Thuật toán tìm bao đóng của một tập thuộc tính

18. THỰC HÀNH HÀM KẾT HỢP VÀ GOM NHÓM

21.6.1.Thuật toán tìm bao đóng của một tập thuộc tính

Cho lƣợc đồ quan hệ  = (U, F), X U X+ :={ A U | XA  F+ }

Vấn đề đặt ra X+

F =X+=?

Thuật toán

Input  = (U,F), XU Output X+ =?

Thuật toán

Ta xác định dãy X(0)

, X(1), X(2),... theo quy nạp nhƣ sau 1. Đặt X(0)

=X

2. Giả sử rằng đã xây dựng đƣợc đến bƣớc thứ i tức là đã biết X(i) ( i0) 3. Xây dựng tiếp bƣớc i+1 nhƣ sau

X(i+1)= X(i)  Z(i) trong đó Z(i) =  Rj với điều kiện :

Vì vậy Z(i)

chính là hợp của các vế phải của các phụ thuộc hàm trong tập F mà có vế trái là tập con của tập trƣớc và có vế phải chƣa đƣợc thêm vào.

Điều kiện (3) chỉ có tác dụng tăng tốc độ tính toán. Nhận xét: X(0)

, X(1), X(2),... là một dãy đơn điệu không giảm và bị chặn trên bởi U, do đó tồn tại chỉ số i nào đó để X(i)

= X(i+1) (*), gọi i là chỉ số nhỏ nhất để X(i)= X(i+1) khi đó X+

= X(i)

Thuật toán tìm bao đóng của tập thuộc tính dƣới dạng giả mã Pascal 1

Input:  = (U, F), XU Output: X+ =?

Method:

1. X+:= {Ban đầu ta khởi gán X+ là tập rỗng} 2. Repeat

Xold :=X+; {Xold là một biến tạm dùng để đánh dấu} For each f in F Do

Begin

L: = Left (f); {Left - Hàm lấy về vế trái của phụ thuộc hàm f} R: = Right (f); {Right- Hàm lấy về vế phải của phụ thuộc hàm f} If (LX+) and (LX+) Then X+:= X+  R; End; Until (X+=Xold); Lj Rj F (1) LjX(i) (2) Rj  X(i) (3)

3. Return X+

Ví dụ 1: Cho lƣợc đồ quan hệ  = (U,F) với U = ABCDEGH

F= {BC ADE, AC BDG, BE ABC, CD BDH, BCH ACG} Hãy tính X+ trong các trƣờng hợp a) X=BD b) X=ABE c) X=CDG Giải a) đặt X(0)=BD (=X) X(1) = X(0)  Z(0) =BD  =BD Suy ra X(0)= X(1) vậy X+=X=BD b) Đặt X(0)=ABE (=X) X(1) = X(0)  Z(0) =ABE ABC=ABCE

X(2) = X(1)  Z(1) =ABCE  (ADE  BDG)=ABCDEG X(3) = X(2)  Z(2) = ABCDEG  BDH=ABCDEGH=U Vậy X+ =U c) Đặt X(0)=CDG (=X) X(1) = X(0)  Z(0) =CDG  GBH=BCDGH X(2) = X(1)  Z(1) = BCDGH  ADE= ABCDEGH=U Vậy X+ =U

Nhận xét: Từ thuật toán tìm bao đóng của tập thuộc tính và tính chất XYF+ khi và chỉ khi YX+, cho ta một thuật toán đơn giản để kiểm tra xem một phụ thuộc hàm có suy dẫn được từ tập F các phụ thuộc hàm theo hệ tiên đề hay không theo thuật toán sau:

- f: XY - Tính X+ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

- Nếu YX thì f suy dẫn đƣợc từ F

- Nếu Y X thì f không suy dẫn đƣợc từ F

Định lý: Thuật toán tìm bao đóng là đúng đắn

Chứng minh:

Giả sử i là một số nào đó sao cho X(i) = X(i+1) ta cần chứng minh rằng X+= X(i) (*), để chứng minh hai tập này bằng nhau ta sẽ chứng minh

Chứng minh (1)

Tổng quát  k ( k  N+) X(k)  X+, ta sẽ chứng minh bằng phƣơng pháp quy nạp Khi k=0 thì lúc đó X(k)

= X(0)=X X+

nên đúng

X(i) X+ (1) X+ X(i) (2)

Giả sử đã đúng đến bớc k ( k>0) mà X(k)  X+, ta cần chứng minh X(k+1)  X+ Theo thuật toán thì X(k+1) =X(k)  Z(k)

Với Z(k) = Yj (I) Nhận xét do X(k)  X+ , nên ta chỉ cần chứng minh Z(k)  X+ là đủ. Từ (I) ta có : Xj Yj X(k) Xjvì Xj  X(k) (phản xạ)

X+ X(k) vì X(k)  X+ (theo giả thiết quy nạp) XX+ ( tính chất của bao đóng)

Suy ra XYJ  YJ  X+ suy ra Z(k)  X+ suy ra (1) đƣợc chứng minh Chứng minh (2)

Ta cần chứng minh X+  X(i) nếu giả thiết X(i+1) = X(i) Lấy AX+ ta cần chứng minh A X(i)

Thật vậy do AX+

nên XA  F+ (1) do X X(i)

nên theo tính chất phản xạ ta có X(i) X (2) Từ (1) và (2) theo tính chất bắc cầu suy ra X(i)  A (3)

Từ (3) suy ra A  X(i+1) theo giả thiết thì X(i+1)= X(i) nên A X(i) Vậy lấy AX+ thì A X(i) vậy X+  X(i)

Ví dụ 2:

Cho tập thuộc tính U=ABCDEGH

Cho tập phụ thuộc hàm F={ABCD, ACEBG, BCD AE, CH DG} f=BCDH AG, hỏi rằng F├ f hay không, hay f  F+?

Giải:

Cách 1: dùng các luật của hệ tiên đề chứng minh

BCDH BCD (1) (tính chất phản xạ) BCDAE (gt) (2)

BCDACE (gia tăng) (3) ACE A (phản xạ) (4)

Suy ra BCDH A theo tính chất bắc cầu (5) ACE BG (6) giả thiết

BGG (7) phản xạ

Suy ra ACE G (8) bắc cầu Suy ra BCDH G (9) bắc cầu

Từ (5) và (9) theo luật cộng tính (luật ghép) Suy ra BCDH AG  F+ (đpcm) Cách 2: dùng tính chất số 6 của bao đóng: Xj Yj F (1) XjX(i) (2) YJ  X(i) (3) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Tính (BCDH)+ = U chứa AG, suy ra điều phải chứng minh Nhắc lại:

- F╞ f (suy dẫn theo quan hệ) khi và chỉ khi  R, nếu R(F) thì R(f)

- F├ f (suy dẫn theo hệ tiên đề) khi và chỉ khi f nhận đƣợc từ F sau một số hữu hạn lần áp dụng hệ tiên đề Amstrong.