Lập phương trình mặt phẳng thoả mãn điều kiện cho trước.
Bài tập 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và mặt phẳng (Q) :x+ 2y+ 3z+ 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
Đáp số.x−2y+z−2 = 0.
Bài tập 47. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a) Nhận −→m = (0;−2; 1) làm vectơ pháp tuyến và tiếp xúc với mặt cầu (S) : 2x2+ 2y2+ 2z2−4x+ 4y+z−2 = 0.
b) Đi qua điểm G(−1; 3; 2) và cắt các trục tọa độ tại các điểm B, C, D sao cho G là trọng tâm của tam giác BCD (B, C, D không trùng với O).
c) Đi qua điểmH(5; 1; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểmE, F, K sao cho H là trực tâm của tam giác KEF (K, E, F không trùng với O).
Bài tập 48. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua 2 điểm N(0;−2; 1), L(2; 1; 0) và gốc tọa độ.
b)Đi qua điểm G(1; 2; 5) và cắt các trục tọa độ tại các điểm B, C, Dsao choG là trọng tâm của tam giác BCD.
c) Đi qua điểm H(1;−1; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm E, F, K sao cho H là trực tâm của tam giác KEF.
d) Đi qua điểm R(−3; 1; 4), cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tạiI, J, T sao cho 1
OI2 + 1
OJ2 + 1
OT2 nhỏ nhất (I, J, T không trùng với O).
Hướng dẫn.
a) −x+ 2y+ 4z = 0.
b)90x+ 45y+ 18z−270 = 0.
c)x−y+z−3 = 0.
d) Hạ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Kéo dài T H cắt IJ tại W. Ta có OT⊥(OIJ)⇒OT⊥OW.VìOH là đường cao của tam giác
vuông OT W nên 1
OH2 = 1
OT2 + 1
OW2. (1)
Ta có IJ⊥OH
IJ⊥OT ⇒IJ⊥(OHT)⇒IJ⊥W O.
Trong tam giác vuôngOIJ ta có 1
OW2 = 1
OI2 + 1
OJ2. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1
OI2 + 1
OJ2 + 1
OT2 = 1
OH2. Mà OH ≤ OR nên 1
OI2 + 1
OJ2 + 1
OT2 ≥ 1 OR2, Dấu bằng xảy ra ⇔H ≡R ⇔OR⊥(IJ W). Vậy 1
OI2 + 1
OJ2 + 1
OT2 nhỏ nhất khi và chỉ khi H trùng với R, do đó mặt phẳng (α) cần tìm đi qua R(−3; 1; 4) và nhận −→OR làm VTPT, có phương trình là
−3x+y+ 4z−26 = 0.
Bài tập 49. Viết phương trình mp(α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho 1
OA2 + 1
OB2 + 1
OC2 nhỏ nhất.
Đáp số:Mặt phẳng (α)có phương trình là (α) :x+ 2y+ 3z−14 = 0.
Bài tập 50. Cho hai mặt phẳng (P) : 2x+y−2z + 11 = 0, (Q) : x−y = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q)và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng 125
72 . Đáp số.2x+ 2y+ 3z+ 5 = 0, 2x+ 2y+ 3z−5 = 0.
Bài tập 51. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 3; 5), cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho
OA=OB =OC 6= 0.
Đáp số.Có 4 mp thoả đề bài là
x+y+z−9 = 0, x+y−z+ 1 = 0, x−y+z−3 = 0,−x+y+z−7 = 0.
Bài tập 52 (Đề thi ĐH-2004D). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) :x+y+z−2 = 0.Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Đáp số.Phương trình mặt cầu là x2+y2+z2−2x−2z+ 1 = 0
Bài tập 53. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(−4; 1; 1) và cắt mặt phẳng (α) :x+ 2y−2z + 1 = 0
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 2√ 2.
Bài tập 54. Cho mặt cầu (S) :x2+y2+z2−2x+ 2y+ 6z+ 7 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) (P) song song với mặt phẳng (Q) :−x−2y+z−1 = 0và tiếp xúc với mặt cầu (S).
b) (P) qua hai điểm A(1; 2;−1), B(0; 2; 1) và tiếp xúc với (S).
Chú ý 11. Dạng toán như bài tập 54b) sẽ được xem xét ở dạng 25, ở trang 70.
Bài tập 55 (ĐH-2010A-Phần riêng chương trình Chuẩn). Trong không gian toạ độ Oxyz cho đường thẳng
∆ : x−1 2 = y
1 = z+ 2
−1
và mặt phẳng (P) : x−2y+z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC =√
6.
Đáp số.d(M,(P)) = 1
√6.
Giải. Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương −→v = (2; 1;−1) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến −→n = (1;−2; 1).
Gọi H là hình chiếu của M trên (P), khi đó cosHMC\ =
|cos (−→v ,−→n)|. Ta có
d(M,(P)) =MH =MC.cosHMC\
=MC.|cos (−→v ,−→n)|=√
6|2√−2−1| 6.√
6 = 1
√6.
Bài tập 56 (Đề ĐH-2009B-Phần riêng chương trình Chuẩn). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1), B(−2; 1; 3), C(2;−1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng(P)đi qua A, B sao cho khoảng cách từC đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Đáp số.(P) : 4x+ 2y+ 7z−15 = 0 hoặc (P) : 2x+ 3z −5 = 0.
Bài tập 57 (ĐH-2002D). Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4, AB = 3, BC = 5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài tập 58. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. GọiI là trung điểm của cạnh bênSC. Tính khoảng cách từS đến mặt phẳng(ABI).
Đáp số.Khoảng cách bằng 2ah
√4h2+ 9a2.
Bài tập 59. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằngcos2α+ cos2β + cos2γ = 1.
Bài tập 60. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là 1,2,3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.