Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng.
Phương pháp.Để viết phương trình mặt phẳng(P)ta thường tìm một điểmM(x0;y0;z0)∈ (P) và một VTPT−→n = (A;B;C)của (P). Khi đó
(P) :A(x−x0) +B(y−y0) +C(z−z0) = 0.
Nhận xét 2. Khi tìm VTPT của mặt phẳng ta thường vận dụng định nghĩa VTPT, chú ý 5 và chú ý 6.
Nhận xét 3. Nếu (P) :Ax+By+Cz+D= 0và mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) thì
(Q) :Ax+By+Cz+D0 = 0, với D0 6=D.
Ngược lại, nếu
(P) :Ax+By+Cz+D= 0; (Q) : Ax+By+Cz+D0 = 0, với D0 6=D.
thì (P)//(Q).
Bài tập 28. Cho ba điểm A(0; 1; 1), B(1;−2; 0), C(1; 0; 2).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Lập PTMP (ABC).
c) Lập PTMP (α) là mặt trung trực của đoạn AB.
Đáp số.b) (ABC) : 2x+y−z = 0; c) (α) : 2x−6y−2z−3 = 0.
Bài tập 29. Hãy lập phương trình các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Đáp số.(Oxy) :z = 0; (Oyz) :x= 0; (Ozx) :y = 0.
Bài tập 30. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng : a) Đi qua ba điểm A(−1; 2; 3), B(3;−5; 0), C(0; 2; 1).
b) Đi qua điểm M(5; 3; 7) và vuông góc với trục Oz.
c) Đi qua điểmN(2; 4; 1) và vuông góc với đường thẳng KLvới K(0;−3; 7), L(6; 1; 2).
d) Đi qua điểm P(9; 0; 4) và song song với mặt phẳng x−y= 0.
e) Đi qua hai điểm M0(−1;−2;−3, N0(0; 5; 4) và vuông góc với mặt phẳng 4x−6y+z−3 = 0.
f) Đi qua điểm A0(−4; 1; 7) song song với Ox và vuông góc với mặt phẳng 2x−7y+ 3z = 0.
g) Đi qua điểm B0(3; 3; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng 4x−y+ 1 = 0, x−5y+ 2z+ 5 = 0.
Bài tập 31 (ĐH-2010D-Phần riêng chương trình Chuẩn). Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng
(P) :x+y+z−3 = 0 ; (Q) : x−y+z−1 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q)sao cho khoảng cách từ O tới (R) bằng 2.
Đáp số.x−z±2√ 2 = 0.
Giải.VTPT của(P),(Q)lần lượt là−n→P = (1; 1; 1),−n→Q = (1;−1; 1). Suy ra [−n→P,−n→Q] = (2; 0;−2) là VTPT của(R).
Phương trình mặt phẳng (R) có dạng x−z +D = 0.
Theo giả thiết ta có d(O,(R)) = 2⇔ |√D|
2 = 2⇔D=±2√ 2.
Vậy (R) :x−z−2√
2 = 0hoặc (R) :x−z−+2√ 2 = 0.
Bài tập 32. Cho mặt phẳng (P) : 2x+y−2z+ 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng 8
3. Đáp số.2x+y−2z+ 4 = 0, 2x+y−2z−4 = 0.
Bài tập 33. Viết PT mặt phẳng (α) biết (α) đi qua G(−2; 3; 5) và cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của ∆ABC (A, B, C không trùng với gốc toạ độ).
Bài tập 34. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
a) Chứa trục Oz và đi qua điểm M(−1; 2; 5).
b) (P)đi qua các điểmA, B, C lần lượt nằm trên các trụcOx, Oy, Oz sao choH(2;−1; 3) là trực tâm của tam giác ABC.
Đáp số.a) 2x+y= 0; b) 2x−y+ 3z−14 = 0.
Bài tập 35. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau a) (P) qua hai điểm A(2; 0;−1), B(0;−3; 1) và vuông góc với mặt phẳng
3x−y+z+ 7 = 0.
b) (P) qua điểm M(4; 1;−2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng x−y+ 2z−5 = 0.
Đáp số.a) x−8y−11z−13 = 0 ; b) −2x+z+ 10 = 0.
Bài tập 36. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau a) Chứa trục Oz và đi qua điểm M(−1; 2; 5).
b) (P)đi qua các điểmA, B, C lần lượt nằm trên các trụcOx, Oy, Oz sao choH(2;−1; 3) là trực tâm của tam giác ABC (A, B, C không trùng với gốc toạ độ).
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm N(2; 4; 3), cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho
OA=OB =OC 6= 0.
Dạng 7. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.
Phương pháp. Cho hai mặt phẳng
(α) :Ax+By+Cz+D = 0; (β) :A0x+B0y+C0z+D0 = 0.
Khi đó :
(1) (α) song song với(β) ⇔ A A0 = B
B0 = C C0 6= D
D0. (2) (α)≡(β)⇔ A
A0 = B B0 = C
C0 = D D0. (3) (α) cắt (β) ⇔ A
A0 6= B
B0 hoặc B B0 6= C
C0 hoặc C C0 6= A
A0 ⇔ Hai vectơ −→n(A;B :C) và −→m(A0;B0 :C0) không cùng phương.
Chú ý 10. Hai mp (α) : Ax+By+Cz+D = 0 và (β) : A0x+B0y+C0z+D0 = 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi AA0+BB0+CC0 = 0.
Bài tập 37. Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:
a) (α1) :x−2y+ 3z−10 = 0 và (β1) :−1
2x+y− 3
2z+ 5 = 0;
b) (α2) :x−2y+ 3z−10 = 0 và (β2) :−1
2x+y− 3
2z−5 = 0;
c) (α3) : 3x−5y+z−1 = 0 và (β3) :x−5y+z−4 = 0.
Bài tập 38. Cho hai mặt phẳng
(α) :kx+ (10k−8)y−2z+ 2 = 0, (β) : 2x+k2y−z−4 = 0.
Tìm k để
a) (α)//(β); b) (α) cắt (β).
Đáp số.a) k = 4; b) k /∈
1,4,−2±√ 8 .
Dạng 8. Các bài toán ứng dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Phương pháp.Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α) :Ax+By+Cz+D= 0 là
d(M,(α)) = |Ax0+By0+Cz0+D|
√A2+B2+C2 .
Bài tập 39. Cho mặt phẳng (P) : 2x−y+ 5z+m= 0. Tìm m để mặt cầu (S) : (x−1)2+ (y−2)2+z2 = 4
nhận (P) là tiếp diện.
Đáp số.m =±2√ 30.
Bài tập 40. Lập PT mặt cầu tâm I(2; 0−5) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) :x+ 2y−z+ 4 = 0.
Đáp số.(x−2)2+y2+ (z+ 5)2 = 121 6 . Bài tập 41. Cho hai mặt phẳng
(P) :x−2y+mz−3 = 0, (Q) : −2x+ 4y+z+ 2 = 0.
Tìm m để hai mặt phẳng song song với nhau, khi đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Đáp số.m =−1
2, khoảng cách bằng 4√ 21 21 . Bài tập 42. Cho hai mặt phẳng
(P) : 2x+y−3z+ 5 = 0; (Q) : 4x+ 2y−6z+ 1 = 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho.
b) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng đã cho.
Đáp số.a) Khoảng cách giữa hai mp bằng 11√ 14
28 ; b) 2x+y−3z+ 11 4 = 0.
Bài tập 43. Cho hai mặt phẳng
(P) :x+ 2y−2z−3 = 0, (Q) : 3x+ 4y−7 = 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho.
b) Tìm những điểm trên trục cao và cách đều hai mặt phẳng (P),(Q).
c) Tìm tập hợp các điểm trong không gian Oxyz và cách đều hai mặt phẳng (P),(Q).
Đáp số.a) 0 ; b) Có hai điểm M1
0; 0;3
5
, M1
0; 0;−18 5
; c) Tập hợp các điểm trong không gian Oxyz và cách đều hai mặt phẳng(P),(Q) là hai mặt phẳng
(α) : 2x+y+ 5z−3 = 0, (β) : 7x+ 11y−5z−18 = 0.
Bài tập 44 (ĐH -2010B - Phần riêng chương trình Chuẩn). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0;b; 0), C(0; 0;c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P) :y−z+ 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC)vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)bằng 1
3. Đáp số.b =c= 1.
Giải.Phương trình mặt phẳng (ABC)là (ABC) : x
1 +y b + z
c = 1.
Ta viết lại (ABC) :bc.x+cy+bz−bc= 0. Vì d(O,(ABC)) = 1 3 nên
√ bc
b2c2+b2+c2 = 1
3 ⇔3b2c2 =b2c2+b2+c2 ⇒b2+c2 = 2b2c2. (1)
Mặt phẳng (P) : y−z + 1 = 0 có VTPT là −n→P = (0; 1;−1). Mặt phẳng (ABC) có VTPT là −→n = (bc;c;b). Vì(P)⊥(ABC)nên
−
→n⊥−n→P ⇔ −→n .−n→P = 0 ⇔c−b = 0⇔b=c. (2) Từ (1), (2) vàb > 0, c >0 suy ra b =c= 1.
Bài tập 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) :x+ 2y−2z + 5 = 0; (Q) :x+ 2y−2z−13 = 0.
Viết phương trình của mặt cầu(S)đi qua gốc tọa độ O, qua điểmA(5; 2; 1) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Đáp số.Có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình lần lượt là (x−2)2+ (y−2)2+ (z−1)2 = 9,
x− 658 221
2
+
y− 46 221
2
+
z+ 67 221
2
= 9.