Chứng minh rằng:
m =1
4(2b + 2c −a ).
Cách định hướng cao cấp:
Đây là bài toán chứng minh hệ thức độ dài. Khái niệm độ dài được xét trên không gian Ơclit nhờ đưa vào khái niệm tích vô hướng; cũng có thể xem độ dài là khái niệm hình học đồng dạng. Từ đó có thể dùng định lý Pitago để giải.
Sau đây là cách định hướng phổ thông.
Tích vô hướng ở các trường phổ thông cho bởi công thức sau:
1.a⃗. b⃗ = a⃗+ b⃗ −|a⃗| − b⃗ ;
2.a⃗. b⃗ = a⃗+ b⃗ − a⃗ −b⃗ ; 3.a⃗. b⃗ = |a⃗|. b⃗ cos(a⃗, b⃗);
4.OA⃗. OB⃗ = (OA + OB −AB );
43 C A B M ma a b c Hình 3
Bài toán nói về bình phương độ dài dẫn tới dùng tích vô hướng theo đẳng thức (*).
Cách giải phổ thông:
Xét tam giác ABC, M là trung điểm của đoạn AB (hình 3). Ta có: AM⃗ = AB⃗+ AC⃗ ⟹ m = AM =1 4 c + b + 2AB⃗AC⃗ ⟺ m = 1 4(c + b + (AB + AC −BC ) =1 4(c + b + c + b −a ) =1 4(2c + 2b −a )
Bài toán 4: Các đường chéo của một tứ giác nào đó vuông góc với nhau.
Chứng minh rằng các đường chéo bất kì của một tứ giác nào khác mà các cạnh tương ứng của nó có độ dài bằng các cạnh của tứ giác ban đầu, cũng vuông góc với nhau.
Định hướng cao cấp:
Khái niệm hai đường thẳng vuông góc chính là khái niệm hai phẳng trực giao trong không gian Ơclit. Khái niệm độ dài được xét trên không gian Ơclit nhờ đưa vào khái niệm tích vô hướng. Ta sẽ sử dụng tích vô hướng để giải.
Cách giải phổ thông.
Giải sử a⃗ = AB⃗, b⃗ = BC⃗, c⃗ = CD⃗, d⃗ = DA⃗. Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau khi và chỉ khi a⃗+ b⃗ . b⃗+ c⃗ = 0.
Tức là b⃗ + a⃗. b⃗+ b⃗. c⃗+ a⃗. c⃗ = 0. Rõ ràng −d⃗ = a⃗+ b⃗+ c⃗ Do đó d⃗ = |a⃗| + b⃗ + |c⃗| + 2a⃗. b⃗+ 2b⃗. c⃗+ 2a⃗. c⃗.
Như vậy các đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau khi và chỉ khi
b⃗ + d⃗ −|a⃗| − b⃗ −|c⃗| = 0, hay b⃗ + d⃗ = |a⃗| + |c⃗| . Điều kiện này chỉ liên quan tới độ dài các cạnh của tứ giác.
44