Phép biến đổi affine bảo toàn đường thẳng
Ảnh của đường thẳng qua phép biến đổi affine là đường thẳng.
Thật vậy, ta có phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm A, B là :
.
các điểm nhận được sau phép biến đổi M.
Nếu gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép biến đổi M, ta sẽ có
. Lúc này
. Đây chính là dạng của phương trình tham số đoạn thẳng qua A’, B’.
Từ kết quả trên, để biến đổi một đoạn thẳng đi qua hai điểm A và B, ta chỉ cần áp dụng phép biến đổi cho hai điểm A, B rồi vẽ lại đoạn thẳng qua hai điểm mới.
Tính song song của các đường thẳng được bảo toàn
Ảnh của hai đường thẳng song song là hai đường song song.
Chúng ta có thể viết lại phương trình tham số của đường thẳng dưới dạng tia xuất phát từ A ứng với t=0 và theo phương
. Lúc này ta biểu diễn hai đường thẳng song song dưới dạng tia : và
có cùng phương
nhưng xuất phát từ hai điểm khác nhau. Lúc này áp dụng phép biến đổi lên hai đường thẳng song song này, dễ dàng nhận ra ảnh của chúng sẽ có phương
nên chúng song song.
Một hệ quả quan trọng của tính chất này đó là ảnh của các hình bình hành sau phép biến đổi là các hình bình hành.
Tính tỉ lệ về khoảng cách được bảo toàn
Giả sử C là điểm chia đoạn AB theo tỉ số t. Nếu A’, B’, C’ lần lượt là ảnh A, B, C qua phép biến đổi thì C’ cũng sẽ chia A’B’ theo tỉ số t.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu C là trung điểm của AB thì C’ cũng là trung điểm của A’B’, từ đó ta có thể suy ra một số tính chất sau :
• Trong hình vuông, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên các đường chéo của bất cứ hình bình hành nào cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung tuyến chia mỗi đường theo tỉ số 1:2. Mặt khác, một tam giác bất kì là ảnh của tam giác đều qua phép biến đổi affine, nên giao điểm của các đường trung tuyến của nó cũng sẽ chia chúng theo tỉ lệ 1:2.