Giáo viên nhận thức đƣợc dạy học giải quyết vấn đề là cần thiết là phù hợp
các pha dạy học giải quyết vấn đề, bởi họ chƣa hiểu rõ về cách dạy học giải quyết vấn đề hoặc họ có hiểu biết về cách dạy học này nhƣng lại chƣa có các biện pháp thực hiện hiệu quả.
2.3. Kết luận chƣơng 2.
. Điều tra thực trạng dạy học giải quyết vấn đề ở một số trƣờng phổ thông thuộc địa bàn tỉnh Nam Định, thông qua dạy học chƣơng “Tích vô hƣơng của hai vectơ và ứng dụng” cho thấy : Kiểu dạy học giải quyết vấn đề vẫn chƣa đƣợc áp dụng phổ biến và năng lực giải quyết vấn đề của học sinh còn ở mức thấp. Trong khi hầu hết các giáo viên ở đây đều thấy đƣợc sự cần thiết của dạy học giải quyết vấn đề. Nhƣ vậy vấn đề ở đây chính là ở chỗ, giáo viên còn chƣa hiểu rõ về dạy học giải quyết vấn đề hoặc họ chƣa có các biện pháp dạy học giải quyết vấn đề đạt hiệu quả. Do đó, một yêu cầu cấp thiết đối với các giáo viên là tìm ra các biện pháp dạy học giải quyết vấn đề đạt hiệu quả.
Chƣơng 3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC THEO HƢỚNG TIẾP CẬN
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA DẠY HỌC “TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG”
3.1.Định hƣớng xây dựng và thực hiện các biện pháp dạy học giải quyết vấn đề
- Các biện pháp phải thực hiện tốt các nhiệm vụ của quá trình dạy học.
- Các biện pháp phải qua tâm đến việc tăng cƣờng hoạt động cho ngƣời học, phát huy tối đa tính tích cực , độc lập của học sinh.
- Các biện pháp phải thể hiện rõ dạy học theo hƣớng tiếp cận GQVĐ . - Các biện pháp phải có tính thực tiễn, có thể áp dụng vào giảng dạy ở trƣờng THPT ở nƣớc ta.
3.2. Một số biện pháp dạy học theo hƣớng tiếp cận giải quyết vấn đề
Biện pháp1.Tích cực hoá tư duy học sinh trong quá trình phát hiện vấn đề.
- Giải bài tập vào lúc mở đầu: Với mục đích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn
và việc xây dựng nó trở nên dễ hiểu, hợp tự nhiên, chúng ta có thể sử dụng biện pháp đơn giản là cho học sinh giải bài tập, rồi từ kết quả thu đƣợc chuyển sang vấn đề cần nghiên cứu.
Ví dụ 3.1 . Khi dạy định lí cosin trong tam giác, để tiếp cận định lý cosin , giáo viên có thể cho học sinh giải bài tập sau:
“Cho tam giác ABC.
a) Biết AB = c , AC = b và
BAC = 900 . Hãy tính BC theo b,c ? b) Biết AB = c , AC = b và
BAC = . Hãy tính BC theo b,c và ? ” Với bài a , học sinh dễ dàng giải đƣợc bằng cách áp dụng định lý
pi-ta-go trong tam giác vuông.
A
B C
Với câu b “Biết AB = c, AC = b và
BAC = .Hãy tính BC theo b,c và ?” Câu b là một tình huống có vấn đề vì nếu trƣớc đó học sinh chƣa biết một công thức náo tính một cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và góc xen giữa hai cạnh đó. Bài toán gây ở học sinh nhu cầu nhận thức vì trƣớc đó họ chỉ biết tính toán trong các tam giác vuông (một trƣờng hợp đặc biệt), học sinh nhận thấy rằng họ cần phải giải quyết đƣợc các vấn đề trong một tam giác bất kỳ . Bài toán trên, mặc dù học sinh chƣa giả đƣợc nhƣng nó đã hứa hẹn ở học sinh khả năng có thể giải quyết đƣợc là vì , một tam giác biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa là hoàn toàn xác định (đây là một trong ba trƣờng hợp bằng nhau của tam giác) . Nhƣ vậy tình huống trên thực sự là một tình huống gợi vấn đề đối với học sinh.
Ví dụ 3.2 Khi dạy định lí sin, để tiếp cận định lý , giáo viên có thể cho học
sinh giải bài tập sau:
“Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC sinA = CA sinB = AB sinC = 2R ”.
Sau đó đƣa ra câu hỏi “Kết quả trên còn đúng không nếu bỏ giả thiết tam giác ABC vuông tại A?”
Bài toán “Chứng minh răng nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC sinA = CA sinB = AB sinC = 2R ”.
hoàn toàn có thể giải bằng kiến thức cơ bản về hệ thức lƣợng trong tam giác vuông. 2R B C A Ta có sinB = AC BC = AC 2R AC sinB = 2R sinC = AB BC = AB 2R AB sinC = 2R sinA = sin900 = 1 BC sinA = 2R Từ đó suy ra BC sinA = CA sinB = AB sinC = 2R
Với câu hỏi “Kết quả trên còn đúng không nếu bỏ giả thiết tam giác ABC vuông tại A?” .
2R A
B C
Rõ ràng, học sinh chƣa biết các hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng nên đây thực sự là một tình huống có vấn đề đối với học sinh. Tình huống này cho thấy , bài toán đã đƣợc giải cho tam giác vuông chỉ là một trƣờng hợp đặc biệt.Nếu nhƣ họ giải đƣợc bài toán trên với tam giác ABC bất kỳ thì họ sẽ gặt
hái đƣợc kết quả tổng quát hơn và đầy đủ hơn. Từ đó, học sinh sẽ nảy sinh nhu cầu nhận thức .
Nhƣ vậy tình huống trên thực sự là một tình huống gợi vấn đề đối với học sinh.
- Hướng dẫn hoc sinh áp dụng phép tương tự:
Tƣơng tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tƣơng tự là giống nhau nhƣng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó đƣợc phản ánh bằng khái niệm . [3,tr22]
Chúng ta đã nghiên cứu đặc biệt hóa và thấy không có gì đáng để nghi ngờ cả. Nhƣng khi bƣớc vào nghiên cứu sự tƣơng tự thì chúng ta có một cơ sở kém vững chắc hơn.
Trong Toán học, ngƣời ta thƣờng xét vấn đề tƣơng tự trên các khía cạnh sau: - Hai phép chứng minh là tƣơng tự, nếu đƣờng lối, phƣơng pháp chứng minh là giống nhau;
- Hai hình là tƣơng tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau. Nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tử tƣơng ứng của chúng có quan hệ giống nhau. Chẳng hạn đƣờng thẳng trong mặt phẳng tƣơng tự với mặt phẳng (trong Hình học không gian), vì trong Hình học phẳng đƣờng thẳng là đƣờng đơn giản nhất có vai trò giống mặt phẳng là mặt đơn giản nhất trong Hình học không gian. Ngoài ra, có nhiều định lý vẫn còn đúng nếu chúng ta thay từ "đƣờng thẳng" bởi từ "mặt phẳng", ví dụ Định lý "Nếu hai đƣờng thẳng cùng song song với một đƣờng thẳng thứ ba thì chúng song song" (có thể thay "đƣờng thẳng" bởi "mặt phẳng").
Vai trò của tƣơng tự trong nghiên cứu khoa học đã đƣa G. Polia nhận định: "Phép tƣơng tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh" [ 3,tr28].
Trong quá trình nghiên cứu khoa học; nhiều khi ý tƣởng, giả thuyết có đƣợc nhờ sự tƣơng tự với một kết quả đã đƣợc công nhận trƣớc đó. Đối với học sinh, tƣơng tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tƣ duy sáng tạo của ngƣời học. Để giải một bài toán, chúng ta thƣờng nghĩ về một bài toán tƣơng tự dễ hơn
và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tƣơng tự dễ hơn đó làm mô hình.
Từ hai đối tƣợng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận chúng giống nhau ở một số dấu hiệu khác. Biện pháp này sử dụng trong hai hoạt động: dự đoán và đặt đề toán.
Ví dụ 3.3 Khi dạy các tính chất của tích vô hƣớng , sau khi học sinh biết đƣợc
các tính chất giao hoán , phân phối của tích vô hƣớng , giáo viên có thể yêu cầu học sinh lập bảng so sánh sau để phán đoán các tính chất khác của tích vô hƣớng của hai vectơ
x,y,z là các số thực a , b , c là các vectơ Tính chất giao hoán x+y = y+x a + b = b + a Tính chất phân phối x.(y+z) = x.y + x.z a .( b + c )= a . b + a . c Tính chất khác (x+y)2 =x2+2xy+y2 (x-y)2 =x2-2xy+y2 (x+y)(x-y)= x2-y2 (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx ? ? ? ? ?
Ví dụ3.4 Sau khi học sinh học xong công thức đƣờng trung tuyến .
GV xây dựng tình huống nhƣ sau
Chúng ta đã biết kết quả sau : “Cho đoạn thẳng AB và điểm M bất kỳ . Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì :
IA + IB = 0 . I A B
Từ đó suy ra: MA2 + MB2 = 2MI2 + AB
2
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, ta cũng có GA +GB +GC = 0 . D B A C G Từ đó ta thu đƣợc kết quả gì?
- Khái quát hóa
Khái quát hóa là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu. Chẳng hạn, khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lƣợng giác của góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm số lƣợng giác của một góc tuỳ ý, chúng ta đã dùng khái quát hóa. Điều khái quát này rất có ích vì nó dẫn từ một trƣờng hợp riêng biệt đến một quy luật phổ biến quan trọng. Trong Toán học cũng nhƣ trong Vật lý hay Khoa học Tự nhiên, nhiều kết quả đã đạt đƣợc nhờ cách khái quát hóa.
Chúng ta thƣờng khái quát hóa bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tƣợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tƣợng đó. Tổng quát hóa một bài toán thông thƣờng là mở rộng bài toán đó, nhƣng không phải tất cả đều nhƣ vậy.
Nhiều khi phát biểu lại bài toán dƣới dạng tổng quát sẽ giúp ta dễ hiểu hơn và có khả năng tìm đƣợc hƣớng giải dễ dàng hơn bởi vì lúc đó ta sẽ chú trọng đến các yếu tố bản chất của bài toán và bỏ qua những yếu tố không bản chất. Khái quát hóa có mối liên hệ mật thiết với trừu tƣợng hóa. Trừu tƣợng hóa là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Trừu tƣợng hóa là điều kiện ắt có nhƣng chƣa đủ để khái quát hóa .
Ví dụ3.5 Sau khi học sinh giải quyết xong bài toán
“ Cho hai điểm phân biệt A,B và một điểm M bất kỳ . Lấy điểm I thoả mãn 2
IA + 3
IB =
0 . Chứng minh rằng 2MA2 + 3 MB2 = 5 MI2 +2IA2 +3IB2 ”
GV đặt câu hỏi : Cho hai điểm phân biệt A,B. Nếu lấy điểm I thoả mãn m
IA + n
IB =
0 (m,n là các số cho trƣớc, m+n0) thì mMA2 + n MB2 = ?
- Yêu cầu học sinh tìm sai lầm trong lời giải
Việc giáo viên yêu cầu tìm chỗ sai trong lời giải bài toán đã tạo ra một tình huống gợi vấn đề, bởi vì nói chung không có thuật giải để phát hiện sai lầm. Tình huống này gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản thân học sinh cũng rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải, không thể chấp nhận một lời giải sai. Nó cũng gây cho ngƣời học niềm tin có ở khả năng huy động tri thức kỹ năng có của bản thân mình vì họ hiểu rõ lời giải có sai lầm chỉ liên quan đến những tri thức đã học.
Sau khi phát hiện thấy sai lầm, học sinh đứng trƣớc một nhiệm vụ nhận thức: Tìm nguyên nhân và sửa chữa sai lầm. Đó cũng là một tình huống gợi vấn đề. Bởi vì học sinh chƣa có sẵn câu trả lời và cũng không biết thuật giải nào để có câu trả lời, học sinh có nhu cầu giải quyết vấn đề, họ không chấp nhận để nguyên nhân sai lầm mà không sửa chữa, tìm nguyên nhân sửa chữa sai lầm liên quan tới tri thức sẵn có của họ, không có gì vƣợt quá yêu cầu học sinh thấy nếu tích cực suy nghĩ vận dụng tri thức đã học thì có thể giải quyết đƣợc vấn đề.
Ví dụ3.6 . Hãy tìm sai lầm trong lời giải sau
Bài toán . Cho trƣớc hai điểm cố định A,B phân biệt. Tìm tập hợp điểm M sao cho
MA .
MB = 0 ?
Một học sinh đã làm nhƣ sau MA . MB = 0 MA= 0 hoặc MB = 0 MA hoặc M B
Vậy có hai vị trí của điểm M thoả mãn là A và B
Phân tích: Trong bài toán trên, lời giải sai lầm ở chỗ
“ MA . MB = 0 MA= 0 hoặc MB = 0 ” Sửa lại là MA . MB = 0 MA= 0 hoặc MB = 0 hoặc MA MB A B M M Đƣờng tròn đƣờng kính AB Vậy tập hợp điểm M là đƣờng tròn đƣờng kính AB
Biện pháp2.Tích cực hoá tư duy của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề.
- Trình bày kiến thức kiểu nêu vấn đề.
Với biện pháp này, GV thuyết trình cách giải quyết vấn đề, không phải là GV thông báo các tri thức mà là trình bày cách tìm ra các tri thức. Qua đó, không những học sinh tiếp thu đƣợc các tri thức mà họ còn học đƣợc cách tìm ra tri thức đó và biết đƣợc cách thức giải quyết một vấn đề.
Ví dụ3.7. Khi giải quyết bài toán “ Cho tam giác ABC. Biết AB = c,AC = b
và
BAC = . Hãy tính BC theo b,c và ?” GV có thể trình bày theo sơ đồ sau
Bƣớc1. Đƣa ra một số giải pháp . Chẳng hạn Hƣớng giải 1 .Quy lạ về quen ,
- Tạo ra tam giác vuông .
- Áp dụng các hệ thức lƣợng trong tam giác vuông Hƣớng giải 2 .Áp dụng tích vô hƣớng của hai vectơ . - Biểu thị vectơ
BC theo hai vectơ không cùng phƣơng - Bình phƣơng vô hƣớng , ta thu đƣợc BC2
Bƣớc2 . Đi sâu nghiên cứu từng giải pháp.
Với hƣớng giải1, ta vẽ tam giác vuông có một góc .Tuy nhiên,việc này chỉ thực hiện đƣợc khi góc nhọn, ta còn phái xét các trƣờng hợp khác nữa. Chẳng han, khi là góc tù thì ta dựng tam giác vuông có một góc bù với , Vẽ AD vuông góc với AC, D đƣờng thẳng AC
Có ba trƣờng hợp:D nằm giữa A và C,A nằm giữa D và C,C nằm giữa D và A Xét trƣờng hợp D nằm giữa A và C
Ta có BC2 = BD2 + DC2 = (csin)2 + (b - c cos)2 = c2 + b2 -2 bc cos +Xét trƣờng hợp A nằm giữa D và C Ta có BC2 = BD2 + DC2 = (csin)2 + (b + c cos)2
= c2 + b2 -2 bc cos (Vì cos = - cos )
+Xét trƣờng hợp C nằm giữa A và D
Ta có BC2 = BD2 + DC2
= (csin)2 + ( c cos - b)2 = c2 + b2 -2 bc cos
Trong mọi trƣờng hợp ta đều có BC2 = c2 + b2 -2 bc cos Với hƣớng giải 2 , ta biểu thị theo hai vectơ không cùng phƣơng. Chẳng hạn chọn là
AB và
AC vì các độ dài AB ,AC và góc xen giữa chúng đều đã biết .
Ta có BC = AC - AB . Do đó BC2 = ( AC - AB)2 = AC2 + AB2 - 2 AB . AC = c2 + b2 -2 bc cos Bƣớc3. Đánh giá các giải pháp
Cách giải quyết thứ nhất sử dụng thuần tuý kiến thức về hệ thức lƣợng trong tam giác vuông . Tuy nhiên , với việc xét 3 trƣờng hợp đã làm cho cách giải quyết bài toán quá dài. Cách giải quyết thứ hai đã vận dụng đƣợc việc biểu thị vectơ và ứng dụng của bình phƣơng vô hƣớng. Cách giải có ƣu đieemr là không phải chia nhiều trƣờng hợp.
- Sử dụng hệ thống câu hỏi nhằm hướng dẫn học sinh tìm ra các giải pháp Theo lý thuyết Vƣgôtsky về cùng phát triển gần nhất những yêu cầu phải hƣớng vào vùng phát triển gần nhất tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nhƣng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ phấn đấu vƣơn lên thì mới thực hiện đƣợc nhiệm vụ đặt ra. Nhờ những hoạt động đa dạng với yêu cầu thuộc về vùng