2.3.1. Không gian afine trong toán học cao cấp
2.3.1.1. Không gian afine
Cho KGVT V tập A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ f ∶A × A → V. Kí hiệu f(M, N) = MN⃗ với mọi điểm M, N ∈ A. Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afine nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:
i) Với mọi điểm M ∈ A và mọi vectơ u⃗ ∈ V có duy nhất điểm N ∈A sao cho MN⃗= u⃗.
ii) Với ba điểm bất kỳ M , N, P ∈ A ta luôn có MN⃗+ NP⃗ = MP⃗.
Không gian afine (A, f, V) còn gọi là không gian afine trên trường K. KGVT V gọi là liên kết (nền) của KG afine A kí hiệu là A⃗.
28
KG afine n - chiều (kí hiệu dimA = n) nếu dimV = n.
Nếu trường K là trường số thực ℝ (trường số phức ) thì ta nói A là không gian afine thực (phức).
Từ định nghĩa ta suy ra
Với mọi điểm M ∈ A thì MM⃗= 0⃗
Với ba điểm tùy ý O, B, C ∈ A ta có BC⃗= OC⃗ −OB⃗.
2.3.1.2. Hệ điểm độc lập
Hệ m + 1 điểm A0, A1, …, Am(m ≥ 1) của KG afine A gọi là độc lập nếu m vectơ A A⃗, A A⃗, … , A A ⃗ của A⃗ là hệ vectơ độc lập tuyến tính. Hệ gồm một điểm A0 bất kỳ luôn được xem là hệ độc lập.
Nếu A là KG afine n - chiều thì mọi hệ điểm nhiều hơn n + 1 điểm đều là không độc lập.
2.3.1.3. Tọa độ afine
Cho KG afine n - chiều A liên kết với KGVT A⃗. Giả sử ε = {e⃗ , e⃗ , … , e⃗ }
là một cơ sở của A⃗ và O là điểm thuộc A. Khi đó, tập hợp {O,ε} hay
{O, e⃗ , e⃗ , … , e⃗ } gọi là một mục tiêu afine của A. O gọi là điểm gốc của mục tiêu, e⃗ gọi là vcetơ thứ i của mục tiêu. Với mỗi điểm M ∈ A có duy nhất n phần tử x1, x2, …, xn của trường K sao cho:
OM⃗ = x e⃗ + x e⃗ +⋯+ x e⃗ .
Bộ n phần tử (x1, x2, …, xn ) đó được gọi là tọa độ của điểm M đối với mục tiêu đã chọn, ký hiệu M(x1, x2, …, xn ) hay M = (x1, x2, …, xn ).
2.3.1.4. Phẳng trong không gian afine
Cho KG afine liên kết với KGVT A⃗. gọi I là một điểm của A và α⃗ là một KGVT con của A⃗. Khi đó, tập hợp α = M ∈A|IM⃗ ∈ α⃗ được gọi là phẳng qua I và có phương là α⃗.
Nếu dimα⃗ = m thì α gọi là phẳng m chiều hay m - phẳng. Như vậy 0 - phẳng là một điểm, n - phẳng của một KG afine n - chiều A chính là A, 1 - phẳng gọi là đường thẳng, 2 - phẳng là mặt phẳng, (n – 1) - phẳng gọi là siêu phẳng của KG afine n chiều A. Qua (m + 1) điểm độc lập của KG afine A có một và chỉ một m - phẳng (m≥ 0).
29
2.3.1.5. Tâm tỉ cự
Cho k điểm P1, P2, …,Pk của KG afine A và k số thuộc trường K là λ ,λ , … ,λ sao cho:
λ ≠ 0
Khi đó, điểm G duy nhất thỏa mãn:
λ GP⃗ = 0⃗
gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ số λ.
Trong trường hợp các λ bằng nhau, điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm Pi. Khi k = 2 trọng tâm G của hai điểm P1 và P2 gọi là trung điểm của cặp điểm (P1, P2).
2.3.1.6. Hộp
Cho (m + 1) điểm độc lập P0, P1, P2, …,Pm. Tập những điểm M sao cho
P M⃗= λ P P⃗
Với 0 ≤ λ ≤1 được gọi là m - hộp.
2.3.1.7. Ánh xạ và biến đổi afine
a. Định nghĩa
Cho hai KG afine trên trường K là A và A’ liên kết với hai KGVT A⃗ và A⃗. Ánh xạ f∶ A→ A′ được gọi là ánh xạ afine nếu có ánh xạ tuyến tính ⃗ ∶f A⃗ →A⃗ sao cho với mọi cặp điểm M, N ∈ A và ảnh M’ = f(M); N’ = f(N) ta có M′N′⃗= f⃗ MN⃗ . Ánh xạ tuyến tính ⃗ ∶f A⃗ →A⃗ gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết với f.
Nếu ánh xạ afine f ∶A → A′ là một song ánh thì f gọi là đẳng cấu afine. Phép đẳng cấu afine f ∶A → A từ KG afine A lên chính nó được gọi là một biến đổi afine hay phép afine. Tập các phép afine của KG afine A với tích ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm afine của A ký hiệu là Af(A).
Cho n + 1 điểm độc lập M0, M1, …Mn trong KG afine n chiều A và cho n +1 điểm tùy ý M , M , … , M trong KG afine A. Khi đó, có một và chỉ một ánh
30
xạ afine duy nhất f∶ A → A′ sao cho f(Mi) = M , i= 0, 1, …, n. Với hệ hai điểm độc lập của KG afine n chiều A là A0, A1, …, An và A , A , … , A thì có một phép afine duy nhất f∶ A → A′ sao cho f(Ai) = A , i= 0, 1, …, n.
Cho ánh xạ afine f : An → An của KG afine n chiều An vào chính nó. Chọn mục tiêu afine {O,ε}, ε= {e⃗ , e⃗ , … , e⃗ }. Với mỗi điểm X∈ A gọi (x1, x2, …, xn ) là tọa độ của X, và (x , x , … , x ) là tọa độ của X’ = f(X), (b1, b2, …, bn ) là tọa độ của O’ = f(O). Gọi A = (a ) × là ma trận của f⃗ đối với ε. Khi đó biểu thức tọa độ của ánh xạ afine f trong mục tiêu {O,ε} là:
x x … x = A x x … x + b b … b b. Tỉ số đơn
Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng P, Q, R là số λ thuộc trường
K sao cho RP⃗= λRQ⃗ và kí hiệu là [P, Q, R].
Đơn ánh f ∶A → A′ của hai KG afine A và A’ là một ánh xạ afine khi và chỉ khi f bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm và bảo tồn tỉ số đơn của các hệ ba điểm thẳng hàng.
c. Phép chiếu song song
Cho KG afine n - chiều An. Cho m - phẳng α với phương α⃗ và cho KGVT con β⃗ ⊂ A⃗ sao cho α⃗ ⨁ β⃗= A⃗ . Ta xác định ánh xạ f∶ A → α như sau:
Với mỗi điểm M ∈ A gọi β là cái phẳng đi qua M có phương β⃗. Khi đó α ∩ β có một điểm duy nhất M’. Dặt f(M) = M’. Ánh xạ như thế gọi là phép chiếu song song lên m - phẳng α theo phương β⃗. F chính là một ánh xạ afine.
Định lý Talet: Ba siêu phẳng phân biệt song song α,β,γ cắt hai đường thẳng d và d’lần lượt tại các điểm P, Q, R và P’, Q’, R’ thì [P, Q, R] = [P’, Q’, R’].
Định lý Talet đảo: Nếu hai bộ ba điểm (P, Q, R) và (P’, Q’, R’) theo thứ tự đó thuộc hai đường chéo nhau sao cho [P, Q, R] = [P’, Q’, R’] thì tồn tại duy nhất ba siêu phẳng α,β,γ lần lượt qua PP’, QQ’, RR’ và song song với nhau.
31
2.3.2. Không gian afine trong toán học phổ thông
* Mặt phẳng thông thường là một không gian (KG) afine 2 - chiều trên trường số thực ℝ liên kết với KGVT 2 - chiều thông thường. Như vậy, trên mặt phẳng vừa có cấu trúc KG afine vừa có cấu trúc KGVT. Song hai cấu trúc này hoàn toàn khác nhau vì KGVT có phép toán cộng và nhân vô hướng còn KG afine thì không có. Tuy nhiên tập hợp điểm trong mặt phẳng có thể trở thành một KGVT đẳng cấu với KGVT 2 - chiều thông thường bằng cách lấy một điểm O cố định trong mặt phẳng và đồng nhất điểm m với vectơ OM⃗ rồi chuyển cấu trúc KGVT lên tập A nhờ song ánh này.
Cũng nhận xét tương tự đối với KG thông thường.
* Hình bình hành trong mặt phẳng là 2 - hộp. Ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng là một hệ điểm độc lập, giả sử là A, B, C. Khi đó A; AB⃗, AC⃗
là mục tiêu của KG afine 2-chiều.
* Ta có thể diễn tả khái niệm chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước nhờ khái niệm tỉ số đơn:
Cho hai điểm phân biệt A, B. Ta nói rằng điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1) nếu MA⃗= kMB⃗. Khi đó k ≠0 thì k chính là tỉ số đơn của A, B, M tức là k = [A, B, M].
* Phép tịnh tiến và phép vị tự xây dựng trong SGK hình học 10 chính là khái niệm tương ứng trong KG afine tùy ý.
* Hình hộp trong KG thông thường là 3 - hộp trong KG afine 3-chiều. Bốn điểm không đồng phẳng trong KG là một hệ điểm độc lập, giả sử là O, A, B, C. Khi đó O; OA⃗, OC⃗, OB⃗ là một mục tiêu afine của KG thông thường.
Một bộ bốn điểm là độc lập nếu và chỉ nếu chúng tạo nên một tứ diện. Ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình hộp là độc lập do bốn đỉnh của hình hộp tạo ra ba cạnh là độc lập.
Trong KG thông thường, đường thẳng là 1 - phẳng. Qua hai điểm độc lập có duy nhất 1 - phẳng đi qua chính là qua hai điểm phân biệt có duy nhất một đường thẳng.
32
Mặt phẳng là hai phẳng trong KG thông thường. Qua ba điểm độc lập có duy nhất một 2 - phẳng đi qua tương ứng với ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng đi qua.
Như vậy, khái niệm đường thẳng và mặt phẳng là các khái niệm cơ bản của hình học KG ở trường phổ thông nhưng cũng có thể nhìn nhận chúng là các phẳng trong KG afine 2 - chiều (mặt phẳng thông thường) và KG afine 3 - chiều (KG thông thường) nên chúng có phương trình với mục tiêu afine đã chọn.