Biện phỏp 3: Bồi dỡng t duy sỏng tạo thụng qua rốn luyện khả năng phỏt hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mớ

M A+ B + C= A+ BI IC AC AB

2.3.3. Biện phỏp 3: Bồi dỡng t duy sỏng tạo thụng qua rốn luyện khả năng phỏt hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mớ

năng phỏt hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới

Nh đó phõn tớch trong chơng 1 ở trờn, nột đặc trng nổi bật của t duy sỏng tạo là tạo ra đợc cỏi mới. Qua việc giải hệ thống bài tập đợc thiết kế, chọn lọc, ở đú HS sẽ đợc rốn luyện nhiều về khả năng tỡm ra hớng đi mới (cú thể là tỡm nhiều lời giải khỏc nhau cho một bài toỏn), khả năng tỡm ra kết quả mới (cú thể khai thỏc kết quả của một bài toỏn xem xột cỏc khớa cạnh khỏc nhau của bài toỏn). Khả năng phỏt hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới là một khả năng cực kỳ quan trọng mà ta cần quan tõm bồi dỡng cho HS, khả năng thể hiện rừ nột nhất là ở chỗ đề xuất đợc bài toỏn mới. ở đõy cú thể là bài toỏn hoàn toàn mới, cũng cú

thể là sự mở rộng, đào sõu của những bài toỏn đó biết. Để gúp phần cú thờm đợc những khả năng đú, tỏc giả quan tõm bồi dỡng cho HS một số vấn đề sau:

2.3.3.1. Rốn luyện khả năng nhận biết, tỡm tũi và phỏt hiện cỏc bài toỏn liờn quan và sỏng tạo bài toỏn mới

Thụng qua hoạt động dạy học giải bài tập, HS đợc lụi cuốn vào cỏc hoạt động, cơ hội tỡm tũi, khỏm phỏ phỏt hiện vấn đề là việc làm hết sức cần thiết.

Với cỏch dạy học đề cao vai trũ chủ thể của ngời thầy thỡ HS cú đợc cơ hội này trong một số giờ luyện tập cũng rất hạn chế. HS ớt khi đợc phỏt hiện vấn đề mới mà thờng lập lại hoặc phỏt hiện vấn đề đợc GV đó đa ra, HS thờng bị động khi tiếp nhận kiến thức từ phớa GV. Cỏch dạy và học nh vậy sẽ làm hạn chế khả năng tỡm kiếm, tự phỏt hiện vấn đề của HS, điều này trỏi với quan điểm về việc học theo xu hớng hoạt động hoỏ ngời học, lấy ngời học làm trung tõm, việc hoà là sự biến đổi bản thõn mỡnh để trở nờn cú kiến thức mới, phơng phỏp t duy và sự thực hiện đợc phờ bỡnh, để tự hiểu bản thõn. Chớnh vỡ điều đú mà trong dạy học, ngời GV phải biết chỳ trọng cụng tỏc bồi dỡng HS năng lực nhận biết tỡm tũi, phỏt triển vấn đề để giỳp HS rốn luyện cỏc kỹ năng t duy vào thúi quen phỏt triển tỡm tũi, thụng qua một số thao tỏc trớ tuệ. Việc thờng xuyờn rốn luyện cho HS năng lực này tạo cho HS thúi quen luụn luụn tớch cực khỏm phỏ kiến thức ở mọi lỳc, mọi nơi. Muốn làm tốt điều đú đũi hỏi HS phải trải qua một quỏ trỡnh tỡm tũi, mũ mẫm, dự đoỏn, suy xột ở nhiều gúc độ để rồi thử nghiệm.

Vớ dụ 24: Tỡm kớch thớc của tam giỏc cú diện tớch lớn nhất nội tiếp trong đ-

ờng trũn (O, R) cho trớc?

Giả sử cú tam giỏc ABC bất kỳ nội tiếp đờng trũn (O, R) cho trớc (Hỡnh 30). Vỡ trong bài toỏn chứa đựng một yếu tố quan trọng nhất đú là diện tớch của tam giỏc ABC cho nờn ta phải tạo ra một yếu tố phụ đú là đờng cao AH của ∆ ABC. Lỳc này diện tớch tam giỏc ABC:

S∆ABC = 1

2AH . BC. Cú thể núi đõy là “Chỡa khoỏ” để ta tiếp tục quỏ trỡnh tỡm tũi, mũ mẫm, dự đoỏn để phỏt hiện ra vấn đề.Thật vậy ta cố định đoạn BC thỡ diện tớch tam giỏc ABC sẽ lớn nhất khi AH lớn nhất, lỳc đú A sẽ nằm chớnh giữa cung BC và tam giỏc ABC cõn tại A.Tơng tự nếu ta tiếp tục cho cố định đoạn AB thỡ diện tớch tam giỏc ABC lớn nhất khi tam giỏc ABC cõn tại C.

Vỡ vậy từ những điều phõn tớch ở trờn mà ta đi đến dự đoỏn đợc S∆ABC lớn nhất khi ∆ ABC là tam giỏc đều. Dễ thấy rằng tứ giỏc OB A’C là hỡnh bỡnh hành (Hỡnh 31). Suy ra: AH=3R 2 BC = R 3 Nờn S∆ABC = 3 3 2 4 R

Từ đú sẽ gợi cho ta thực hiện phộp chứng minh S∆ABC ≤ 3 3 . 2

4

R .

Cỏch giải 1: (Hỡnh 30 + Hỡnh 31)

Với tam giỏc ABC bất kỳ nội tiếp đờng trũn (O, R) kẻ AH và OK cựng vuụng gúc với BC. Đặt OK = x (0 ≤ x < R). Ta cú BC = 2 R2−x2 mà AH ≤ AK ≤ OA + OK = R + x.

Do đú: S∆ABC = 1 2AH . BC ≤ 1 2 (R + x) . 2 R2−x2 = R R2−x2 + x. 2 2 R −x = 2 3 3 2 2 3 ( 2 2) . 3 . 3 2 3 R R x x R x   − + −  ữ  ữ   . áp dụng BĐT Cụsi cho 2 số khụng õm dẫn đến: S∆ABC ≤ 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 1 . . 3 3 2 4 3 2 R R x x R x  + − + + −  ữ   S∆ABC ≤ 3 3 2 4 R . Dấu “=” xảy ra ⇔ 60o AB AC BAC x x   ≡   =  ⇔  ∠ =   = − =  2 2 H K O nằm A và K 3 . R R 3 . 2 Tức là ∆ ABC đều và cú cạnh bằng R 3.

Trong quỏ trỡnh tiếp cận và giải quyết bài toỏn cực trị hỡnh học nào đú, HS khụng chỉ nhỡn bài toỏn từ một gúc độ mà phải xem xột bài toỏn đú theo quan điểm toàn diện, khụng chấp nhận một cỏch giải quen thuộc hoặc duy nhất, từ đú luụn luụn suy nghĩ, tỡm tũi đề xuất đợc nhiều cỏch giải khỏc nhau cho một bài toỏn nhằm rốn luyện tớnh linh hoạt, tớnh nhuần nhuyễn, tớnh độc đỏo của t duy. Tức là rốn luyện khả năng từ hoạt động trớ tuệ này sang trớ tuệ khỏc, nhỡn nhận một đối tợng toỏn học, một vấn đề, một bài toỏn dới nhiều gúc độ khỏc nhau, nhỡn trong mối tơng quan với cỏc hiện tợng khỏc, tỡm cỏch giải mới, sỏng tạo.

Mặt khỏc, tỡm nhiều lời giải cho một bài toỏn giỳp HS cú cỏch nhỡn toàn diện, biết hệ thống hoỏ và sử dụng cỏc kiến thức, cỏc kỹ năng và phơng phỏp giải

toỏn một cỏch chắc chắn, mềm dẻo, linh hoạt. Đú cũng là yếu tố đặc trng của t duy sỏng tạo.

Ta cú một số cỏch giải khỏc nữa cho bài toỏn đó xột sau:

Cỏch giải 2: Nếu ta cố định cạnh BC. Suy ra S∆ABC lớnnhất ⇔ ABC cõn tại A. Trong lý luận ở cỏch giải thứ nhất ta đó lập luận tỡm ra đợc tam giỏc ABC nội

tiếp thoả món yờu cầu bài toỏn là tam giỏc đều và đi chứng minh S∆ABC ≤ 3 3 2

4

R

.

Nhng ở cỏch giải này ta nhỡn bài toỏn dới một gúc độ khỏc đú là từ S∆ABC

lớn nhất ⇔ ∆ ABC cõn tại A (theo lập luận ở cỏch 1).

Trong cỏc tam giỏc ABC cõn nội tiếp (O, R) cho trớc. Ta hóy đi tỡm tam giỏc cú diện tớch lớn nhất.

Thật vậy: Theo nh lập luận ở cỏch 1. Ta cú: S∆ABC = (R + x) . 2 2 R −x Từ đú ta cú: S∆ABC = ( ) (3 ) R x+ R x− = 1 ( ) ( ) ( ) (3 3 ) 3 R x R x R x+ + + R− x ≤ ( )4 2 3 3 3 3 1 4 4 3 R x R x R x+ + + + + + R− x R = (khụng đổi) Dấu “=” xảy ra ⇔ R + x = 3R - 3x ⇔ x = R2 ⇔ BC = R 3 ⇔ Sđ ằBC = 1200 ⇔∠A = 600 ⇔∆ ABC đều.

S∆ABC = (R + x) R2−x2 , S∆ABC= ( )2( 2 2) 1 ( 2 2) ( 2 2) 2 3 3 3 R x+ R −x = R + Rx x+ R − x ≤ ( 2 2 2 2) ( ) 2 2 2 3 3 1 1 . 2 2 3 3 R Rx x R x x Rx R + + + − = − + + = 2 2 2 2 2 1 9 1 9 4 4 4 2 3 3 R R R R x Rx  x  − − + +  = − −      ữ   ữ         ≤ 2 2 3 3 1 9 . 4 4 3 R R = Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2 R ⇔ BC = R 3⇔ Sđ BCằ = 120o ⇔ àA= 60o ⇔ ∆ABC đều Vớ dụ 25:

Bài toỏn 1: Cho đờng trũn (O, R), dõy cung BC và A là điểm chuyển động

trờn cung lớn (cung nhỏ) BC. Hóy xỏc định vị trớ của điểm A để diện tớch tam giỏc ABC lớn nhất?

Lời giải (Hỡnh 32) Gọi A’ là điểm chớnh giữa của cung lớn (cung nhỏ) BC. Vẽ xy là tiếp tuyến của đờng trũn (O, R) tại A’ suy ra mọi điểm A thuộc cung lớn

(cung nhỏ) BC đều nằm giữa hai đờng thẳng song song xy và BC.

(Đối với cung nhỏ BC thỡ đờng thẳng xy là tiếp tuyến tại điểm chớnh giữa cung nhỏ BC) A ≠ A’ thỡ khoảng cỏch từ A đến BC nhỏ hơn khoảng cỏch từ A’

đến BC. Do đú S∆ABC < S∆A BC' . Nờn diện tớch tam giỏc ABC đạt giỏ trị lớn nhất ⇔ A ≡ A’.

Nhận xột: Khi điểm A di động trờn toàn bộ đờng trũn thỡ ãBAC= α cú giỏ trị khụng đổi. Do đú bài toỏn 1 ta cú thể phỏt biểu đợc dới một dạng khỏc nh sau:

Bài toỏn 2: Trong tất cả cỏc tam giỏc ABC cú độ dài cạnh BC và gúc A

khụng đổi. Hóy tỡm tam giỏc cú diện tớnh lớn nhất ?

Nhận xột: Nếu ta gọi D, E là hai điểm cố định (D ∈ BC, E ∈ BC) thỡ DE cũng cố định. Khi điểm A di động trờn cung lớn (cung nhỏ) BC thỡ độ dài đờng cao AH của ∆ ADE cũng thay đổi, dẫn đến diện tớch ∆ ADE cũng thay đổi và diện tớch ∆ ADE lớn nhất ⇔ A ≡ A’, H ≡ H’. Từ đú ta cú bài toỏn mới sau:

Bài toỏn 3: Cho BC là dõy cung cố định của đờng trũn (O, R), D và E là hai

điểm cố định thuộc đờng thẳng BC, A là điểm chuyển động trờn cung lớn (cung nhỏ) BC. Hóy xỏc định vị trớ của A để diện tớch tam giỏc ADE đạt giỏ trị lớn nhất?

Nhận xột: Nếu ta gọi I là tõm đờng trũn nội tiếp ∆ ABC thỡ α = ãBIC= 180o -

1

2(Bà + Cà ) = 180o - 1

2(180o - A) = 900 + à

2

A (khụng đổi). Khi A chuyển động trờn

cung lớn (cung nhỏ) BC thỡ I sẽ chuyển động cung chứa gúc α = 90o + à

2

Adựng

trờn đoạn BC. Gọi điểm I’ là điểm chớnh giữa của cung chứa gúc α, lỳc đú diện tớch ∆ IBC lớn nhất ⇔ I ≡ I’⇔ A ≡ A’. Từ đú ta lại cú toỏn mới sau:

Bài toỏn 4: Cho BC là dõy cung cố định của đờng trũn (O, R), A là điểm

chuyển động trờn cung lớn (cung nhỏ) BC, I là tõm đờng trũn nội tiếp tam giỏc ABC. Hóy xỏc định vị trớ của điểm A để:

a. Diện tớch tam giỏc IBC đạt giỏ trị lớn nhất? b. Chu vi tam giỏc IBC đạt giỏ trị lớn nhất?

Nhận xột: Ta chỳ ý rằng từ kết quả của bài toỏn quỹ tớch là khi A chuyển

động trờn cung lớn BC sao cho tam giỏc ABC nhọn thỡ trực tõm H chuyển động trờn cung chứa gúc β = 180o - àA dựng trờn đoạn BC. Do đú diện tớch ∆ HBC lớn

nhất ⇔ H ≡ H’ ⇔ A ≡ A’. Trong đú H’ là điểm chớnh giữa cung chứa gúcβ. Ta

lại đề xuất đợc bài toỏn khỏc nh sau:

Bài toỏn 5. Cho BC là dõy cung cố định của đờng trũn (O, R) A là điểm

động trờn cung lớn BC sao cho tam giỏc ABC nhọn. Gọi H là trực tõm của tam giỏc ABC. Xỏc định vị trớ của điểm A để diện tớch tam giỏc HBC đạt giỏ trị lớn nhất?

Trong thực tế học tập hiện nay, đa phần HS sau khi tỡm đợc một lời giải cho bài toỏn đó coi nh hoàn thành cụng việc. Làm nh vậy cỏc em đó bỏ qua một giai đoạn quan trọng và bổ ớch cho việc học hỏi, núi chung trỡnh độ nhận thức, khắc sõu phơng phỏp giải cho một lớp cỏc bài toỏn cú dạng tơng tự nh bài toỏn đó cho. Việc phõn tớch lời giải giỳp HS cú cỏi nhỡn toàn diện, trong mối liờn hệ qua lại với cỏc đối tợng khỏc, hệ thống hoỏ và sử dụng đợc cỏc kiến thức, cỏc kỹ năng và phơng phỏp giải toỏn một cỏch chắc chắn, mềm dẻo, linh hoạt.

Khi giải bài toỏn, ngời ta thờng mong muốn cú một lời giải ngắn gọn, độc đỏo. Nhng nếu lời giải dài, phơng phỏp giải tự nhiờn, dễ hiểu, thụng dụng thỡ cũng rất quý. Nhng lời giải hay, phức tạp cú khi lại cú thể ỏp dụng để giải những bài toỏn tơng tự hoặc từ đú phỏt triển đợc một chuỗi bài toỏn với mức độ khú hơn, mang tớnh tổng quỏt, đa ta đến một vấn đề mới đú là điều đỏng đợc quan tõm.

2.3.3.2. Rốn luyện khả năng nhỡn nhận và giải bài toỏn dới nhiều gúc độ khỏc nhau

Con ngời giải quyết những vấn đề nảy sinh trong cuộc sống bằng cỏch vận dụng những kiến thức, kỹ năng đó đợc học, đợc rốn luyện trong nhà trờng. Nhng

hiện nay trờng học lại cha chỳ trọng bồi dỡng cho HS nhiều về kiến thức cơ bản để sau này vận dụng.

Khi giải quyết vấn đề HS phải thực tập và xem xột đỏnh giỏ thụng tin, lựa chọn cỏc phơng thức giải quyết hợp lý, xử lý cỏc dữ liệu một cỏch khỏch quan, chớnh xỏc, từ đú hỡnh thành thỏi độ trong học tập.

Năng lực giải quyết vấn đề bao gồm khả năng trỡnh bày giả thuyết, xỏc định cỏch thức giải quyết và lập kế hoạch giải quyết vấn đề, khảo sỏt cỏc khớa cạnh khỏc nhau. Trong việc dạy cho HS kiến thức về khoa học cơ bản cần coi trọng dạy cho HS năng lực nhỡn nhận vấn đề dới nhiều gúc độ khỏc nhau. Xem kỹ thuật giải quyết vấn đề vừa là cụng cụ nhận thức, nhng đồng thời cũng là mục tiờu của việc dạy học theo định hớng phong trào phỏt triển t duy sỏng tạo, phỏt hiện hớng giải quyết vấn đề thụng qua việc tỡm mối liờn hệ giữa cỏc yếu tố của giả thiết và kết luận, liờn tởng đến cỏc vấn đề đó biết để tỡm ra đờng lối giải quyết vấn đề.

Khi HS đó nhận ra và hiểu rừ vấn đề, GV tổ chức cho HS tiến hành cỏc hoạt động nh: Phõn tớch, tổng hợp, khỏi quỏt hoỏ đặc biệt hoỏ… để tỡm cỏch giải quyết vấn đề.

Vớ dụ 26: Xột bài toỏn.

Cho đờng trũn (O, R) và dõy AB cố định sao cho ãAOB = 120o. Hai tiếp tuyến tại A và B của đờng trũn cắt nhau tại C. Cỏc điểm I, J, K thay đổi lần lợt trờn BC, CA, AB sao cho K khụng trựng với A hoặc B và IKJã = 60o. Tỡm giỏ trị lớn nhất của tớch AJ . BI ?

Để giải bài toỏn này GV cú thể dẫn dắt HS bằng những cõu hỏi định hớng bỏm vào giả thiết của bài toỏn

Chẳng hạn nh:

- Dựa vào cỏc giả thiết đó cho của bài toỏn cú thể xỏc định đợc mối quan hệ giữa hai tam giỏc AKJ và tam giỏc BIK khụng?

- Nếu xỏc định đợc mối quan hệ giữa hai tam giỏc đú ta cú thể xỏc định đợc mối liờn hệ giữa tớch AJ . BI đối với AK và BK nh thế nào?

- Căn cứ vào những đại lợng đó biết trong bài toỏn ta cú thể tớnh đợc AB theo R bằng bao nhiờu?

- Từ mối liờn hệ giữa tớnh AJ . BI đối với AK, BK và AB = AK + KB làm cho ta liờn tởng đến điều gỡ?

Với những cõu hỏi định hớng nh vậy cú thể dẫn dắt HS suy nghĩ, tỡm tũi, giải quyết bài toỏn nh sau:

Cỏch giải 1: (Hỡnh 33) Kẻ OH ⊥ AB (H ∈ AB) Suy ra H là trung điểm của AB. Ta cú: Sđ ằAB = Sđ ãAOB = 120o ã ABC= CABã = 1 2Sđ ằAB= 60o ã

AKI= ãAKJ + ãJKI= ãAKJ+ 60o

ã

AKJ = ãKIB + ãKBI = ãKIB+ 60o, (gúc ngoài tam giỏc bằng tổng 2 gúc trong khụng kề với nú)

Suy ra: ãAKJ = KIBã nờn:

∆ AKJ ~ ∆ BIK (vỡ ãKAJ = IBKã = 60o, ãAKJ= ãAIB)

⇒ AK = AJ BI BK ⇒ AJ . BI = AK . BK AK . NK = AK (AB - AK) = AB . AK - AK2. = − − + ữ   2 2 2 1 1 AB AB AB.AK AK 4 4 = − − ữ ≤   2 2 2 1 1 1 AB AB AK AB 4 2 4

Trong đú AB = 2AH = 2 . R . cos 30o = R 3

Do đú: AJ . BI = AK . BK ≤ 3R2

4

Dấu “=” xảy ra ⇔ AK = 1

2AB ⇔ K ≡ H. Hay K là trung điểm của AB.