2.2.1. Hiện tƣợng căng mặt ngoài
Con nhện nƣớc có thể đứng trên mặt nƣớc mà không bị chìm, giọt nƣớc ở trên lá sen thì có dạng hình cầu, còn trên mặt kính thì không có dạng hình cầu; nƣớc và các chất dinh dƣỡng có thể theo rễ cây chảy ngƣợc từ dƣới lên để nuôi cây,..
Tất cả những hiện tƣợng trên đều liên quan tới hiện tƣợng đặc biệt xảy ra ở mặt ngoài của chất lỏng gọi là hiện tƣợng căng mặt ngoài
Hình 2.4: Con nhện nước
a) Thí nghiệm:
Nhúng một khung hình chữ nhật làm bằng dây thép mảnh có cạnh AB có thể di chuyển dễ dàng vào nƣớc xà phòng rồi lấy ra nhẹ nhàng, nếu để đặt khung nằm ngang thì thanh AB sẽ bị di chuyển tới vị trí A’B’ do màng xà phòng co lại để giảm diện tích mặt ngoài đến mức nhỏ nhất có thể đƣợc (h2.5)
Hình 2.5 Khung hình chữ nhật
b) Lực căng mặt ngoài: Hiện tƣợng thanh AB bị dịch chuyển có thể giải thích
đƣợc nếu ta công nhận rằng từ mặt thoáng của chất lỏng có những lực tác dụng nên thanh AB. Những lực này có phƣơng tiếp tuyến với mặt thoáng của chất lỏng và vuông góc với đƣờng giới hạn của mặt thoáng có chiều sao cho lực có tác dụng thu nhỏ diện tích mặt ngoài của chất lỏng. Những lực này đƣợc gọi là lực căng mặt ngoài của chất lỏng.
Do có lực căng mặt ngoài mà các khối chất lỏng không chịu tác dụng của trọng lực đều có dạng hình cầu vì hình cầu là hình có diện tích mặt ngoài nhỏ nhất ứng với một thể tích nhất định. Thí nghiệm ở (h2.6) cho phép đo độ lớn của lực căng mặt ngoài. Vì màng xà phòng có hai mặt thoáng (mặt dƣới và mặt trên) nên khi màng xà phòng ở trạng thái cân bằng ta có: P= 2F
Trong đó F là lực căng mặt ngoài tác dụng lên thanh AB. Các phép đo chính xác cho thấy lực căng mặt ngoài F tỉ lệ với chiều dài của đƣờng giới hạn mặt ngoài của chất lỏng: F= .
là hệ số tỉ lệ có độ lớn phụ thuộc vào bản chất của chất lỏng và gọi là hệ số căng mặt ngoài của chất lỏng. Trong hệ SI nếu F=1N, = 1m thì =1 đơn vị hệ số căng mặt ngoài có tên gọi là niutơn trên mét, kí hiệu là N/m.
2.2.2. Sự dính ƣớt và không dính ƣớt
a) Thí nghiệm: Nhỏ một giọt nƣớc lên thủy tinh sạch thì nƣớc chảy lan ra trên
mặt thủy tinh hành một lớp mỏng. Trái lại nhỏ một giọt nƣớc lên lá sen thì giọt nƣớc không chảy lan ra mà có dạng gần hình cầu hơi bị bẹp do tác dụng của trọng lực. Ta nói nƣớc làm dính ƣớt thủy tinh và không làm dính ƣớt lá sen. Vậy khi chất lỏng tiếp xúc với chất rắn thì tùy theo bản chất của chất lỏng và chất rắn mà có thể xảy ra hiện tƣợng dính uớt hay không dính uớt. Nƣớc dính ƣớt thủy tinh nhƣng không dính ƣớt paraphin, thủy ngân dính ƣớt vàng nhƣng không dính ƣớt thủy tinh…
b) Giải thích: Khi lực hút giữa các phân tử chất rắn và các phân tử chất lỏng
mạnh hơn lực hút giữa các phân tử chất lỏng với nhau thì có hiên tƣợng dính ƣớt.
Ngƣợc lại lực hút giữa các phân tử của chất lỏng với nhau lớn hơn lực hút giữa các phân tử chất lỏng với những phân tử của chất rắn, thì có hiện tƣợng không dính uớt.
c) Ứng dụng: Sự dính uớt và không dính uớt có thể dung để giải thích nhiều
hiện tƣợng tự nhiên và có nhiều ứng dụng thực tế.
- Mặt chất lỏng trong bình, khi chất lỏng làm dính ƣớt thành bình thì lực hút giữa các phân tử chất rắn và chất lỏng hút chất lỏng lên thành bình dó đó ở gần thành bình chất lỏng bị kéo lên làm cho mặt chất lỏng gần thành bình là
một mặt lõm.Khi chất lỏng không làm dính uớt thành bình thì lực hút giữa các phân tử chất lỏng hút các phân tử chất lỏng gần thành bình về phía chất lỏng. Do đó mặt chất lỏng gần thành bình là mặt lồi.
- Muốn loại quặng bẩn ngƣời ta nghiền quặng thành bột rồi đổ vào nƣớc có pha dầu rồi quấy lên. Hỗn hợp hai chất lỏng có chứa những bọt không khí bọc trong những màng dầu. Những hạt quặng dính ƣớt vào màng dầu nổi lên mặt nƣớc cùng với bọt không khí còn những hạt bẩn quặng chìm xuống đáy nƣớc.
2.2.3. Cơ sở lý thuyết của mô phỏng nƣớc
Cơ sở lý thuyết của các phƣơng pháp mô phỏng nƣớc chính là các tính chất vật lý của nó. Dƣới đây tôi xin giới thiệu một số tính chất vật lý của chất lỏng nói chung và nƣớc nói riêng để tạo điều kiện cơ sở cho nhận thức các phƣơng pháp mô phỏng nƣớc.
Chất lỏng chiếm một vị trí trung gian giữa chất khí và chất rắn. Ở nhiệt độ cao, chất lỏng giống trạng thái của thể khí và ở nhiệt độ thấp thì giống trạng thái của vật rắn. Chất lỏng có sự biến đổi liên tục từ thể này sang thể khác tuỳ thuộc vào nhiệt độ, áp suất. Biểu diễn chất lỏng biến đổi trạng thái từ rắn sang lỏng, từ lỏng sang khí là bài toán hiệu ứng tan chảy và mây mù của chất lỏng.
Khi nhận một lực hay một áp suất tác động thì lực sẽ đƣợc phân tán đều trên toàn bộ khối chất lỏng theo mọi hƣớng khác nhau. Khác với vật rắn, các hạt chất lỏng không có lƣới tinh thể trong một thể tích giới hạn, nghĩa là các hạt có đặc tính phân bố không có qui tắc, nhƣng cũng nhƣ ở tinh thể, các hạt chất lỏng cũng giao động (1013 giao động trong một giây) xung quanh một vị trí cân bằng tức thời trong một thời gian vô cùng ngắn.
Khác với vật rắn, các hạt chất lỏng thƣờng luôn thay đổi vị trí cân bằng đó một cách tự do, các hạt chuyển từ vị trí này sang vị trí khác. Nếu tách
thành phần chuyển động giao động ra thì hạt sẽ vẽ một quỹ đạo theo đƣờng gãy khúc, giống nhƣ quỹ đạo của các hạt khí.
Nhờ các đặc điểm trong tính chất chuyển động nhiệt ở một chừng mực nào đó, chất lỏng vừa có tính chất của chất khí vừa có tính chất của chất rắn.
Ví dụ: chất lỏng cũng có tính chảy nhƣ chất khí, và cũng có tính đàn hồi chống trƣợt nhƣ vật rắn, tính chất này làm cho chất lỏng dính nhớt.
Cần thiết phải nhấn mạnh rằng, khác hẳn với chất khí, chất lỏng hầu nhƣ không nén đƣợc và hoàn toàn chiếm một thể tích nhất định, nghĩa là nó có thể có mặt thoáng. Và khác với chất khí, độ nhớt của chất lỏng giảm đi khi nhiệt độ tăng.
Khác với chất rắn, hình dạng của chất lỏng hoàn toàn phụ thuộc vào bình chứa, nó không chịu sự biến dạng khi bị tác dụng lực.
2.2.3.1. Tính đàn hồi của chất lỏng
Tính chịu nén của chất lỏng đƣợc đặc trƣng bằng hệ số nén thể tích βc. Nó biểu thị sự thay đổi tƣơng đối của thể tích W khi áp lực P thay đổi đi một lƣợng 1kg/m2
và xác định bằng công thức: Βc = (1/W) * (dw/dp) m2/kg.
Từ công thức trên ngƣời ta tính toán đƣợc bảng βc của nƣớc ở các nhiệt độ khác nhau:
T0C 0 10 20 30
Βc (m2/kg) 50,2.10-10 48,2.10-10 46,5. 10-10 45,6. 10-10 Từ bảng trên ta thấy rằng độ chịu nén của nƣớc rất không đáng kể, vì vậy hầu hết trong các trƣờng hợp thực tế có thể bỏ qua.
2.2.3.2. Độ nhớt của chất lỏng
Khả năng của chất lỏng khi chuyển động có thể gây ra các ứng suất tiếp tuyến bên trong là một tính chất đƣợc gọi là tính nhớt hay ma sát trong của chất lỏng. Tính nhớt là một trong những tính chất căn bản của chất lỏng. Tính chất
đó đƣợc tạo ra do chuyển động bên trong của phân tử chất lỏng và sẽ thể hiện ra khi các lớp chất lỏng chuyển động tƣơng đối so với các lớp bên cạnh làm cho thể tích bị biến hình, trong đó lực ma sát sẽ xuất hiện.
Lực ma sát làm cho lớp chất lỏng chảy nhanh hơn sẽ lôi kéo lớp chất lỏng chảy chậm hơn và ngƣợc lại. Do lực ma sát biến cơ năng của chất lỏng đang chuyển động sẽ biến thành nhiệt năng. Độ nhớt của chất lỏng đƣợc đặc trƣng bằng hệ số nhớt . Hiện nay, chƣa có một công thức thống nhất nào để tính độ nhớt của chất lỏng, mà ngƣời ta chỉ mới tính đƣợc vài trị số độ nhớt của nƣớc nhƣ sau:
T0c 0 10 20 30
Μ 1,827 1,330 1,024 0,816
Khi nhiệt độ tăng thì động năng của phân tử tăng, nên “thể tích dao động” sẽ dần dần lớn ra và hệ số nhớt giảm xuống.
2.2.3.3. Lực mao dẫn của chất lỏng
Chúng ta đã biết rằng mặt thoáng của chất lỏng hay nói tổng quát hơn là mặt phân giới của chất lỏng và chất khí ở trong trạng thái cân bằng của sức căng mặt ngoài.
Trị số của sức căng mặt ngoài σ qui về một đơn vị chiều dài của “đƣờng tạo thành” chỉ phụ thuộc vào bản chất chất lỏng và nhiệt độ của nó. Đối với nƣớc tiếp xúc với không khí, trị số σ ở 200C bằng khoảng 0,0074kg/m2
, và giảm đi khi nhiệt độ tăng.
Trong một số lớn quá trình thủy lực, ảnh hƣởng của sức căng mặt ngoài vì quá nhỏ nên bỏ qua, chỉ cần tính đến sức căng mặt ngoài nếu mặt thoáng của chất lỏng có một độ cong rõ rệt hoặc nếu các lực căng mặt ngoài tạo thành áp lực phụ lên chất lỏng. Tác dụng của áp lực phụ này giải thích đƣợc hiện tƣợng dâng mao quản của chất lỏng .
Chất lỏng có khả năng hút và hòa tan các chất khí khi tiếp xúc với nó. Khi đó, trọng lƣợng của chất khí bị hoà tan thay đổi tỷ lệ với áp lực của chất lỏng, còn về thể tích thì thực tế vẫn không thay đổi.
Nƣớc trong trạng thái thiên nhiên bao giờ cũng chứa một lƣợng không khí bị hòa tan: ở nhiệt độ bình thƣờng, lƣợng đó vào khoảng 2% thể tích nƣớc. Khi áp lực giảm, một phần không khí hòa tan sẽ bốc lên khỏi chất lỏng. Áp lực càng giảm thì không khí bốc hơi lên càng mạnh, khi đó sẽ sinh ra hơi chất lỏng. Sự bốc hơi tạo thành sƣơng mù của chất lỏng có thể xảy ra ở các áp lực lớn hơn áp lực khí trời nếu nhiệt độ nƣớc tăng hay nƣớc chứa nhiều khí quá. Đó là nguyên nhân của việc sinh ra các “túi” không khí trong các ống dẫn nƣớc dài; không khí bốc ra và hơi nƣớc sẽ tích lũy lại trong các ống đó ở những nơi cao nhất và có thể gây khó khăn hay làm cho nƣớc hoàn toàn không chuyển động đƣợc
2.3. Phƣơng pháp Particle-based 2.3.1. Giới thiệu 2.3.1. Giới thiệu
Phƣơng pháp Particle-based (hay còn gọi là phƣơng pháp Lagrangian) mô tả chất lỏng sử dụng các phần tử (Particles). Bằng cách trực tiếp theo dõi
từng phần của quá trình các phần tử di chuyển qua những miền trống.
Phƣơng pháp particle không chú trọng việc bảo toàn khối lƣợng và cung cấp khái niệm mô phỏng khung đơn giản, linh hoạt.
Mô phỏng Particle-based sử dụng cách tiếp cận luân phiên – SPH (Smoothed Particle Hydro Dynamics), đƣợc phát triển đầu tiên bởi Lucy, Gingold và Monaghan
Với cách tiếp cận này những phần tử trong khối chất lỏng duy trì các thuộc tính khác nhau ví dụ nhƣ mật độ, khối lƣợng, vận tốc.v.v…Và đƣợc theo dõi trong suốt quá trình mô phỏng.
Phƣơng pháp Particle-based ổn định hơn phƣơng pháp Physically-based nhƣng vẫn yêu cầu bộ nhớ tƣơng đối lớn.
2.3.2. Tiến trình mô phỏng
Chất lỏng đƣợc biểu diễn bằng cách phát triển các phần tử trong suốt không gian và thời gian. Mô phỏng particle thƣờng đi qua các bƣớc: đầu tiên các lực khác nhau đƣợc tính và đƣợc tích lũy cho mỗi particle. Sau đó những lực này đƣợc sử dụng để thay đổi vận tốc và cuối cùng chúng đƣợc sử dụng để cập nhật vị trí của particle.
Ở bƣớc cuối cùng, vận tốc đƣợc tính lại bằng cách lấy vị trí đã giãn ra trừ đi vị trí trƣớc đó. Lý do phải tính lại vận tốc là độ giãn (the relaxation displacements) tƣơng đƣơng với xung lực đƣợc áp dụng với vận tốc lúc bắt đầu bƣớc tiếp theo. Những xung lực này đƣợc tính ở vị trí gần vị trí cuối cùng (ở chỗ giữa vị trí đã dự đoán và vị trí cuối cùng).
Nhƣ vậy, tính không nén đƣợc và không nhóm đƣợc đƣợc thể hiện bằng cách thực hiện thủ tục nới lỏng (làm giảm - relaxation) mật độ kép, hiệu ứng của chất dẻo đàn hồi và không tuyến tính thu đƣợc bằng cách thêm lực co dãn vào khoảng trống giữa các phần tử.
1. For each particle i 2. // apply gravity
3. vi vi + tg
4. // modify velocities with pairwise viscosity impulses
5. applyViscosity 6. foreach particle i
7. // save previous position
8. xi prev
xi
9. // advance to predicted position
10. xi xi + tvi
11. // add and remove springs, change rest lengths
12. adjustSprings
13. // modify positions according to springs,
14. // double density relaxation, and collisions
15. applySpringDisplacements 16. doubleDensityRelaxation 17. resolveCollisions
18. foreach particle i
19. // use previous position to compute next velocity
20. vi (xi –xi prev
)/ t
Đầu tiên, chúng ta update vận tốc của particle tùy theo trọng lực và vận tốc (dòng 1 đến 5).
Ghi lại vị trí trƣớc đó và di chuyển particle tùy theo vận tốc của chúng.
Dòng 12 đến 15: thay đổi spring (lực co dãn) dựa vào độ dài và sử dụng lực spring thay thế particle.
Đảm bảo tính bảo toàn khối lƣợng và tính không nhóm đƣợc (dòng 16).
Cuối cùng, sự va chạm giữa các particle và các vật thể tĩnh/động đƣợc giải quyết và vận tốc particle đƣợc tính lại.
Minh họa:
Áp đặt trọng lực và tính nhớt cho particles
Áp đặt trọng lực và tính nhớt cho particles
Dự đoán vị trí
Áp đặt trọng lực và tính nhớt cho particles
Dự đoán vị trí
Đặt lại vị trí mới cho mỗi particles
Áp đặt trọng lực và tính nhớt cho particles
Dự đoán vị trí
Làm giảm- relax (mật độ và lực co dãn- density and spring)
Đặt lại vị trí và thu đƣợc vận tốc mới
Để thực hiện đƣợc thuật toán trên, ta cần giải quyết 3 vấn đề lớn: - Làm giảm mật độ kép (dòng 16)
- Biểu diễn đƣợc mặt phân cách (dòng 5,12,15) - Giải quyết vấn đề va chạm với đối tƣợng (dòng 17)
2.3.3. Giảm mật độ kép 2.3.3.1. Mật độ và áp suất 2.3.3.1. Mật độ và áp suất
Trong phạm vi SPH, mục đính chính là tối thiểu hóa hệ số nén, chuyển thành ràng buộc cục bộ để duy trì mật độ không đổi. Chúng ta có công thức tính mật độ ở particle i là : ij 2 ( ) (1 / ) i j N i r h (1) Rij = | rij | ; rij = xj - xi
N(i) : biểu thị tập hợp các particle hàng xóm nằm trong phạm vi của bán kính tƣơng tác h. J: các hàng xóm của particle i.
Quan niệm về mật độ này không hoàn toàn đúng với đặc tính vật lý, nó đơn giản chỉ là 1 con số xác định số lƣợng các particle có quan hệ với hàng xóm của nó. Ngƣời ta đã cố gắng đƣa ra cách nhìn nhận khác về mật độ, ví dụ nhƣ tập hợp các particle xung quanh 1 particle khác (mật độ ) có dạng là một không gian giới hạn bởi đa thức (r/h)-2, hoặc có dạng hình cái chuông với đa thức (1-(r/h)2
(1-r/h)2. Chúng ta định nghĩa áp suất giả Pi tỷ lệ với hiệu của mật độ hiện tại ρi và mật độ nguyên của ρ0:
Pi = k(ρi - ρ0) (2) k: độ cứng (stiffness)
Để làm cho công thức này đơn giản và khả thi, chúng ta kết hợp hằng số tỷ lệ với mật độ trong SPH với các tham số k và ρ0. Ngoài ra, ta coi nhƣ tất cả