- Tính chất phân cực của anten thành phần:
3.2.2 Nghiệm của phương trình sóng
Phương trình sóng điển hình là phương trình Helmholtz vô hướng không thuần nhất: (3. 98) Với là trường cần xác định (với bài toán ống dẫn sóng, với mốt TE hay
với mốt TM), g là hàm nguồn, và là số sóng của môi trường. Cần chú
ý 3 trường hợp đặt biệt của phương trình 3.98: (i) : phương trình Laplace
(ii) : phương trình Poisson
(iii) là ẩn, phương trình Helmholtz vô hướng thuần nhất Ta có phương trình nghiệm của phương trình toán tử:
(3. 99) Thu được bằng cách tối đa hóa hàm:
(3.1 00)
Do đó nghiệm của phương trình 3.98 là tương đương với việc thỏa mãn các điều kiện biên và rút gọn hàm:
(3.1 01)
Nếu các điều kiện biên khác (như các điều kiện Dirichlet hoặc điều kiện Neumann thuần nhất) phải được thỏa mãn, các số hạng thích hợp phải được thêm vào hàm.
Bây giờ ta biểu thị điện thế và hàm nguồn g trong các số hạng của các hàm trạng hình dạng phần tử qua phần tử tam giác:
(3.1 02)
(3.1 03) Với và là các giá trị của và ở điểm nút i của phần tử e.
Thay phương trình 3.102 và 3.103 vào phương trình 3.101, ta có:
(3.1 04) Với , , còn và được xác định ở phưong trình 3.65 và 3.89.
Phương trình 3.104, được rút ra cho một phần tử, ta có thể áp dụng cho tất cả N phần tử trong miền nghiệm. Do đó,
(3.1 05) Từ phương trình 3.104 và 3.105, có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như
sau: (3.1 06) Với (3.10 7a) (3.10 7b) và là các ma trận toàn cục gồm các ma trận địa phương và .
Trong trường hợp đặc biệt với hàm nguồn . Nếu các nút tự do được đánh số
trước rồi sau đó mới mới đánh số các nút đã biết, ta có thể viết phương trình 3.106 như sau: (3.1 08) Từ , ta có: (3.1 09) Với mốt TM, = 0 và do đó: (3. 110) Nhân vào bên trái cả hai vế với cho ta:
(3.1 11) Đặt:
(3.1 12) Ta thu được bài toán riêng chuẩn:
(3.1 13)
Với là ma trận đơn vị. Ta có thể thể thu được các trị riêng và các
véc-tơ riêng , , với là số lượng nút tự do. Các trị riêng luôn luôn là số thực
vì và là các ma trận đối xứng.
Nghiệm của bài toán trị riêng đại số trong phương trình 3.113 cung cấp các trị riêng và các véc-tơ riêng, việc này tạo ra các xấp xỉ phù hợp với các trị riêng và các hàm riêng của bài toán Helmholtz, tức là, các bước sóng giới hạn và các đồ thị phân bố trường của các mốt trong ống dẫn sóng cho trước.
Nghiệm của bài toán trình bày trong phần này, như được tổng kết ở phương trình 3.113, có thể được xem như nghiệm phần tử hữu hạn của ống dẫn sóng đồng nhất. Ý tưởng này có thể được mở rộng để giải quyết các bài toán ống dẫn sóng không đồng nhất. Tuy nhiên trong việc áp dụng FEM để giải các bài toán không đồng nhất, điều khó khăn nhất là sự xuất hiện của các nghiệm sai, không thực.