M t khi m t đi m khóa ng c đ c tìm th y b ng vi c so sánh m t đi m nh v i các láng gi ng c a nó, thì b c ti p theo là th c hi n đi u ch nh chi ti t v i d li u lân c n cho v trí, t l , và t l c a các đ cong ch y u. Thông tin này cho phép lo i b các đi m có đ t ng ph n th p ho c đ c đ nh v kém d c biên.
Th c thi ban đ u c a h ng ti p c n này đã đ nh v m t cách đ n gi n các
đi m khóa v trí và t l c a đi m m u trung tâm. Tuy nhiên, g n đây ng i ta s d ng m t ph ng pháp khác đó là làm phù h p m t hàm b c hai 3D cho các
đi m m u đ a ph ng đ xác đ nh v trí n i suy c a đi m c c đ i, và các th nghi m đã cho th y r ng ph ng pháp này mang l i s c i ti n đáng k cho vi c so kh p và đ n đ nh. Ph ng pháp này s d ng phép khai tri n Taylor (t i đa
là d ng b c hai) c a hàm không gian t l , D(x,y, ), đ c thay đ i đ nh g c v trí đi m m u:
D(x) = D + 弟帖畷
弟掴 捲 + 怠
態捲脹 弟鉄帖
弟掴鉄捲 (2.4)
Trong đó D và các đ o hàm c a nó đ c đ nh giá đi m m u đó và x = (x,y, )T là offset t đi m này. V trí c a c c tr , x賦, đ c xác đ nh b ng vi c l y
đ o hàm theo x và thi t l p nó b ng 0, ta thu đ c:
x賦 =伐置鉄置淡第鉄貼迭置第置淡 (2.5)
Hình 2.3. Các giai đo n l a ch n các đi m khóa. (a) nh g c v i 233x189
đi m nh. (b) 832 v trí đi m khóa ban đ u các đi m c c đ i và c c ti u c a hàm Difference-of-Gaussian. Các đi m khóa đ c th hi n nh các vect cho
bi t t l , h ng và v trí. (c) Sau khi áp d ng m t ng ng lên đ t ng ph n t i thi u, còn l i 729 đi m khóa. (d) 536 đi m khóa cu i cùng đ c gi l i sau khi áp d ng m t ng ng cho t l c a các đ cong ch y u.
Theo đ xu t c a Brown thì ma tr n Hessian và đ o hàm c a D đ c x p x b ng vi c s d ng các đ chênh l ch gi a các đi m m u lân c n. N u offset
x賦l n h n 0.5 b t k chi u nào, thì có ngh a là c c tr đó n m g n v i m t đi m m u khác h n. Trong tr ng h p này, đi m m u đ c thay đ i và th c hi n phép n i suy thay cho đi m đó. Offset cu i cùng x賦đ c c ng thêm v h ng v trí
đi m m u c a nó đ có đ c s c l ng n i suy cho v trí c a c c tr đó.
Giá tr hàm c c tr , D(x賦), có ích cho vi c lo i b các c c tr không n
đ nh có đ t ng ph n th p. Có th đ t đ c đi u này b ng vi c th ph ng trình (2.18) vào (2.17), ta đ c: D(x賦) = D +1 2 D鐸 x x賦
Thông qua các thí nghi m ng i ta nh n th y r ng, t t c các c c tr có giá tr |D(x賦)| nh h n 0.03 đ u đ c lo i b .
Hình 2.3 cho th y hi u qu c a vi c l a ch n đi m khóa trên m t nh t
nhiên. tránh quá nhi u s l n x n, s d ng m t nh có đ phân gi i th p v i 233x189 đi m nh và các đi m khóa đ c th hi n nh các vect cho bi t v trí, t l , và h ng c a m i đi m khóa (vi c gán h ng đ c miêu t sau). Hình 2.3(a) th hi n nh g c, nh này đ c th hi n v i đ t ng ph n th p d n các hình ti p theo. Hình 2.3(b) ch ra 832 đi m khóa t t c các đi m c c đ i và c c ti u đ c phát hi n b i hàm Difference-of-Gaussian, trong khi đó hình 2.3(c) ch ra 729 đi m khóa còn l i sau khi lo i b các đi m có |D(捲賦)| nh h n 0.03. Ph n (d) s đ c gi i thích trong m c ti p theo.
* Lo i b các đáp ng biên
i v i tính n đ nh, không đ đ lo i b các đi m khóa có đ t ng ph n th p. Dù v trí d c theo biên đ c xác đ nh t i nh ng hàm Difference-of- Gaussian v n có m t đáp ng m nh d c theo các biên và vì v y không n đnh khi có các l ng nh t p nhi u.
nh đ c xác đ nh t i trong hàm Difference-of-Gaussian s có m t đ
cong l n ch y u ngang qua biên ngo i tr đ cong nh h ng tr c giao. Các
đ cong ch y u có th đ c tính t ma tr n Hessian 2x2, H, đ c tính v trí và t l c a đi m khóa: 殺= 釆経経掴掴 経掴槻 掴槻 経槻槻挽 (2.6) Các đ o hàm đ c c l ng b ng vi c l y các đ chênh l ch gi a các đi m m u láng gi ng.
Các giá tr riêng c a ma tr n H t ng ng v i các đ cong ch y u c a D. L y là giá tr riêng v i c ng đ l n nh t và là giá tr riêng v i c ng đ nh
h n. Khi đó, ta có th tính t ng các giá tr riêng t d u v t c a H và tích c a
chúng đ c tính t giá tr c a đ nh th c:
Tr(H) = Dxx + Dyy = + ,
Det(H) = DxxDyy – (Dxy)2= .
Trong tr ng h p không ch c x y ra đó là đ nh th c có giá tr âm, các đ
cong có các d u hi u khác nhau vì v y đi m b lo i b không ph i là m t c c tr . L y r là t l gi a giá tr riêng có c ng đ l n nh t và giá tr riêng có c ng đ
nh h n, đ = r . Khi đó, 劇堅(茎)態 経結建(茎) = (糠+紅)態 糠紅 = (堅紅+紅)態 堅紅態 = (堅+ 1)態 堅
Bi u th c (r+1)2/rnh n giá tr c c ti u khi hai giá tr riêng b ng nhau và
nó t ng cùng v i r. Vì v y, đ ki m tra xem t l c a các đ cong ch y u có d i m t ng ng r nào đó không, ta ch c n ki m tra:
劇堅(殺)態
経結建(殺)<
(堅 + 1)態
堅
Các thí nghi m cho th y s d ng giá tr r = 10, s lo i b đ c các đi m khóa có t l gi a các đ cong ch y u l n h n 10. S chuy n ti p t Hình 2.3(c) sang Hình 2.3(d) th hi n các tác đ ng c a thao tác này.