Bài toán tối ƣu hóa giá thành

6. Nội dung của đề tài

3.3.Bài toán tối ƣu hóa giá thành

Bài toán tối ƣu hóa giá thành khi mài tròn ngoài có thể biểu diễn dƣới dạng toán học nhƣ sau:

) (

minCct  f dtđ (3.26) Với các ràng buộc sau:

Cm,hmin Cm,h Cm,hmax; Clg,hmin Clg,h Clg,hmax; Cđ,ctmin Cđ,ct Cđ,ctmax d0min d0 d0max; (3.27) m,sđmin m,sđ m,sđmax; Tđmin Tđ Tđmax; nckmin nck nckmax

62

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chƣơng 4: PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƢU 4.1. Các phƣơng pháp giải bài toán tối ƣu

Với bài toán tìm giá trị tối ƣu cho mục tiêu, ta thấy bài toán của ta là bài toán quy hoạch phi tuyến (vì các hàm của ta đều là các hàm phi tuyến) (xem phần 3.3).

Để giải bài toán quy hoạch phi tuyến có dạng trên, có thể có các phƣơng pháp giải sau [34]:

a. Phƣơng pháp hàm phạt

Nội dung của phƣơng pháp này là biến đổi bài toán có ràng buộc thành bài toán không ràng buộc; vì phƣơng pháp này còn đƣợc Fiacco và Cormick gọi là phƣơng pháp tối thiểu hóa không điều kiện liên tiếp.

b. Phƣơng pháp gradien

Nội dung của phƣơng pháp này là:

Véctơ gradien của hàm f(x) tại 0

x có dạng:       n x x f x x f x x f x x f x f( ) ( ), ( ), ( ),... ( ) 0 3 0 2 0 1 0 0 Véctơ gradienf (x0

) chỉ ra hƣớng tăng nhanh nhất của hàm mục tiêu

tại x0; vì vậy véctơ -f(x0

) gọi là đối gradien chỉ ra hƣớng giảm nhanh nhất

của hàm mục tiêu tại x0. Phƣơng pháp gradien cho độ hội tụ nhanh hơn các

phƣơng pháp khác, tuy nhiên với bài toán của ta rất khó nhận đƣợc đạo hàm giải tích nên không thể sử dụng phƣơng pháp này đƣợc.

63

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nhƣ đã biết, nếu một hàm đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại một điểm thì đạo hàm của hàm số tại điểm đó phải bằng 0. Xuất phát từ đó, phƣơng pháp các nhân tử Lagrange chuyển việc giải bài toán tìm cực trị của hàm f(x) thành việc tìm nghiệm của hệ phƣơng trình đạo hàm riêng của f(x) theo các biến số. Phƣơng pháp này là một trong các phƣơng pháp hay và đƣợc sử dụng khá phổ biến, tuy nhiên nhƣ đã nói ở trên, với bài toán của ta rất khó nhận đƣợc đạo hàm giải thích nên do đó ta không áp dụng phƣơng pháp này.

Về nguyên tắc, các phƣơng pháp sử dụng đạo hàm nhƣ phƣơng pháp gradien, phƣơng pháp các nhân tử Lagrange... để giải bài toán phi tuyến cho độ hội tụ nhanh hơn các phƣơng pháp tìm kiếm. Tuy nhiên trong thực tế các phƣơng pháp này có hai khó khăn:

- Khi số biến số lớn thì rất khó nhận đƣợc các đạo hàm dƣới dạng giải tích.

- Thời gian chuẩn bị bài toán lâu hơn phƣơng pháp tìm kiếm.

Do vậy ngƣời ta đã thiết lập các phƣơng pháp, thuật toán tìm kiếm cho dù các phƣơng pháp này nhận đƣợc lời giải chậm hơn, nhƣng lại thỏa đáng theo quan điểm sử dụng vì các phƣơng pháp này có thuật giải toán đơn giản, dễ lập trình trên máy, đồng thời có thể rẻ hơn, nếu nhƣ giá cả cho việc chuẩn bị giải cao hơn giá cả cho việc chạy máy.

Các phƣơng pháp tìm kiếm bao gồm: Phƣơng pháp tìm kiếm trực tiếp, phƣơng pháp Rosenbrock H.H. và phƣơng pháp biến đổi đơn hình.

d. Phƣơng pháp tìm kiếm trực tiếp

Phƣơng pháp tìm kiếm trực tiếp do Hooke R. , Jeeves T. đƣa ra, sau đó đƣợc Woood C.F. phát triển. Thực chất của phƣơng pháp này là ở mỗi bƣớc chỉ biến đổi một biến, còn các biến khác để nguyên cho tới khi nào đạt giá trị tối thiểu ứng với biến đã biến đổi thì mới biến đổi. Phƣơng pháp này đơn giản nhất nhƣng cho độ hội tụ lâu nhất. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

64

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Phƣơng pháp này là một thủ tục lặp gần giống với phƣơng pháp Hooke R và Jeeves T.; Sự giống đó thể hiện ở chỗ sử dụng các bƣớc đi nhỏ trong thời gian tìm kiếm trong các hƣớng trực giao. Tuy nhiên ở đây thay vào việc tìm kiếm liên tục theo các tọa độ tƣơng ứng với các hƣớng của các biến độc lập là, sau mỗi một lần tìm kiếm theo tọa độ có thể cải tiến bằng cách đƣa vào các hƣớng tìm kiếm trong hệ tọa độ trực giao, sử dụng toàn bộ bƣớc đi của giai đoạn trƣớc làm khối đầu tiên cho việc xây dựng hệ tọa độ mới.

f. Phƣơng pháp biến đổi đơn hình( Hay Phƣơng pháp Simplex)

Thực chất của Phƣơng pháp biến đổi đơn hình (của Neleder J.A. và Mead R.) là tìm kiếm các giá trị tối ƣu sau một số quá trình biến đổi đơn hình. Nội dung cơ bản của phƣơng pháp này nhƣ sau: trong không gian n chiều, xây dựng một đơn hình (đa diện đều), sau đó so sánh giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh của đơn hình, từ đó tìm ra phƣơng hƣớng biến đổi của đơn hình đó.

g. Phƣơng pháp lát cắt vàng.

- Phƣơng pháp lát cắt vàng: đây là một trong những phƣơng pháp hiệu quả nhất để tìm thấy cực tiểu của hàm một biến. Phƣơng pháp có thể đƣợc mô tả nhƣ [35]:

Để tìm thấy cực tiểu của hàm f(x) trong một khoảng (đoạn) đã cho, hàm đƣợc ƣớc lƣợng nhiều lần và tìm kiếm một cực tiểu địa phƣơng. Để giảm bớt số lƣợng hàm đánh giá, một cách tốt để xác định hàm (fx) đã đƣợc tìm

thấy và một tỷ lệ gọi là lát cắt vàng đƣợc cho bởi (r =( 51/2

- 1) / 2 [35]). Sử dụng phƣơng pháp này, hàm phải có một cực tiểu thích hợp trong khoảng (đoạn) đã cho. Nếu hàm f(x) là một mối trên [a, b], có thể thay thế đoạn bởi một khoảng con trên mà f(x) đảm nhiệm giá trị cực tiểu của nó. Sự tìm kiếm lát cắt vàng, hai điểm trong bao gồm c = a +(1- r).(b - a) và d = a + r .(b - a) đƣợc yêu cầu. Vậy thì, chúng ta có a< c< d < b. Trong khi hàm f(x) là một mối, hàm giá trị f(c) và f(d) ít hơn so với max {f(a), f (b)}. Từ điều này, có hai trƣờng hợp để xem xét (Hình 4.1)

65

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nếu f(c) ≤ f(d), ở đó phải là cực tiểu trong khoảng con [a,d] và ta thay thế b với d và tiếp tục sự tìm kiếm trong khoảng con mới. Nếu f(d) < f(c), cực tiểu phải xảy ra trong [c,b]. Trong trƣờng hợp này, a sẽ đƣợc thay thế bởi c và sự tìm kiếm sẽ đƣợc tiếp tục. Nếu f(c) ≤ f(d) sử dụng đoạn [a, d]. Nếu f(d) < f(c) sử dụng đoạn trái [c, b]

Hình 4.1: Quá trình tìm kiếm bằng “lát cắt vàng” [42]

4.2. Lựa chọn phƣơng pháp giải

- Vì bài toán đã xây dựng là bài toán đơn mục tiêu nên ta có thể chọn phƣơng pháp giải là phƣơng pháp lát cắt vàng. Với phƣơng pháp này việc lựa chọn để tìm ra các đoạn (khoảng) cực đại và cực tiểu có thể tiến hành nhanh chóng. Thêm vào đó, việc lập trình để giải bằng phƣơng pháp lát cắt vàng cũng tƣơng đối đơn giản.

66

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chƣơng 5: LẬP TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƢU

Phần mềm Pascal for Window đã đƣợc sử dụng để giải bài toán tối ƣu hóa giá thành đã đƣợc thiết lập (xem chƣơng 3). Nhƣ đã nêu ở chƣơng 4, bài toán tối ƣu hóa giá thành đƣợc giải bằng việc ứng dụng phƣơng pháp lát cắt vàng với mục tiêu đạt đƣợc là giá thành chi tiết gia công khi mài tròn ngoài là nhỏ nhất.

Các ràng buộc của bài toán tối ƣu đƣợc xác định cụ thể nhƣ sau:

Cm,h=200…1280(×1000đ/h); Clg,h= 100…1000(×1000đ/h); Cđ,ct=400…2800

(×1000đ/ct); d0 = 250…550(mm); δm,sđ=0,03…0,06 (mm/h); Tđ= 1070(ph);

nck= 3…7

- Chƣơng trình để khảo sát ảnh hƣởng của các thông số quá trình và các thông số giá thành nhƣ đƣờng kính đá mài ban đầu, độ mòn của đá mài sau mỗi lần sửa đá, giá thành một giờ máy, chi phí giờ lƣơng, giá thành đá mài trên một chi tiết, tuổi thọ của đá, vv… đến đƣờng kính tối ƣu (hay tuổi bền tối ƣu) của đá mài đã đƣợc thiết lập.

- Chƣơng trình để xây dựng dữ liệu cho việc xác định đƣờng kính tối ƣu (hay tuổi bền tối ƣu) của đá mài cũng đƣợc xây dựng (xem Phụ lục A). Nhờ chƣơng trình này, các số liệu kể đến ảnh hƣởng của các thông số nêu trên đến đƣờng kính tối ƣu của đá mài đã đƣợc thiết lập. Những số liệu này đƣợc dùng vào việc phân tích hồi quy để xây dựng công thức tính đƣờng kính tối ƣu của đá mài (xem Chƣơng 6).

67

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chƣơng 6:

PHÂN TÍCH KẾT QUẢ VÀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC TÍNH ĐƢỜNG KÍNH TỐI ƢU (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

6.1. Phân tích kết quả đạt đƣợc sau khi giải bài toán tối ƣu

Với bài toán tối ƣu hóa giá thành, có thể thấy rõ ràng rằng giá thành chi tiết khi mài tròn ngoài phụ thuộc rất nhiều vào đƣờng kính đá mài khi thay. Thêm vào đó, luôn tồn tại một giá trị đƣờng kính đá mài khi thay mà với giá trị này sẽ cho năng suất mài cao nhất và giá thành mài là nhỏ nhất. Giá trị này gọi là đƣờng kính tối ƣu của đá mài ( tính toán với các số liệu sau: Cm =

100000$; Tnkh= 5 năm; dng,n= 250 ngày/năm; xlx= 10%; Clg,h= 20 $/h;

dhslv= 30%; xca,ng= 1ca; th,ca= 8 h/ca; xhslv= 0.8 - ttđ/T; ttđ= 0.5h; vật liệu phôi:

thép nhẹ; dct = 70 mm; lct= 400 mm; z = 0.15mm; nct= 100 v/ph; dđ =300mm;

bđ= 40mm; nđ= 1910 v/ph; đá mài: 14A40HC16K1; nck= 5; Cđ,ct= 50$/ct;

tsđ=0.12 mm; δsđ= 0.1; Td= 0.05ph; Tsđ,ct= 0.5ph; Ttđ = 30ph; Tw= 40ph).

Trong thực tế, các thành phần chi phí nhƣ: giá thành máy trên giờ, chi phí lƣơng công nhân trên giờ, chi phí quản lý theo giờ,…thƣờng không đổi. Nhƣ vậy, với một thiết lập nào đó (đƣờng kính đá mài ban đầu, chi phí đá mài trên giờ, thời gian thay đá, …) một giá trị đƣờng kính tối ƣu của đá mài khi thay đã đƣợc tìm thấy khi giải quyết bài toán tối ƣu hóa chi phí giá thành. Tuy nhiên các thành phần chi phí này sẽ khác nhau tùy thuộc vào các nhà sản xuất cũng nhƣ khi thay đổi thời gian và địa điểm. Do đó, đƣờng kính tối ƣu của đá mài khi thay đƣợc tìm thấy nhƣ là một hàm của các biến nhiều thành phần về giá thành cũng nhƣ các thông số của quá trình mài.

Dựa vào các phƣơng trình (3.1) và vấn đề tối ƣu hóa (3.26), (3.27), một chƣơng trình xây dựng dữ liệu trên máy tính đã đƣợc thiết lập cho việc tìm kiếm đƣờng kính đá mài tối ƣu để có đƣợc chi phí tối thiểu khi mài.

Ban đầu chín biến đã đƣợc nghiên cứu cho việc tìm kiếm đƣờng kính tối ƣu với những thông số khác nhau của quá trình mài. Đó là: đƣờng kính đá

68

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

mài ban đầu d0, tuổi bền của đá Tđ, chiều sâu sửa đá tsđ, số chu kỳ làm việc

nck, chi phí đá mài Cđ, giá thành một giờ máy Cm,h, chi phí giờ lƣơng bao gồm

cả chi phí quản lý Clg,h, thời gian thay đá Ttđ và độ mòn của đá mài sau mỗi

lần sửa đá. Tuy nhiên, những tác động của chi phí đá, lƣơng công nhân, chi phí máy, thời gian thay đá, độ mòn sau mỗi lần sửa đá trên đƣờng kính tối ƣu là rất nhỏ, có thể bỏ qua. Kết quả là, những ảnh hƣởng của các thông số quá

trình đối với đƣờng kính tối ƣu dtop đã đƣợc khảo sát với bốn biến, đƣợc biểu

diễn nhƣ sau:

dtop = f(d0,Tđ,tsđ,nck)

Hình 6.1: Giá thành mài khi thay đổi đường kính đá

Kết quả của chƣơng trình cho thấy đƣờng kính tối ƣu tìm đƣợc lớn hơn khá nhiều so với đƣờng kính khi thay đá truyền thống. Trong ví dụ nêu trên (hình 6.1), đƣờng kính tối ƣu là 284mm trong khi đƣờng kính khi thay đá truyền thống là từ 200 đến 220mm.

Giá trị của đƣờng kính tối ƣu phụ thuộc vào nhiều yếu tố nhƣ: đƣờng

kính đá mài ban đầu d0; tuổi bền của đá Tđ; chiều sâu sửa đá tsđ; chu kỳ làm

việc nck; chi phí đá Cđ (hình 6.2), trong đó đƣờng kính đá mài ban đầu là yếu

69

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

0 100 200 300 400 500 150 250 350 450 550

Initial grinding w heel diam eter (m m )

"O p ti m a l d ia m e te r" ( m m ) 0 100 200 300 400 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

Total depth of dressing cut (m m ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

"O p ti m a l d ia m e te r" ( m m ) 0 100 200 300 400 0 20 40 60 80 Wheel life (h) "O p ti m a l d ia m e te r" ( m m ) 0 100 200 300 400 2 3 4 5 6 7 8 9

Num ber of dressing cut in a w orking period (m m ) "O p ti m a l d ia m e te r" ( m m )

Hình 6.2: Ảnh hưởng của các nhân tố tới đường kính tối ưu Với d0=300mm; nck= 5; tsđ= 0.12mm; Tđ= 40ph

6.2. Xây dựng công thức tính đƣờng kính tối ƣu của đá khi thay thế

Từ kết quả của chƣơng trình tối ƣu, phân tích hồi quy đã đƣợc tiến hành và công thức tính toán đƣờng kính đá mài tối ƣu khi biết đƣờng kính đá mài ban đầu trong gia công mài tròn ngoài đã đƣợc tìm ra. Độ chính xác của công thức tìm đƣợc so với dữ liệu chƣơng trình là rất cao (với hệ số xác định R2

= 0.9998):

dtop= 0.7583d10.0276.Tđ0.0148/(tsđ0.0176.nck0.0109) (6.1)

Với Tđ= 10÷70 ph và nck= 3÷7; công thức (6.1) có thể viết ngắn gọn

nhƣ sau: dtop= (0.7682÷0.7979).d1.0276 0.0176 0 /tsđ Ta có: dtop ≈ 0.785d1.0276 0.0176 0 /tsđ (6.2)

70

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Công thức (6.2) rất phù hợp với dữ liệu của chƣơng trình (với

R2=0.9985)

6.3. Kết luận

- Bài toán tối ƣu hóa giá thành đã đƣợc xây dựng. Trong bài toán này, hàm mục tiêu là giá thành chi tiết gia công khi mài tròn ngoài là nhỏ nhất.

- Ảnh hƣởng của các tham số quá trình nhƣ đƣờng kính đá mài ban đầu, tuổi bền của đá, chiều sâu sửa đá, chu kỳ làm việc vv… đã đƣợc khảo sát.

- Kết quả của bài toán tối ƣu trở nên tổng quát và rất linh hoạt do việc sử dụng nhiều biến để khảo sát nhƣ chi phí cố định, giá thành đá mài, độ mòn của đá sau mỗi lần sửa đá, v.v…

- Từ kết quả của chƣơng trình tối ƣu phân tích hồi quy đã đƣợc tiến hành và công thức hồi quy đã đƣợc đề xuất. Công thức này dùng để xác định đƣờng kính đá mài khi thay tối ƣu khi biết đƣờng kính đá mài ban đầu. Công thức này cho phép tính toán các đƣờng kính tối ƣu (hay tuổi bền tối ƣu) một cách đơn giản và tiện lợi.

71

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chƣơng 7: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 7.1. Kết luận

Đề tài này nhằm xác định tuổi bền tối ƣu của đá mài trong gia công mài tròn ngoài. Để thực hiện mục tiêu đó, khá nhiều công việc đã đƣợc tiến hành. Từ các kết quả của đề tài, có thể đƣa ra một số kết luận sau:

- Cho đến nay đã có khá nhiều các nghiên cứu trong và ngoài nƣớc về gia công mài nói chung và mài tròn ngoài nói riêng. Các nghiên cứu đã tiến hành về nhiều vấn đề của quá trình mài nhƣ cơ sở lý thuyết của quá trình, các thông số tối ƣu của quá trình, về bôi trơn làm mát khi mài, về tuổi bền của đá,... Tuy nhiên, chƣa có nghiên cứu nào trình bày về ảnh hƣởng của đƣờng kính đá mài khi thay đến giá thành mài.

- Bài toán tối ƣu để xác định đƣờng kính khi thay tối ƣu của đá mài nhằm đạt mục tiêu giá thành mài nhỏ nhất đã đƣợc xây dựng.

- Các phƣơng pháp giải bài toán tối ƣu đã đƣợc phân tích. Trên cơ sở đó, phƣơng pháp lát cắt vàng – một phƣơng pháp tìm kiếm rất hiệu quả và nhanh chóng cho hàm đơn mục tiêu đã đƣợc lựa chọn để giải bài toán tối ƣu.