1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện . 4
2.1.2 Một số dạng toán
Dạng 1. Chứng minh các điểm cùng nằm trên một mặt cầu.
Phương pháp.
• NếuOM =R (O cố định, R không đổi) thìM thuộc mặt cầu S(O;R).
• NếuAMB\ = 900 (A, B cố định) thì M thuộc mặt cầu đường kính AB.
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a. Biết SA = 2a và SA⊥(ABC), gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SC. Chứng minh
a) Các điểm A, B, C, S cùng nằm trên một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
b) Chứng minh các điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó.
Giải.
a) Ta có SA⊥(ABC)⇒
(SA⊥BC (1)
SA⊥AC (2) Lại có BC⊥AB (3). Từ (1) và (3) suy ra
BC⊥(SBA)⇒BC⊥SB. (4)
Từ (2) và (4) suy raA và B cùng nằm trên mặ cầu đường kínhSC, tâm của mặt cầu là trung điểmO của SC,bán kính mặt cầu là
R1 = 1
2SC = 1 2
√SA2+AC2 = 1 2
√SA2+AB2+BC2
= 1 2
√4a2+ 2a2 = 1 2
√6a2 = a√ 6 2 .
b) Theo chứng minh trênBC⊥(SAB)màAH ⊂(SAB)nên AH⊥BC. Ta có (AH⊥BC
AH⊥SB ⇒AH⊥(SBC)⇒AH⊥HC.
Lại có AK⊥KC, BA⊥BC. Vậy các điểm B, H và K cùng nhìn đoạn thẳng AC cố định dưới một góc vuông, do đó các điểmA, B, C, H, K cùng nằm trên mặt cầu đường kínhAC, bán kính của mặt cầu này là
R2= 1
2AC = a√ 2 2 . Diện tích của mặt cầu làS = 4πR2 = 2πa2.
Bài tập 2 (ĐH-2003D). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên
∆lấy hai điểmA, B vớiAB =a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng(Q) lấy điểm D sao choAC, BD cùng vuông góc với ∆ và CA=BD=AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Đáp số.R = a√ 3
2 , khoảng cách bằng a√ 2 2 . Giải.Ta có
(P)⊥(Q), (P)∩(P) = ∆ AC ⊂(P), AB⊥∆
BD⊂(Q), BD⊥∆ ⇒
AC⊥(Q) BD⊥(P) ⇒
AC⊥AD BD⊥BC ⇒
( \CAD= 900 CBD\ = 900. VậyA vàB cùng nhìn đoạn CDcố định dưới một góc vuông, do đó 4 điểmA, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu đường kínhCD. Bán kính mặt cầu này là
R = CD 2 = 1
2
√AC2+AD2 = 1 2
√AC2+AB2+BD2 = 1 2
√3a2 = a√ 3 2 .
Gọi H là trung điểm BC, suy ra AH⊥BC. Ta có BD⊥(P) mà AH ⊂ (P) nên BD⊥AH. Vậy
AH⊥BC ⊂(BCD) AH⊥BD⊂(BCD)
BC∩BD=B. ⇒AH⊥(BCD).
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)là AH = 1
2BC = 1 2
√AC2+AB2 = a√ 2 2 .
Dạng 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ.
Phương pháp.
Bước 1.Xác định trục∆của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (∆là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy).
Bước 2. Dựng (α) là mặt trung trực của một cạnh bên. Khi đó O = ∆∩(α) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.
Chú ý 1. Điều kiện để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp: Đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp được đường tròn.
Chú ý 2. Điều kiện để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp: Đáy của hình lăng trụ là một đa giác nội tiếp được đường tròn và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Nhận xét 1. Một số trường hợp đặc biệt cần lưu ý khi tìm tâm của mặt cầu:
• Nếu tất cả các đỉnh của hình chóp cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông thì tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm AB.
•Nếu hình chóp có một mặt bên là tam giác đặc biệt (đều, vuông, cân,...)thì ta thường tìm trục∆ ứng với mặt đó.
•Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy (hoặc đồng phẳng với trục∆) thì ta thường chọn mặt phẳng (α) là mặt phẳng trung trực của cạnh bên đó.
Bài tập 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Xác định tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài tập 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
Xác định tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài tập 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α. Xác định tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài tập 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là α. Xác định tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài tập 7. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Xác định tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài tập 8. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng b.
Xác định tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài tập 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α. Xác định tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài tập 10. Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc α. Xác định tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Đáp số.R =
√3a(4 + tan2α) 12 tanα
Bài tập 11. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên (ABC).
a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Cho OA = a, OB =b, OC =c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Đáp số.R = 1 2
√a2+b2+c2.
Bài tập 12 (ĐH - 2010B - Phần chung). Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A0BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A0BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Đáp số.
Giải.Gọi D là trung điểmBC. Ta có BC⊥AD⇒BC⊥A0D ⇒ADA\0 = 600. Vì tanADA\0 = AA0
AD nên A0A=AD.tan 600 = a√
3.√ 3 2 = 3a
2 .
Vì ∆ABC là tam giác đều cạnh a nên S∆ABC = a2√ 3 4 . Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là
V =A0A.a2√ 3 4 = 3a
2 .a2√ 3
4 = 3a3√ 3 8 . Gọi H là trọng tâm∆ABC. Khi đó GH//A0A⇒GH⊥(ABC).
GọiI là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnGABC. Khi đóI là giao điểm củaGH với trung trực củaAG trong mặt phẳng (AGH). Gọi E là trung điểm AG. Vì GE.GA = GH.GI nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnGABC là
R=GI = GE.GA
GH = GA2 2GH. Ta có
GH = A0A 3 = a
2, AH = a√ 3
3 , GA2=GH2+AH2 = 7a2 12 . Vậy R= 7a2
2.12.2 a = 7a
12.