2.4.1. Không gian Ơclit trong toán học cao cấp
2.4.1.1. Không gian Ơclit
Không gian Ơclit là KG afine mà KGVT nền là KGVT Ơclit. Kí hiệu KG Ơclit là E, còn KGVT nền là E⃗.
KG Ơclit gọi là n - chiều và kí hiệu là En nếu KGVT liên kết với nó có chiều bằng n, kí hiệu là E⃗ .
2.4.1.2. Mục tiêu trực chuẩn
Mục tiêu afine {O; e⃗ , e⃗ , … , e⃗ } của KG Ơclit n chiều En gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở {e⃗ , e⃗ , … , e⃗ } của E⃗ là cơ sở trực chuẩn. Tọa độ của điểm đối với mục tiêu trực chuẩn gọi là tọa độ trực chuẩn.
2.4.1.3. Khoảng cách giữa hai điểm
Cho hai điểm M, N của KG Ơclit En . Khoảng cách giữa hai điểm đó, kí hiệu d(M, N), được định nghĩa là số
d(M, N) = MN⃗ = MN⃗ . Ánh xạ d∶ E × E → ℝ (M, N) ↦d(M, N) Có tính chất: d(M, N)≥ 0 và d(M, N) = 0⇔ M≡N. d(M, N) = d(N, M).
33
Nếu M, N, P là ba điểm phân biệt thì N thuộc đoạn thẳng MP khi và chỉ khi d(M, N) + d(N, P) = d(M, P).
Trong En cho mục tiêu trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn M(x1, x2, …, xn ), N = (y1, y2, …, yn ) thì
d(M, N) = ∑ (y −x )
Ba tính chất đầu chứng tỏ ánh xạ d là một mêtric trên En.
2.4.1.4. Sự trực giao của các phẳng trong En
Trong KG Ơclit En cho phẳng α với phương α⃗ và phẳng β với phương β⃗. Hai phẳng α và β gọi là trực giao, kí hiệu α ⊥ β, nếu hai KGVT α⃗ và β⃗ trực giao. Hai phẳng α và β gọi là bù trực giao nếu α⃗ và β⃗ bù trực giao trong E⃗ .
Hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung. Hai phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất.
Nếu α trực giao β và γ bù trực giao với β thì α và γ là hai cái phẳng song song.
Hai phẳng cùng bù trực giao với phẳng thứ ba thì song song với nhau. Qua một điểm đã cho có duy nhất một phẳng bù trực giao với một phẳng đã cho.
2.4.1.5. Khoảng cách giữa hai phẳng
a. Định nghĩa
Khoảng cách giữa hai phẳng α và β trong KG Ơclit En, kí hiệu d(α,β), là số d(α,β) = inf d(M, N) , M∈ α , N∈ β
b. Đường vuông góc chung
Đường thẳng ∆ gọi là đường vuông góc chung của hai phẳng α và β nếu ∆ trực giao với cả α và β và ∆ cắt cả α và β.
Nếu ∆ là đường vuông góc chung của hai cái phẳng α và β và giao điểm của ∆ với α và β là I và J thì
d(α,β) = d(I, J)
Nếu điểm I không thuộc mặt phẳng α thì qua I có đường duy nhất vuông góc và cắt α; giao điểm J của đường thẳng đó với phẳng α gọi là hình chiếu vuông góc của I trên α. Khi đó, d(I,α) = d(I, J).
34
Nếu phẳng α song song với phẳng β và phương α⃗ của phẳng α là KGVT con của phương β⃗ của phẳng β thì với I thuộc α, đường thẳng đi qua I và trực giao với β là đường vuông góc chung của α và β. Vậy d(α,β) = d(I, β) với bất kì I ∈ α.
c. Định thức Grama
Trong KGVT Ơclit En cho m vectơ u⃗ , u⃗ , … , u⃗ . Kí hiệu: Gr(u⃗ , u⃗ , … , u⃗ ) = u⃗ u⃗ u⃗ u⃗ … u⃗ u⃗ u⃗ u⃗ u⃗ u⃗ … u⃗ u⃗ … u⃗ u⃗ … u⃗ u⃗ … … … u⃗ u⃗
và gọi là định thức Gram của hệ vectơ {u⃗ , u⃗ , … , u⃗ }. Định thức Gram của hệ m vectơ luôn luôn không âm và bằng 0 khi và chỉ khi hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính.
d. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho một điểm I và một m - phẳng α qua S và có phương α⃗= (u⃗ , u⃗ , … , u⃗ ).
Khi đó:
d(I,α) = Gr u⃗ , u⃗ , … , u⃗ , SI⃗ Gr(u⃗ , u⃗ , … , u⃗ )
e. Khoảng cách giữa hai phẳng
Trong KG Ơclit n chiều En cho hai phẳng α,β có phương tương ứng là α⃗, β⃗. Hai điểm R, S lần lượt thuộc α,β. Gọi {u⃗ , u⃗ , … , u⃗ } là cơ sở của α⃗+β⃗.
Khi đó:
d(α,β) = Gr u⃗ , u⃗ , … , u⃗ , RS⃗ Gr(u⃗ , u⃗ , … , u⃗ )
2.4.1.6. Góc trong En
a. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng a và b trong En với phương lần lượt là 〈u⃗〉 và 〈v⃗〉. Góc giữa hai đường thẳng đó là số θ ∈ 0; sao cho:
cosθ= u⃗v⃗ |u⃗||v⃗|
35 b. Góc giữa hai siêu phẳng
Cho hai siêu phẳng α và β, lấy hai đường thẳng a và b lần lượt trực giao với α và β. Khi đó, góc giữa siêu phẳng α và β được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng a và b.
c. Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng
Cho đường thẳng a và siêu phẳng β. Nếu a trực giao với siêu phẳng β thì góc giữa a và β gọi là góc vuông.
Nếu a không trực giao với β thì ta lấy đường thẳng a’ trực giao với β và xác định được góc θ′ giữa hai đường thẳng a và a’. Khi đó góc giữa a và β được xác định là góc θ mà θ ≥0 và θ= − θ′. Trong mục tiêu trực chuẩn cho phương của a là 〈u⃗〉 và pháp vectơ của β là n⃗ thì:
sinθ= |u⃗n⃗| |u⃗||n⃗| nên cosθ = 1− (u⃗ n⃗) u⃗ n⃗ 2.4.1.7. Ánh xạ đẳng cự a. Định nghĩa
Ánh xạ f∶ E → E′ của các KG Ơclit E và E’ gọi là ánh xạ đẳng cự nếu f là một ánh xạ afine mà ánh xạ tuyến tính liên kết f⃗ ∶ E⃗ → E′⃗ là một ánh xạ tuyến tính trực giao.
Mọi ánh xạ f∶ E → E′ bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ là một ánh xạ đẳng cự.
Ánh xạ đẳng cự f∶ E → E từ KG Ơlit E vào chính nó gọi là một biến đổi đẳng cự của KG Ơclit n chiều En. Ánh xạ f⃗ liên kết với nó là một biến đổi tuyến tính trực giao của E⃗ .
Tập các phép biến đổi đẳng cự của En, kí hiệu là Isom (En), làm thành một nhóm con của nhóm Af(En).
b. Phép dời và phép phản chiếu
Cho phép biến đổi đẳng cự f∶ E → E của KG Ơclit n - chiều En có biểu thức tọa độ đối với một mục tiêu trực chuẩn {O; e⃗ , e⃗ , … , e⃗ } là x’ = Ax + b.
36
Với detA = 1 thì f gọi là phép dời hình (hoặc phép dời).
Với detA = -1 thì f gọi là phép phản chiếu (hay phản dời hình). Tập hợp các phép dời hình của KG Ơclit En làm thành một nhóm.
2.4.2. Không gian Ơclit trong toán học phổ thông
Có thể nói toàn bộ các sự kiện hình học Ơclit trong giáo trình toán học phổ thông đều diễn ra trong mặt phẳng Ơclit E2 hoặc KG Ơclit E3, mà KGVT nền tương ứng là KGVT Ơclit 2-chiều ℝ (với tích vô hướng x⃗ y⃗ = x x + y y , trong đó
x⃗ = (x , y ) và y⃗= (x , y )) và KGVT Ơclit 3-chiều ℝ (với tích vô hướng
x⃗ y⃗= x x + y y + z z , trong đó x⃗ = (x , y , z ) và y⃗= (x , y , z )). Sau đây là một số ví dụ:
* Mục tiêu trực chuẩn trong E2 là {O;ı⃗ ,ȷ⃗}, trog đó Oxy là hệ tọa độ Đề các trong mặt phẳng , ı⃗= (1, 0)và ȷ⃗= (0, 1).
Đối với mục tiêu trực chuẩn {O;ı⃗ ,ȷ⃗} điểm M = (x , y ), N(x , y ) thì
MN = MN⃗ = (x −x ) + (y −y )
Trong E2, đường thẳng là siêu phẳng và nó có phương trình tổng quát:
Ax + By + C = 0 (A + B ≠0)
Phương trình tham số của đường thẳng:
x = x + at
y = y + bt (a + b ≠0)
Trong đó u⃗= (a, b) là vectơ chỉ phương, M (x , y ) là điểm thuộc đường thẳng. Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
x−x
a =
y−y b
Khoảng cách từ một điểm M (x , y ) đến đường thẳng ∆ có phương trình là Ax + By + C = 0 là:
Lấy vectơ e⃗= (−B, A) là chỉ phương của ∆, điểm S(x , y )∈ ∆, thì:
d(M ,∆) =Gr e⃗, SI⃗ Gr(e⃗) =
|Ax + By + C|
√A + B .
Cho hai đường thẳng ∆ và ∆ lần lượt có phương trình:
37
Chúng có vectơ chỉ phương tương ứng là:
u⃗ = (−B , A )vàv⃗= (−B , A ).
Góc giữa hai đường thẳng đó là θ được xác định bởi:
cosθ= |u⃗ v⃗| |u⃗||v⃗|=
|A A + B B |
A + B A + B
Khái niệm phép toán dời hình trong SGK hình học 10 là khía niệm phép dời và phép phản chiếu trong KG Ơclit E2. Cụ thể, phép tịnh tiến và phép quay trong mặt phẳng là các phép dời trong KG Ơclit E2 còn phép đối xứng tâm và phép đối xứng trượt (trường hợp đặc biệt là phép đối xứng trục) trong mặt phẳng là các phép phản chiếu trong KG Ơclit E2.
* Trong KG Ơclit E3, hai đường thẳng vuông góc chính là khái niệm hai mặt phẳng trực giao và chúng có không quá một điểm chung (hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hoặc là cắt nhau tại một điểm hoặc là chéo nhau)
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chính là khái niệm hai phẳng bù trực giao. Chúng có duy nhất một điểm chung.
Ngoài ra, các tính chất của sự trực giao của các phẳng trong KG Ơclit còn cho tương ứng các tính chất trong KG thông thường.
Nếu hai đường thẳng ∆ và ∆ vuông góc với nhau, đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng thì ∆ và song song với nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Qua một điểm đã cho có duy nhất một đường thẳng (mặt phẳng) vuông góc với mặt phẳng (đường thẳng) cho trước.
Khái niệm đường vuông góc chung trong KG Ơclit tương ứng một trong các đường thẳng sau trong giáo trình toán học phổ thông:
- Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc, cắt đườngthẳng khác. - Đường thẳng vuông góc và cắt hai đường thẳng song song khác. - Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song. - Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
38
- Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng.
Mục tiêu trực chuẩn trong KG Ơclit E3 là O;ı⃗,ȷ⃗, k⃗ , trong đó Oxyz là hệ tọa độ Đề các vuông góc trong KG thông thường và ı⃗= (1,0,0), ȷ⃗= (0,1,0), k⃗ = (0,0,1).
Giả sử M = (x , y , z ) và N = (x , y , z ), khi đó
d(M, N) = (x −x ) + (y −y ) + (z −z )
Trong E3, mặt phẳng là siêu phẳng và nó có phương trình:
Ax + By + Cz + D = 0 (A + B + C ≠0)
Phương trình tông quát của đường thẳng:
Ax + By + Cz + D = 0
A′x+B′y+C′z+D′ = 0
Trong đó, A + B + C ≠0, A + B +C′ ≠ 0 và A: B: C ≠A : B :C′ (do đường thẳng là 1 - phẳng trong E3 nên số phương trình là 3 – 1 = 2)
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M (x , y , z ) và có vectơ chỉ phương u⃗ = (a, b, c) ≠0 là:
x = x + at y = y + bt z = z + ct
(a + b + c ≠0)
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M (x , y , z )có vectơ chỉ phương u⃗= (a, b, c, ): x−x a = y−y b = z−z c (a + b + c ≠0)
Góc giữa đường thẳng ∆ có phương tình:
x−x a = y−y b = z−z c Và mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 là φ được xác định: sinφ = |u⃗ n⃗| |u⃗||n⃗|= |aA + bB + cC| √a + b + c √A + B + C (0° ≤ φ ≤90°)
Trong đó, u⃗= (a, b, c) là vectơ chỉ phương của ∆.
n⃗ = (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của (α).
Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) lần lượt có phương trình:
39
Gọi n⃗ = (A, B, C) và n⃗= (A , B , C ) là hai vectơ pháp tuyến của (α)
và (β). Giả sử ∆ và ∆ lần lượt vuông góc với (α) và (β) thì n⃗ và n⃗ lần lượt là chỉ phương của ∆ và ∆ . Do đó, cosϑ = |n⃗n⃗ | |n⃗||n⃗|= |AA + BB + CC | √A + B + C A + B + C , (0° ≤ φ ≤90°).
40 A B C D E O F M N A B C D M N E O F
Chương 3. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
TRÊN CƠ SỞ SỬ DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC CAO CẤP VÀ TOÁN HỌC PHỔ THÔNG