương ứng.
b) Cạnh: Dùng
- Cạnh đỏ để nối giữa hai điểm tương ứng với hai người quen (hai số có ước chung, hai đối tượng có quan hệ t1).
- Cạnh xanh để nối giữa hai điểm tương ứng với hai người không quen nhau ( hai số nguyên tố cùng nhau, hai đối tượng có quan hệ t2).
Đồ thị Gi(2≤i≤4)nhận được mô tả toàn bộ quan hệ được cho trong bài toán i
và thỏa mãn khẳng định 3.
20) Suy ra đáp án: Theo khẳng định 3 trong Gi(2≤ i ≤ 4) có ít nhất n−4 tam giác cùng màu.
- Nếu tam giác cùng màu đỏ, thì ba người tương ứng quen nhau từng đôi một (ba số tương ứng có ước chung từng đôi một, ba đối tượng tương ứng từng đôi một có quan hệ t1).