Để mô tả và vẽ các mặt cong ta cũng có thể dùng các hàm trộn Bezier và B-Spline tương tự như trong trường hợp đường cong.
Các mảnh Bezier (Bezier surface patches)
Xét đường cong Bezier như là một hàm theo tham số v và có các điểm kiểm soát thay đổi theo u. Ta có công thức :
Lúc này, khi u thay đổi ta sẽ có các điểm kiểm soát thay đổi kéo theo đường cong Bezier cũng thay đổi theo. Sự biến thiên của các đường cong Bezier này trong không gian sẽ tạo ra một mặt cong.
Khi u thay đổi, các điểm pk(u) sẽ thay đổi trên một đường cong nào đó. Nếu cho các đường cong này chính là các đường cong Bezier, mỗi đường cong dựa trên (M+1) điểm kiểm soát thì :
Ta gọi đây là dạng tích tensor của mảnh Bezier. Dán các mảnh Bezier lại với nhau
Mục đích là để tạo ra một dạng mặt cong phức tạp gồm nhiều mảnh Bezier kết hợp lại với nhau sao cho trơn tru tại các biên chung.
Khi dán hai mảnh Bezier lại với nhau (mỗi mảnh có một khối đa diện kiểm soát riêng và cùng sử dụng công thức ở trên với u,v biến thiên trong đoạn [0, 1]), vấn đề là làm sao để chúng có thể dán vào nhau một cách trơn tru ?
Hai mảnh sẽ gắn vào nhau ở tất cả các điểm dọc biên chung nếu các đa diện kiểm soát của chúng trùng khớp với nhau ở biên. Điều này có được là do dạng của đường cong Bezier biên chỉ phụ thuộc vào đa giác kiểm soát nằm ở biên của khối đa diện kiểm soát. Do đó, để dán được ta chỉ cần chọn các đa giác kiểm soát biên cho hai mặt là trùng nhau.
Hình 5.29 -Minh họa hai mảnh Bezier dán lại với nhau
Về tính liên tục tại tiếp tuyến, điều kiện đủ là mỗi cặp cạnh của các khối đa diện tại biên phải là cộng tuyến.
Các mảnh B-Spline (B-Spline patches)
Các hàm B-Spline có thể dùng ở dạng tích tensor thay cho dạng đa thức Bernstein để đạt được tính kiểm soát cao hơn khi thiết kế mặt cong :
Khối đa diện kiểm soát có (M+1)x(L+1) đỉnh và u, v biến thiên từ 0 tới giá trị lớn nhất của nút trong các vector nút tương ứng của chúng.
Thông thường để thiết kế, người ta vẫn dùng các B-Spline cấp 4 (tức là cubic B-Spline) và do việc chọn số điểm kiểm soát không hạn chế (số lượng các điểm không ảnh hưởng đến bậc của đa thức như đối với đường cong Bezier) nên người ta có thể tạo ra các dạng mặt cong rất phức tạp. Tất nhiên trước đó, người ta phải chọn ra một đa diện nút (knot polyhedron) để tạo ra mặt cong có dạng mong muốn.
TÓM TẮT
Chúng ta vừa tìm hiểu một trong các mô hình dùng để vẽ các đối tượng ba chiều trên máy tính : đó là mô hình khung nối kết. Theo mô hình này, một đối tượng ba chiều có thể được mô tả bởi tập các đỉnh và tập các cạnh, do đó các đối tượng được thể hiện chưa được gần thực tế lắm, nó mới chỉ là khung rỗng của đối tượng mà thôi. Sau này bằng các kĩ thuật tô màu, khử các đường và mặt khuất chúng ta sẽ khắc phục được các hạn chế này.
Để vẽ các đối tượng ba chiều bằng mô hình khung nối kết, mỗi cạnh phải được chiếu theo một cách nào đó từ tọa độ ba chiều sang hai chiều. Qua đó chúng ta cũng đã tìm hiểu hai phép chiếu khá đơn giản để làm việc này đó là phép chiếu trực giao và phép chiếu phối cảnh. Phép chiếu trực giao chỉ đơn giản là bỏ đi một trong ba tọa độ của điểm chiếu bằng cách cho các tia chiếu song song với một trong các trục tọa độ. Phép chiếu phối cảnh thì sử dụng một điểm cố định gọi là mắt và hình chiếu của các điểm được xác định bằng giao điểm của tia chiếu (nối điểm chiếu và mắt ) với mặt phẳng quan sát. Phép chiếu phối cảnh hội tụ tại mắt nên đối tượng càng xa trông càng nhỏ và ngược lại. Các phép chiếu trực giao và phối cảnh đều bảo toàn đường thẳng, đây là một tính chất rất hay giúp ta vẽ các đường thẳng ba chiều đơn giản hơn vì chỉ cần xác định hai hình chiếu của hai điểm đầu và cuối mà thôi.
Biểu diễn các mặt trong đồ họa máy tính là một vấn đề luôn được đặt ra khi muốn mô tả các đối tượng lập thể trong thế giới thực. Chúng ta đã khảo sát về các phương pháp biểu diễn mặt phẳng và mặt cong thông qua dạng phương trình tham số. Trong đó, phương trình tham số của một mặt có dạng là một phương trình tham số hai biến p(u, v) và một điểm bất kì trên mặt sẽ được biểu diễn dưới dạng p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Chúng ta đã khảo sát một số mặt đơn giản như các mặt có quy luật và các mặt tròn xoay để minh họa cho việc xác định các hàm x(), y(), z() trong biểu diễn trên.
Việc tạo ra các đường cong theo ý muốn cũng là vấn đề thường gặp khi làm việc với đồ họa máy tính. Chúng ta đã khảo sát cách tiếp cận vẽ đường cong bằng Bezier và B- Spline. Cách tiếp cận này dựa trên cơ sở để vẽ đường cong bằng một tập điểm mô tả hình dáng của đường cong gọi là tập điểm kiểm soát. Khi thay đổi tập điểm này, hình dáng của đường cong sẽ thay đổi theo. Cách tiếp cận này cho thấy sự thuận lợi và linh hoạt khi cần phải vẽ các đường cong phức tạp và do đó nó được dùng nhiều trong thiết kế.
Một nhược điểm trong cách vẽ đường cong bằng Bezier là khi một phần đường cong đã đạt yêu cầu, nhưng khi hiệu chỉnh phần còn lại sẽ làm mất đi phần đã đạt yêu cầu. Để khắc phục vấn đề này ta có cách tiếp cận cải tiến vẽ đường cong bằng B-Spline.
Trên cơ sở của việc vẽ các đường cong bằng Bezier và B-Spline chúng ta cũng có thể xây dựng được các mặt cong Bezier và B-Spline.
BÀI TẬP
1. Viết chương trình cho phép người dùng định nghĩa một vật thể ba chiều bằng mô hình khung nối kết. Vẽ vật thể trên dùng lần lượt phép chiếu trực giao và phép chiếu phối cảnh.
2. Viết chương trình vẽ các mặt đơn giản đã được khảo sát như hình trụ, hình nón, hình cầu, ….
3. Nhận xét cách tiếp cận vẽ đường trong thuật toán Casteljau khác với cách tiếp cận vẽ các đối tượng đồ họa cơ sở ở chương trước như thế nào ?
4. Cài đặt thuật toán vẽ đường cong bằng Bezier cho phép người dùng định nghĩa tập điểm kiểm soát mô tả hình dạng đường cong và cho phép người dùng hiệu chỉnh một số điểm kiểm soát để hiệu chỉnh đường cong theo ý muốn.
5. Viết chương trình vẽ đường Spline 6. Viết chương trình vẽ các mặt Bezier.