Ma tr n moment c p hai có th đ c dùng đ c l ng hình d ng không
đ ng h ng c a m t c u trúc nh c c b . c tính này đ c tìm ra b i
Lindeberg (1998) và sau đó là Baumberg (2000) đ phát hi n s bi n d ng affine c a m t c u trúc đ ng h ng. Sau đây là cách xác đ nh hình d ng không đ ng h ng c a m t vùng lân c n c a m t đi m.
Hình 2.9. i m quan tâm b t bi n t l trong các nh b bi n đ i affine
Hình 2.9: (Hình trên) các đi m quan tâm ban đ u đ c phát hi n v i b phát hi n Harris đa t l và các t l đ c tr ng c a chúng đ c l a ch n b i đnh t l c a hàm Laplacian (màu đen-Harris-Laplace). (Hình d i) đi m đ c tr ng
đ c phát hi n v i ph ng pháp Harris-Laplace (màu đen) và các đi m t ng
ng t nh khác đ c chi u v i phép bi n đ i affine (màu tr ng).
Trong không gian t l , ma tr n moment c p hai µ v trí đi m x cho tr c đ c xác đ nh b i công th c:
航(捲,デ 荊 デ 経) =穴結建(デ 経)訣(デ 荊)茅 盤(椛詣)(捲,デ 経)(椛詣)(捲,デ 経)脹匪 (2.10)
Trong đó デ 荊 và デ 経 là các ma tr n đ ng bi n, các ma tr n này xác đ nh các hàm nhân Gaussian tích phân và vi phân. Rõ ràng, không th c t đ tính toán ma tr n này cho t t c các k t h p có th c a các tham s kernel. Không m t tính t ng quát chúng ta có th gi i h n s đ t do b ng vi c thi t l p デ 荊 = 嫌 デ 経, s
là m t h ng s . Vì v y, các nhân vi phân và tích phân s ch khác nhau v kích c mà không khác nhau v hình d ng.
2.4.2.1. Phép bi n đ i affine c a ma tr n moment c p hai
Xét m t đi m xL b bi n đ i b i phép bi n đ i tuy n tính xR = AxL. Ma tr n µL đ c tính đi m xL c ng b bi n đ i theo cách sau:
航 岾捲挑,布 荊,詣,布 経,詣峇 =畦脹航 岾捲眺,布 荊,迎,布 経,迎峇 畦 =畦脹航 岾畦捲挑,畦 布 荊,詣 畦脹,畦 布 経,詣 畦脹峇 畦 (2.11) N u ta bi u th các ma tr n t ng ng b i: 航(捲挑,デ 荊,詣,デ 経,詣) = 警挑 航(捲眺,デ 荊,迎,デ 経,迎) = 警眺 V y các ma tr n này đ c vi t l i nh sau: ML = ATMRA MR = A-TMLA-1 (2.12)
Trong tr ng h p này các nhân vi phân và tích phân đ c bi n đ i thành:
∑R = A∑LAT
Gi s r ng ma tr n ML c ng đ c tính theo cách nh v y: デ 荊,詣 =購彫警挑貸怠 デ 経,詣 =購帖警挑貸怠 (2.13)
Trong đó các đ i l ng vô h ng I và D là các t l tích phân và vi phân t ng ng. Vì v y, ta có th tìm đ c m i quan h sau:
布 荊,迎 =畦 布 荊,詣 畦脹 =購彫(畦警挑貸怠畦脹) = 購彫(畦貸脹警挑畦貸怠)貸怠=購彫警眺貸怠
布 経,迎 =畦 布 経,詣 畦脹 =購帖(畦警挑貸怠畦脹) = 購帖(畦貸脹警挑畦貸怠)貸怠 =購帖警眺貸怠 (2.14)
i u này cho th y r ng vi c l i d ng các đi u ki n, đ c đ nh ngh a
công th c (2.13) d n đ n các m i quan h công th c (2.14), v i gi đnh là các
đi m đ c thu t l i b i phép bi n đ i affine và các ma tr n đ c tính toán cho các t l t ng ng I và D. Bây gi chúng ta có th đ o ng c v n đ này và gi s r ng có hai đi m đ c thu t l i b i m t phép bi n đ i affine nào đó. N u ta c l ng đ c các ma tr n ∑R và ∑L đ các ma tr n này xác minh cho các
đi u ki n (2.13) và (2.14), thì quan h (2.12) s đúng. c tính này cho phép các tham s c a phép bi n đ i đ c bi u di n tr c ti p b i các thành ph n c a ma tr n đó. Khi đó, phép bi n đ i affine đó có th đ c đ nh ngh a nh sau:
Trong đó R là ma tr n tr c giao th hi n m t phép quay b t k ho c phép bi n đ i ph n chi u (đ i x ng g ng). M c ti p theo trình bày v m t thu t toán l p cho vi c c l ng các ma tr n ∑L và ∑R. Phép bi n đ i affine có th đ c c l ng t i đa là m t phép quay gi a hai đi m t ng ng mà không bi t tr c v phép bi n đ i này. H n n a, các ma tr n ML và MR, đ c tính d i các đi u ki n (2.13) và (2.14), xác đnh các vùng t ng ng đ c đ nh ngh a b i công th c XTMx = 1. N u vùng lân c n c a các đi m xR và xL đ c chu n hóa b i các phép bi n đ i 隙眺嫗 =警眺怠 態エ 隙眺 và 隙挑嫗 =警挑怠 態エ 隙挑 , thì các vùng đ c chu n hóa này
đ c thu t l i b i m t phép quay đ n gi n 隙挑嫗 = 迎隙眺嫗
隙眺 = 畦隙挑 = 警眺貸怠 態エ 迎警挑怠 態エ 隙挑,警眺怠 態エ 隙眺 =迎警挑怠 態エ 隙挑 (2.15) Các ma tr n 警挑嫗 và 警眺嫗 trong các c u trúc đ c chu n hóa b ng v i ma tr n quay thu n túy (Hình 2.10). M t khác, các m u c ng đ trong các c u trúc
đ c chu n hóa là đ ng h ng d i d ng ma tr n moment c p hai.
Hình 2.10. Bi u đ gi i thích phép chu n hóa affine d a trên các ma tr n moment c p hai. T a đ nh đ c chuy n đ i thành các ma tr n 警挑貸怠 態エ và
警眺貸怠 態エ . Các nh b bi n đ i đ c thu t l i b i m t phép bi n đ i tr c giao.
2.4.2.2. Phép đo tính đ ng h ng (Isotropy Measure)
Ma tr n moment c p hai c ng có th đ c chuy n đ i thành phép đo đ ng h ng. Không m t tính t ng quát, chúng ta gi s r ng m t c u trúc không đ ng
h ng c c b là m t c u trúc đ ng h ng d i phép bi n đ i affine. bù vào s bi n d ng affine, ta ph i tìm ra m t phép bi n đ i mà phép bi n đ i này chi u m u không đ ng h ng thành m t m u đ ng h ng. Chú ý r ng phép quay gi l i tính đ ng h ng c a m t m nh nh, vì v y, s bi n d ng affine c a m t c u
trúc đ ng h ng có th đ c xác đ nh t i đa là m t nhân t c a phép quay. Phép quay này có th đ c khôi ph c b i các ph ng pháp d a vào h ng gradient c a nh. Tính đ ng h ng c c b có th đ c đo b i các giá tr riêng c a ma tr n moment c p hai (x, I, D). N u các các giá tr riêng b ng nhau thì chúng ta xét
đ n tính đ ng h ng c a đi m đó. đ t đ c phép đo chu n hóa ta ph i s d ng t l gi a các giá tr riêng:
劇= 碇尿日韮(禎)
碇尿尼猫(禎) (2.16)
Giá tr c a T thay đ i trong kho ng [0…1] b ng 1 đ i v i m t c u trúc
đ ng h ng hoàn toàn. Phép đo này có th cho m t đáp ng h i khác đ i v i các t l khác nhau vì ma tr n đ c tính đ i v i t l tích phân và vi phân cho tr c. Các t l này nên đ c ch n đ c l p v i đ phân gi i c a nh. K thu t l a ch n t l cho ta kh n ng đ xác đ nh t l tích phân có liên quan t i c u trúc nh c c b . Các t l tích phân và vi phân có th đ c thu t l i b i m t h ng s s, D = s I. Hi n nhiên là t l vi phân nên nh h n t l tích phân. Th a s s không nên quá nh , m t khác vi c làm tr n c ng không nên quá nhi u đ i v i phép l y vi phân. M t khác s nên đ nh đ c a s Gaussian v i kích th c I có th tính trung bình ma tr n đ ng bi n (x, D, I) trong vùng lân c n c a đi m đó.
M t ý t ng đó là kh nhi u mà không làm m t đi hình d ng không đ ng h ng c a các c u trúc nh đ c quan sát. Gi i pháp là ch n t l vi phân D đ c l p v i t l I, đi u này có ngh a là thay đ i th a s s trong ph m vi [0.5,…,0.75]. Cho tr c t l tích phân chúng ta ph i tìm ki m t l D mà đ i v i nó đáp ng c a phép đo tính đ ng h ng đ t đ c m t giá tr c c đ i đa ph ng. Vì v y, hình d ng đ c ch n cho c u trúc đ c quan sát g n v i m t c u trúc đ ng h ng h n.