Một phép biến đổi hai chiều sẽ biến đổi điểm P trong mặt phẳng thành điểm có tọa độ mới Q theo một quy luật nào đó. Về mặt bản chất, một phép biến đổi điểm là một ánh xạ T được định nghĩa :
Nói cách khác, T là hàm số
theo hai biến :
Phép biến đổi affine là phép biến đổi với
và
là các hàm tuyến tính. Phép biến đổi này có dạng :
.
Ta chỉ khảo sát các phép biến đổi affine nên từ nay về sau ta dùng cụm từ "phép biến đổi" thay cho "phép biến đổi affine".
Phép tịnh tiến
từ vị trí này sang vị trí khác trong mặt phẳng, ta cộng thêm các giá trị mô tả độ dời vào các tọa độ của P. Nếu gọi
và
lần lượt là độ dời theo trục hoành và trục tung thì tọa độ của điểm mới sẽ là :
,
còn được gọi là vector tịnh tiến hay vector độ dời.
Chúng ta có thể dịch chuyển toàn bộ một đối tượng bằng cách áp dụng quy tắc trên cho mọi điểm thuộc đối tượng. Để tịnh tiến một đoạn thẳng, đơn giản chỉ cần tịnh tiến hai điểm đầu và cuối của nó rồi sau đó vẽ lại đoạn thẳng nối hai điểm mới. Với đa giác, ta tịnh tiến các đỉnh của nó sau đó vẽ lại đa giác với các đỉnh mới. Một cách tương tự, để tịnh tiến các đối tượng như đường tròn, ellipse, ta tịnh tiến tâm của chúng tới vị trí mới rồi vẽ lại.
Hình 3.1– Phép tịnh tiến một điểm (a) và đối tượng với vector tịnh tiến (-4,2) (b) 1.2. Phép biến đổi tỉ lệ
Phép biến đổi tỉ lệ làm thay đổi kích thước đối tượng. Để co hay giãn tọa độ của một điểm
và , ta nhân và
lần lượt cho các tọa độ của P.
, và
được gọi là các hệ số tỉ lệ. Khi các giá trị
,
nhỏ hơn 1, phép biến đổi sẽ thu nhỏ đối tượng, ngược lại khi các giá trị này lớn hơn 1, phép biến đổi sẽ phóng lớn đối tượng. Khi
,
bằng nhau, ta gọi đó là phép đồng dạng (uniform scaling), phép đồng dạng là phép biến đổi bảo toàn tính cân xứng của đối tượng.
Tâm tỉ lệ là điểm không bị thay đổi qua phép biến đổi tỉ lệ. Phép biến đổi tỉ lệ mô tả như trên còn gọi là phép biến đổi tỉ lệ quanh gốc tọa độ vì có tâm tỉ lệ là gốc tọa độ. Nhận xét rằng khi phép biến đổi tỉ lệ thu nhỏ đối tượng, đối tượng sẽ được dời về gần gốc tọa độ hơn, tương tự khi phóng lớn đối tượng, đối tượng sẽ được dịch chuyển xa gốc tọa độ hơn.
Hình 3.2– Phép biến đổi tỉ lệ với
và
Phép quay
Phép quay làm thay đổi hướng của đối tượng. Một phép quay đòi hỏi phải có tâm quay, góc quay. Góc quay dương thường được quy ước là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Ta có công thức biến đổi của phép quay điểm
quanh gốc tọa độ một góc :
Hình 3.3– Phép quay một đối tượng quanh gốc tọa độ một góc 600
Biểu diễn ma trận của phép biến đổi
Trong nhiều ứng dụng đồ họa, người dùng thường xuyên có nhu cầu thực hiện nhiều phép biến đổi hình học khác nhau trên một đối tượng để tạo ra các hiệu quả như mong
tiến, quay, tỉ lệ để có thể khớp từng phần của đối tượng vào đúng vị trí của chúng, hay sau khi thực hiện các phép biến đổi nhưng không được ưng ý, người dùng muốn trở lại hiện trạng trước khi biến đổi (undo), … Do đó cần phải có một cách nào đó để có thể xử lí dãy các phép biến đổi trên được nhanh chóng và hiệu quả.
Nếu ta biểu diễn tọa độ của điểm
và
dưới dạng các vector dòng lần lượt là và
thì các phép biến đổi tịnh tiến, tỉ lệ, quay có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau : Phép tịnh tiến hay với Phép biến đổi tỉ lệ hay với
Phép quay quanh gốc tọa độ
hay
với
Với cách biểu diễn này, chúng ta sẽ gặp khó khăn khi muốn kết hợp các phép biến đổi lại với nhau vì biểu diễn của phép tịnh tiến khác với dạng của các phép biến đổi tỉ lệ và quay. Chính vì vậy mà cần phải có một cách nào đó để biểu diễn ba phép biến đổi này về một dạng duy nhất để có thể dễ dàng xử lí sau này.
Hệ tọa độ thuần nhất (hormogeneous coordinates)
Tọa độ thuần nhất của một điểm trên mặt phẳng được biểu diễn bằng bộ ba số tỉ lệ
không đồng thời bằng 0 và liên hệ với các tọa độ của điểm đó bởi công thức :
Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là
thì nó cũng có tọa độ thuần nhất là
trong đó h là số thực khác 0 bất kì. Tọa độ thuần nhất của một điểm trong không gian ba chiều hay có số chiều lớn hơn cũng được xác định một cách tương tự.
Về mặt toán học, việc đưa tọa độ thuần nhất vào là do sự cần thiết phải bổ sung cho mặt phẳng Euclid các điểm xa vô tận
(điểm phi chính) có tọa độ thứ ba bằng 0, điều này dẫn đến khái niệm mặt phẳng xạ ảnh trong hình học xạ ảnh. Trong hệ tọa độ thuần nhất, các điểm xa vô tận không đóng một vai trò gì đặc biệt so với các điểm khác của mặt phẳng. Với các phép biến đổi hình học đang khảo sát, nếu một điểm được biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất, cả ba phép biến đổi trên đều được biểu diễn dưới dạng tích các ma trận. Điều này giúp cho việc khảo sát các tính chất và sự kết hợp của các phép biến đổi này được thuận tiện do mỗi phép biến đổi được đại diện bởi một ma trận duy nhất.
Bộ ba các tọa độ thường biểu diễn các điểm trong không gian ba chiều, nhưng ở đây ta sử dụng chúng để biểu diễn các điểm trong không gian hai chiều. Mối liên hệ ở đây là : nếu chúng ta xét tất cả các bộ ba tọa độ thuần nhất biểu diễn cho cùng một điểm, nghĩa là bộ ba số có dạng
, với
, chúng ta sẽ nhận được một đường thẳng trong không gian ba chiều. Để đơn giản hóa chúng ta có thể chọn
, lúc này mỗi điểm
sẽ được biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất là .
Biểu diễn các phép biến đổi dưới dạng tọa độ thuần nhất
Phép tịnh tiến
hay
Phép biến đổi tỉ lệ
hay
với
Phép quay quanh gốc tọa độ
hay
với