- Tính chất phân cực của anten thành phần:
3.2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn đối với các bài toán bên ngoà
Trong phần này, FEM đã được trình bày để giải các bài toán bên trong. Để ứng dụng FEM cho các bài toán bên ngoài hay các bài toán không bị giới hạn như là các bài toán đường truyền dạng mở (ví dụ, vi dải), tán xạ, và các bài toán về phát xạ gặp một số khó khăn. Để vượt qua những khó khăn này, có nhiều cách tiếp cận đã được đưa ra, tất cả chúng đều có những điểm mạnh và điểm yếu. Ở đây ta sẽ kể đến 3 cách tiếp cận: Phương pháp phần tử vô hạn, phương pháp phần tử biên, và điều kiện biên hấp thụ.
a. Phương pháp phần tử vô hạn
Giả sử miền nghiệm như hình 3.9(a). Ta chia cả miền thành trường khu gần, phần bị giới hạn và trường khu xa, phần không bi giới hạn. Trường khu gần được chia thành các phần tử tam giác hữu hạn như bình thường, còn trường khu xa thì được chia thành các
phần tử vô hạn. Mỗi phần tử vô hạn chung 2 nút với một phần tử hữu hạn. Ở đây ta quan tâm chủ yếu tới các phần tử vô hạn.
Hình 3. 3 (a) Cách chia miền nghiệm thành các phần tử hữu hạn và vô hạn; (b) phần tử vô hạn điển hình
Phần tử vô hạn ở hình 3.9(b) với các nút 1 và 2 và các mặt tròn giao nhau tại điểm
Ta liên hệ tam giác có các tọa độ cực với các tọa độ đê các vuông góc (x,y) như
sau:
(3.1 14)
Với, .Phân bố điện thế trong phần tử này được xấp xỉ bằng biến đổi tuyến tính như sau:
Hay
(3.1 15) Với và là các điện thế ở nút 1 và 2 của các phần tử vô hạn, và là các hàm
nội suy hay hàm hình dạng, tức là,
(3.1 16) Phần tử vô hạn này phù hợp với phần tử hữu hạn bậc 1 gốc và thỏa mãn các điều kiện biên ở vô hạn. Với các hàm hình dạng ở phương trình 3.116, ta có thể thu được các ma trân và . Ta thu được nghiệm cho bài toán bên ngoài bằng cách sử dụng
chương trình phần tử hữu hạn chuẩn với các ma trận và của các phần
tử vô hạn được cộng vào các ma trận [C] và [T] của trường khu gần.
b. Phương pháp phần tử biên
Bảng 3.1 so sánh phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp mô-men (MoM).
Một trong những phương pháp kết hợp 2 loại này gọi là phương pháp phần tử biên (BEM). Đây là một cách tiếp cận phần tử hữu hạn để giải các bài toán bên ngoài. Một cách cơ bản, BEM bao gồm việc thu được các phương trình tích phân của các bài toán giá trị biên, và việc giải nó bằng các quá trình rời rạc hóa tương tự như những gì đã sử dụng trong phân tích phần tử hữu hạn thông thường. Vì BEM dựa trên phương trình tích phân
tương đương với phương trình vi phân chủ đạo, nên chỉ có bề mặt của miền bài toán cần làm mẫu. Do đó kích thước của bài toán giảm như kích thước trong MoM. Với các bài toán hai chiều, các phần tử biên được chọn là các đoạn thẳng, còn trong các bài toán ba chiều, các phần tử biên được chọn là các phần tử tam giác. Do đó hàm hình dạng hay hàm nội suy tương ứng với các phần phụ sẽ dựa trên MoM được sử dụng trong phân tích phần tử hữu hạn.
Bảng 3.1: So sánh giữa phương pháp mô-men và phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp mô-men Phương pháp phần tử hữu hạn
Khái niệm đơn giản Khái niệm phức tạp Yêu cầu các hàm Green phụ thuộc bài
toán
Tránh những khó khăn kết hợp với sự duy nhất của các hàm Green
Ít phương trình; cho 2
chiều, cho 3 chiều
Nhiều phương trình; cho
2 chiều, cho 3 chiều Chỉ rời rạc hóa đường biên Rời rạc hóa toàn miền
Dễ dàng mở rộng biên Khó mở rộng biên
Các trường theo tích phân Các trường theo đạo hàm Mô tả tốt điều kiện trường khu xa Mô tả tốt các điều kiện biên Kết quả ma trận đầy đủ Kết quả ma trận thưa
Không tuyến tính, không đồng nhất, khó
Không tuyến tính, không đồng nhất, dễ
c. Các điều kiện biên hấp thụ
Để áp dụng cách tiếp cận phần tử hữu hạn tới các bài toán miền mở như với tán xạ, phát xạ, hay biên tự tạo, được đưa ra để giới hạn miền và giới hạn số lượng ẩn số cho một kích thước quản lý được. Người ta đoán rằng biên tiến tới vô cùng, nghiệm xấp xỉ sẽ tiến tới một giá trị chính xác. Nhưng các biên càng gần các vật thể phát xạ hay tán xạ, thì bộ nhớ máy tính yêu cầu càng ít. Để tránh những lỗi gây ra bởi việc cắt giảm này, điều kiện
biên hấp thụ (ABC) được áp dụng trên biên tự tạo , như được mô tả trên hình 3.10.
ABC tối thiểu hóa những phản xạ phi vật lý từ biên. Vài điều kiện biên hấp thụ đã được đưa ra. Thử thách lớn của những điều kiện biên hấp thụ này là đưa các biên cắt càng gần vật thể càng tốt mà không phá hỏng sự chính xác và để hấp thụ các sóng đi ra ngoài mà có ít hoặc không phản xạ. Một cách tiếp cận phổ biến là điều kiện biên hấp thụ dựa trên PML. Kỹ thuật phần tử hữu hạn được dùng để ép buộc điều kiện này như một công cụ cho việc cắt lưới.
Hình 3. 4 Vật thể phát xạ (hoặc tán xạ) được bao bởi một biên hấp thụ
Một ABC thông dụng nữa được suy ra từ Bayliss, Gunzburger và Turkel (BGT) tận dụng phân tích tiệm cận. Ví dụ, với nghiệm của bài toán 3 chiều, một mở rộng của phương trình Helmholtz vô hướng là:
(3.1 17) Dãy toán tử BGT thu được bằng quan hệ đệ quy:
(3.1 18) Vì thỏa mãn điều kiện phát xạ bậc cao hơn:
19) Áp dụng điều kiện biên bậc
trên (3.1
20) Sẽ bắt nghiệm phải phù hợp với 2m số hạng đầu tiên của phần mở rộng trong
phương trình 3.117. Phương trình 3.120 cùng với các phương trình thích hợp khác được giải với sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.
d Kết luận
Với tính linh hoạt của mình, phương pháp phần tử hữu hạn đã trở thành một dụng cụ mạnh. FEM có thể được áp dụng thành công với rất nhiều bài toán liên quan đến trường điện từ. Các ứng dụng của FEM:
- Các bài toán về đường truyền,
- Các bài toán về ống dẫn sóng quang học và vi ba, - Các máy điện,
- Các bài toán về tán xạ,
- Giải thích ảnh hưởng của bức xạ điện tử đến con người, v.v…