Để thuận tiện cho việc mô tả đối tượng, thông thường đối tượng sẽ được mô tả trong các hệ tọa độ cục bộ gắn với chúng. Tuy nhiên để có thể hiển thị toàn bộ một ảnh bao gồm nhiều đối tượng thành phần, các mô tả này phải được chuyển về một hệ tọa độ chung duy nhất. Việc chuyển đổi này thường được chia làm hai loại : chuyển từ các hệ tọa độ không phải là hệ tọa độ Descartes như hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ elliptic, … sang hệ tọa độ Descartes, và chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes. Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau.
Hình 3.6– Phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ
Giả sử ta có hệ tọa độ (I) có gốc tọa độ O và các vector đơn vị lần lượt là
. Hệ tọa độ (II) là ảnh của hệ tọa độ (I) qua phép biến đổi T(M), có gốc tọa độ là O’ và các vector đơn vị lần lượt là
. Lúc này một điểm
bất kì trong hệ tọa độ (I) sẽ được biến đổi thành điểm trong hệ tọa độ (II). Vấn đề đặt ra ở đây là mối liên hệ giữa với
như thế nào.
Người ta chứng minh được rằng
.
Hình 3.7–Tọa độ của một điểm qua phép biến đổi hệ tọa độ
TÓM TẮT
Các phép biến đổi hình học cho phép dễ dàng thao tác lên các đối tượng đã được tạo ra. Chúng làm thay đổi mô tả về tọa độ của các đối tượng, từ đó đối tượng sẽ được thay đổi về hướng, kích thước và hình dạng. Các phép biến đổi hình học cơ sở bao gồm tịnh tiến, quay và biến đổi tỉ lệ. Ngoài ra một số phép biến đổi khác cũng thường được áp dụng đó là phép đối xứng và biến dạng.
Có hai quan điểm về phép biến đổi hình học đó là : biến đổi đối tượng và biến đổi hệ tọa độ. Biến đổi đối tượng thay đổi tọa độ của các điểm mô tả nó theo một quy tắc nào đó, còn biến đổi hệ tọa độ sẽ tạo ra một hệ tọa độ mới và tất cả các điểm mô tả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới.
Các phép biến đổi hình học đều được biểu diễn dưới dạng ma trận thuần nhất 3x3 để tiện cho việc thực hiện các thao tác kết hợp giữa chúng. Trong hệ tọa độ thuần nhất, tọa độ của một điểm được mô tả bởi một vector dòng bao gồm ba giá trị, hai giá trị đầu tương ứng với tọa độ Descartes của điểm đó, và giá trị thứ ba là 1. Với cách biểu diễn này, ma trận của phép biến đổi có được từ sự kết hợp của các phép biến đổi cơ sở sẽ bằng tích của các ma trận của các phép biến đổi thành phần.
Các phép biến đổi không làm thay đổi kết cấu về tính cân xứng của đối tượng như tịnh tiến, quay được gọi là các phép biến đổi bảo toàn kết cấu đối tượng, thuật ngữ tiếng Anh gọi là rigid-body transformation.
Việc chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau thường gặp trong công đoạn chuyển các mô tả tọa độ của các đối tượng thành phần trong các hệ tọa độ cục bộ về các vị trí tương ứng trong một hệ tọa độ chung. Giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau, người ta thường sử dụng các phép biến đổi bảo toàn kết cấu như là tịnh tiến, quay.
BÀI TẬP
1. Cho biết ma trận các phép biến đổi dùng để biến đổi một hình tròn thành hình ellipse và ngược lại.
2. Cho biết ma trận các phép biến đổi dùng để biến đổi một hình vuông thành hình chữ nhật, hình bình hành và ngược lại.
3. Xây dựng và cài đặt cấu trúc dữ liệu và các hàm dùng để thực hiện một phép biến đổi affine bất kì.
4. Cho biết ma trận của phép tỉ lệ với tâm tỉ lệ là điểm bất kì.
5. Cho biết ma trận của phép lấy đối xứng qua đường thẳng y=mx+b bất kì. 6. Cho biết ma trận của phép lấy đối xứng qua tâm là điểm bất kì.
7. Cho biết ma trận của phép biến dạng theo phương của đường thẳng y=mx+b. 8. Chứng minh rằng ma trận của phép lấy đối xứng qua đường thẳng
tương đương với kết hợp của phép lấy đối xứng qua trục hoành và phép quay quanh gốc tọa độ một góc 900.
9. Chứng minh rằng ma trận của phép lấy đối xứng qua đường thẳng
tương đương với kết hợp của phép lấy đối xứng qua trục tung và phép quay quanh gốc tọa độ một góc 900.
được gọi là các hệ số tỉ lệ theo phương của trục hoành và phương của trục tung. Hãy cho biết công thức của phép biến đổi tỉ lệ theo phương của các trục nghiêng so với trục hoành (các trục này trực giao với nhau) một góc
với các hệ số tỉ lệ theo các phương trên là .
11. Chứng minh rằng cặp hai phép tỉ lệ là giao hoán, nghĩa là
. Tương tự cho cặp hai phép quay.
12. Chứng minh rằng phép đồng dạng và phép quay tạo thành một cặp thao tác có tính giao hoán, nhưng phép biến đổi tỉ lệ thường và phép quay thì không vậy.
13. Trình bày ma trận của phép biến dạng dưới dạng tích ma trận của các phép quay và các phép tỉ lệ.
14. Trình bày ma trận của phép quay dưới dạng tích ma trận của các phép biến dạng và tỉ lệ.
15. Chứng minh rằng phép quay quanh gốc tọa độ có thể được phân tích thành ba phép biến dạng. Đây là cách để quay một ảnh nhanh vì phép biến dạng thường được thực hiện bằng cách di chuyển toàn bộ các khối điểm ảnh (block pixels).
16. Chứng minh một phép biến đổi affine bất kì có thể được phân tích thành tích của các phép tịnh tiến, tỉ lệ và quay.
17. Chứng minh công thức tính tọa độ của một điểm khi thực hiện phép biến đổi giữa các hệ tọa độ
18. Hệ tọa độ
nhận được bằng cách quay quanh gốc tọa độ một góc rồi tịnh tiến theo vector tịnh tiến
hệ tọa độ
nếu
là tọa độ của P trong hệ tọa độ .
19. Viết chương trình minh họa các bước kết hợp các phép biến đổi cơ sở để tạo thành phép quay một điểm quanh tâm bất kì. Thực hiện tương tự cho phép tỉ lệ có tâm tỉ lệ là điểm bất kì.
20. Viết chương trình cho phép người dùng sử dụng các phép biến đổi đã học thao tác lên một đối tượng cho trước.