Bao đóng của tập thuộc tính (closures of attribute sets)

18. THỰC HÀNH HÀM KẾT HỢP VÀ GOM NHÓM

21.6. Bao đóng của tập thuộc tính (closures of attribute sets)

Cho F là tập các phụ thuộc hàm trên tập thuộc tính U, XU, bao đóng của tập thuộc tính X đối với tập phụ thuộc hàm F, kí hiệu là X+ (hoặcXF) nó đƣợc đinh nghĩa nhƣ sau:

X+= { A | AU và XAF+ }

Nhận xét với một tập F cho trƣớc ta luôn có: -X+U

- X, Y U, YX, thì XY F+

- fF thì fF+, suy ra FF+ , tơng tự  fF thì fF*, suy ra FF* - X, Y, Z U, nếu XYF+

và YZF+

thì XZF+ -XU, AX+

khi và chỉ khi XAF+

Một số tính chất của bao đóng của tập thuộc tính 1. Phản xạ XU thì XX+

2. Tính đơn điệu X, YU, nếu XY thì X+Y+ 3. X+XF+ và XX+F+

4. Tính luỹ đẳng ((X)+

)+= X+ 5. (X+Y)+= (XY+)+=(XY)+

6. XYF+ khi và chỉ khi YX+ hay XY suy dẫn đƣợc từ F khi và chỉ khi Y X+

Chứng minh

Để chứng minh các tính chất trên trƣớc tiên ta chứng minh một mênh đề sau:

Mệnh đề: Với  X, Y, Z  U thì X YZ  F+

khi và chỉ khi

Việc chứng minh mệnh đề này đƣợc dựa vào hệ tiên đề Amstrong

a) Ta chứng minh chiều thuận “”, giả thiết XYZ  F+ (1), ta cần chứng minh

YZZ  F+

(4) do luật phản xạ

Từ (1) và (4) theo tính chất bắc cầu có XZ  F+ Hoàn toàn tƣơng tự YZY F+

(5) ( theo tính chất phản xạ) từ (1) và (5) theo tính chất bắc cầu thì XY F+

b) Ta chứng minh chiều ngƣợc “”, giả thiết nếu có

Ta sẽ chứng minh XYZ  F+

Từ (2) suy ra XZYZ (4) ( theo tính chất gia tăng ) Từ (3) suy ra XXZ (5) ( theo tính chất gia tăng ) Từ (4) và (5) và từ tính chất bắc cầu suy ra XYZ

Chứng minh 1)

Với  A  X suy ra {A}X, suy ra XA  X+ suy ra X X+

Chứng minh 2)

Với  A  X+ cần chỉ ra A  Y+ nếu X Y do A  X+

suy ra XA  F+ (1) do X Y nên Y X  F+

(2)

từ (1) và (2) và tính chất bắc cầu suy ra YA  F+ (3), từ (3) suy ra A  Y+

Chứng minh 3)

Theo tính chất (1) ta có X  X+ nên suy ra X+ X  F+ Giả sử X+

= { A1, A2, … An}

Ta cần chứng minh XX+  F+ thật vậy Do Ai  X+ ,  i=1..n Nên

X A1 F+ ( theo định nghĩa về bao đóng ) X A2 F+ ( theo định nghĩa về bao đóng ) ...

X An  F+

( theo định nghĩa về bao đóng )

XY  F+ XZ  F+ XY  F+ (2) XZ  F+ (3) XY  F+ (2) XZ  F+ (3)

Suy ra X A1A2… An  F+ ( theo luật hợp ) Nhƣng do X+= A1A2… An nên suy ra XX+  F+ Chứng minh 4) Để chứng minh (X+ )+ = X+ ta chứng minh (X+ )+  X+ và (X+ )+  X+ Theo tính chất 1 ta có (X+ )+  X+ Ta cần chứng minh (X+ )+  X+

A  X++ khi và chỉ khi X+  A  F+ (*), mặt khác theo tính chất 3 ta có XX+  F+ (**), từ (*) và (**) suy ra XA  F+ ( theo tính chất bắc cầu) Suy ra A  X+ , suy ra X++ X+ Từ X++ X+ và X+ X++ suy ra X++ =X+ Chứng minh 5)

Chứng minh chiều thuận: do X+  X, suy ra X+ Y XY, suy ra (X+ Y)+ (XY)+ ( do tính chất đơn điệu)

Chứng minh chiều ngƣợc

Do X  XY nên X+  (XY)+ suy ra X+Y  (XY)+ Y =(XY)+ Suy ra (X+Y)+  (XY)++= (XY)+

Từ chiều thuận và chiều ngƣợc suy ra (X+

Y)+ = (XY)+ Hoàn toàn tƣơng tự cho các đẳng thức khác

Chứng minh 6) a) Giả sử có Y X+ ta cần chứng minh XY  F+ X+ Y  F+ ( luật pản xạ) X X+ (tính chất 3) X Y  F+ b) Nếu có XY  F+ ta cần chứng minh Y  X+ Ta viết Y= B1, B2 ,.., Bn , suy ra Y Bi ( i=1..n)

Mặt khác XY nên theo tính chất bắc cầu suy ra X Bi ( i=1..n), suy ra Bi  X+, suy ra Y  X+

Chứng minh 7) Để chứng minh tính chất này ta phải chứng minh cả hai chiều: - Chứng minh chiều thuận “”

Nếu X+=Y+ ta cần chứng minh XY  F+ và YXF+ thật vậy: X+=Y+ khi và chỉ khi X+Y+ và X+Y+

Do X X+ mà X+Y+ nên X Y+ nên suy ra Y+X mà YY+ nên theo tính chất bắc cầu thì YX

Hoàn toàn tƣơng tự cũng có XY - Chứng minh chiều ngƣợc “”

Từ XY và YX ta cần chứng minh X+

= Y+ thật vậy XY suy ra Y X+ suy ra Y+ X++ =X+ hay Y+ X+ (1) Hoàn toàn tƣơng tự từ YX suy ra X+  Y+

(2) Từ (1) và (2) suy ra Y+= X+