toán.
Bài toán 9: Bài toán sau có thể định hướng cách giải nhờ tích các ánh xạ
“Trên đường tròn ( ) cho ba điểm A, B, C. Giả sử A là điểm thuộc đường tròn
( ), A ≠ A. Đường thẳng vẽ qua A vuông góc với BC cắt ( ) tại M; đường thẳng vẽ qua M vuông góc với AC cắt ( ) tại B . Chứng minh AA //BB .
Định hướng cao cấp:
Do tính chất của đường vuông góc, mỗi điểm A1 xác định duy nhất điểm M; mỗi điểm M xác định duy nhất B1, nên B1 là ảnh của A1 qua ánh xạ
f: A → B . Từ đó bài toán dẫn đến xác định ánh xạ f cụ thể.
Cách giải phổ thông:
Ta kí hiệu δ ,δ là các đường thẳng đi qua O lần lượt song song với AC, BC (hình 5). Khi đó δ ,δ lần lượt
là trung trực của B1M, A1M; Giả sử Đ ;Đ là các phép đối xứng trục δ ,δ . Ta thực hiện liên tục hai phép đối xứng theo thứ tự Đ và Đ biến A1 thành B1.
Mặt khác, khi thực hiện liên tục theo thứ tự Đ và Đ cũng chính là ta thực hiện phép quay Q với α=∠(CB, CA).
Q : A → B ⟹ cungBA = cungAB ⟹ AA //BB A → B A B O M A δ δ B C Hình 5
48
Như vậy ánh xạ f ta cần xác định là tích của hai phép đối xứng trục Đ ∘ Đ và cũng chính là phép quay Q tâm O góc α.
Bài toán 10:Trong các xâu nhị phân có độ dài n, gọi an là số các xâu không chứa 3 số liên tiếp 0, 1, 0 và bn là số các xâu không chứa 4 số liên tiếp 0,0,1,1 hoặc 1,1,0,0. Chứng minh rằng bn+1 = 2an.
Định hướng cao cấp:
Ta sẽ giải bài toán theo hướng xây dựng một song ánh từ tập hợp các xâu có chứa 3 số liên tiếp 0, 1, 0 độ dài n đến tập hợp các xâu có không chứa 4 số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc 1, 1, 0, 0 độ dài n + 1.
Cách giải phổ thông:
Ta gọi một xâu thuộc loại A nếu nó không chứa 3 số liên tiếp 0, 1, 0 và gọi một xâu thuộc loại B nếu nó không chứa 4 số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc 1, 1, 0,0. Với mỗi xâu X = (x1, x2, ..., xn), ta xây dựng f(X) = (y1, y2, ..., yn+1) như sau: y1 = 0, y ≡x + x +. . . +x (mod2) k {2, ..., n+1}. Rõ ràng X chứa 3 số liên tiếp 0, 1, 0 khi và chỉ khi f(X) chứa 4 số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc 1, 1, 0, 0 tức là X thuộc loại A khi và chỉ khi f(X) thuộc B.
Vậy f là một song ánh đi từ tập các xâu loại A độ dài n đến tập các xâu loại B độ dài n+1 mà bắt đầu bằng 0. Nhưng từ mỗi xâu X thuộc B ta nhận được một xâu X cũng thuộc B bằng cách đổi các phần tử của X theo quy tắc 1 0, 0
1 nên số các xâu loại B độ dài n+1 gấp đôi số các xâu loại B độ dài n+1 mà bắt đầu bằng số 0. Từ đó ta có điều phải chứng minh.