BÀI 4: PHỔ TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU BIẾN ĐỔI FOURIER THỜI GIAN RỜI RẠC
III.THỰC HÀNH: 3.1.Tính tốn DTFT
3.1.Tính tốn DTFT
Mục đích của phần này là tính tốn và hiển thị DTFT (e j )
X −ω của dãy x[n]. Nĩi chung, DTFT X(e−jω) cĩ dạng: 2 0 1 2 2 0 1 2 ... (e ) ... j j jM j M j j jN N b b e b e b e X a a e a e a e ω ω ω ω ω ω ω − − − − − − − + + + + = + + + +
Đối với dãy nhân quả thì M≤N
Trong MATLAB, DTFT X(e−jω) của dãy x[n] được tính một cách dễ dàng trong một khoảng gồm L điểm tần số rời rạc cho trước ω ω= k bằng
cách sử dụng hàm freqz. Vì X(e−jω) là hàm liên tục của ω, nên cần lấy L đủ lớn để khi vẽ dùng lệnh plot sẽ cho một phiên bản hợp lý của DTFT.
Trong MATLAB,freqz tính DTFT L điểm của dãy { b0b1…bM} và {a0a1…aN} và sau đĩ lập tỷ số để tạo nên X(e−jωk), k= 1,2,…..L. Để tính nhanh hơn L được chọn lũy thừa của 2 chẳng hạn như 256 hoặc 512.
Chương trình sau sẽ dùng để tính DTFT X(e−jω) của dãy x[n] dạng: 2 (e ) 1 0.6 j j j e X e ω ω ω − − + = + % chương trình % tính DTFT % tính các mẫu tần số của DTFT w=-4*pi:8*pi/511:4*pi; num=[2 1]; den=[1 -0.6]; h=freqz(num,den,w); figure subplot(2,1,1) plot(w/pi,real(h)); grid;
xlabel('omega/pi'); ylabel('Bien do'); subplot(2,1,2) plot(w/pi,imag(h)); grid;
title('Phan ao bien doi cua DTFT cua x[n]'); xlabel('omega/pi'); ylabel('Bien do'); figure; subplot(2,1,1) plot(w/pi,abs(h)); grid;
title('Pho bien do cua tin hieu x[n]'); xlabel('omega/pi');
ylabel('Bien do'); subplot(2,1,2) plot(w/pi,angle(h)); grid;
title('Pho pha cua tin hieu x[n]'); xlabel('omega/pi');
ylabel('Pha bien do bang radians') kết quả:
Nhận xét: Biến đổi Fourier thời gian rời rạc(DTFT) đã chuyển việc biểu
diễn tín hiệu x[n] trong miền biến số độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu (e )j
X ω trong miền tần số w. Bởi vì (e )j
X ω là một hàm phức với biến số w nên trong chương trình trên ta sử dụng các hàm để xác định phần thực và phần ảo của X(e )jω là: hàm real(h) xác định phần thực của X(e )jω và hàm imag(h) xác định phần ảo của X(e )jω . Hàm abs(h) là hàm lấy các giá trị tuyệt đối để xác định phổ biên độ của tín hiệu. Hàm angle(h) là hàm xác định phổ pha của tín hiệu. Nhìn vào đồ thị ta thấy X(e )jω là một hàm tuần hồn với chu kì là 2π. Do đĩ phổ pha của nĩ cũng tuần hồn với chu kì là 2
π.
3.2.Tính chất của DTFT:
Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) của các dãy thỏa mãn các tính chât sau:
3.2.1.Tính chất dịch chuyển thời gian
Nếu H(e )jω là DTFT của h[n] thì DTFT của dãy bị dịch chuyển về thời gian h[n-n0] sẽ là e−j nω 0H(e )jω .
Chương trình dùng để khảo sát tính chất này như sau: %Chương trình
%khảo sát tính dịch chuyển thời gian của DTFT: w=-pi:2*pi/pi/255:pi; w0=0.4*pi; D=10; x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]; h1=freqz(x,1,w); h2=freqz([zeros(1,D) x],1,w); subplot(2,2,1) plot(w/pi,abs(h1)) grid;
title('pho bien do cua day goc') subplot(2,2,2)
plot(w/pi,abs(h2)) grid;
subplot(2,2,3)
plot(w/pi,angle(h1)) grid;
title(' pho pha cua day goc') subplot(2,2,4)
plot(w/pi,angle(h2)) grid;
title('pho pha cua day bi dich') kết quả:
Nhận xét: Trên chương trình trên hàm để xác định được tính chất dịch
chuyển về thời gian của DTFT là h2=freqz([zeros(1,D) x],1,w) . Nhìn trên đồ thị ta thấy phổ biên độ của dãy gốc và dãy bị dịch khơng thay đổi chỉ cĩ phần phổ pha của dãy gốc và dãy bị dịch thay đổi. Điều đĩ chứng tỏ được tính chất dịch chuyển về thời gian của DTFT và thơng số đặc trưng cho tính chất dịch chuyển thời gian của DTFT trong chương trình trên là D. Tùy theo ta chọn giá trị của D mà sự dịch chuyển thời gian của DTFT sẽ khác nhau.
3.2.2.Tính chất dịch về tần số
Nếu H(e )jω là DTFT của h[n] thì DTFT của dãy ej nω0 H n[ ] sẽ là H(ej(ω ω− 0)) Chương trình sau mơ tả tính chất này
%Tính chất dịch chuyển tần số w=-pi:2*pi/255:pi; wo=0.4*pi; x1=[1 3 5 7 9 11 13 15 17]; L=length(x1); h1=freqz(x1,1,w); n=0:L-1; x2=exp(wo*i*n).*x1;
h2=freqz(x2,1,w); subplot(2,2,1) plot(w/pi,abs(h1)) grid;
title('pho bien do cua day goc') subplot(2,2,2)
plot(w/pi,abs(h2)) grid;
title('pho bien do cua day bi dich tan so') subplot(2,2,3)
plot(w/pi,angle(h1)) grid;
title('pho pha cua day goc') subplot(2,2,4)
plot(w/pi,angle(h2)) grid;
title('pho pha cua day bi dich tan so') kết quả:
Nhận xét: Nhìn vào đồ thị ta thấy phổ biên độ của DTFT thay đổi. Điều đĩ
chứng tỏ được tính chất dịch chuyển tần số của DTFT và thơng số đặc trưng cho sự dịch chuyển về tần số là w0. Tùy theo ta chọn giá trị của w0 mà sự dich chuyển về tần số của DTFT sẽ thay đổi.
2.2.3.Tính chất điều chế: Nếu (e )j
H ω và (e )j
G ω là DTFT của các dãy h[n] và g[n] thì DTFT của tích hai dãy đĩ h[n].g[n] sẽ là 1 ( ) ( ) 2 j j X e G e d π α ω α π α π − −∫
% Tính chất điều chế của DTFT w=-pi:2*pi/255:pi; x1=[1 3 5 7 9 11 13 15 17 ]; x2=[1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1]; y=x1.*x2; h1=freqz(x1,1,w); h2=freqz(x2,1,w); h3=freqz(y,1,w); subplot(3,1,1) plot(w/pi,abs(h1)); grid;
title('pho bien do cua day x1'); subplot(3,1,2)
plot(w/pi,abs(h2)); grid;
title('pho bien do cua day x2') subplot(3,1,3)
plot(w/pi,abs(h3)); grid;
title('bien do cua day tich') xlabel('omega/pi')
kết quả:
Nhận xét:Tính chất điều chế của DTFT là khi x1[n].x2[n] sẽ là 1 1( ) 2( ) 2 j j X e X e d π θ ω θ π θ π − −∫ .
Nhìn vào đồ thị ta thấy khi ta nhân hai tín hiệu của hai dãy x1 và x2 thì dãy tín hiệu tích của hai tín hiệu là y. Như vậy, việc điều chế một chuỗi x[n] bởi mọt tín hiệu sin cĩ tần số w sẽ dịch chuyển phổ của x[n] lên và xuống theo tần số w.
3.2.4.Tính chất ngược thời gian:
Nếu H(e )jω là DTFT của h[n] thì DTFT của h[-n] sẽ là H(e−jω) Chương trình sau dùng để mơ tả tính chất này
%tính chất ngược thời gian w=-pi:2*pi/255:pi; x=[1 2 3 4]; L=length(x)-1; h1=freqz(x,1,w); h2=freqz(x,1,w); h2=freqz(fliplr(x),1,w); h3=exp(w*L*i).*h2; subplot(2,2,1) plot(w/pi,abs(h1)); grid;
title('pho bien do day goc') subplot(2,2,2)
plot(w/pi,abs(h3)); grid;
title('pho bien do cua day nguoc time') subplot(2,2,3)
plot(w/pi,angle(h1)); grid;
title('pho pha cua day goc') xlabel('omega/pi')
subplot(2,2,4)
plot(w/pi,angle(h3)); grid;
title('pho pha cua day nguoc time') xlabel('omega/pi')
Nhận xét: Nhìn vào đồ thị ta thấy phổ biên độ của dãy gốc và dãy ngược
thời gian khơng thay đổi trong khi đĩ phổ pha của dãy gốc và dãy ngược thời gian khác nhau và ta thấy chúng ngược pha nhau. Điều đĩ chứng tỏ được tính chất ngược thời gian của DTFT. Lệnh cho phép chương trình trên cĩ phổ pha ngược pha nhau là h3=exp(w*L*i).*h2 . Ta cĩ h2=freqz(fliplr(x),1,w), h2 là hàm nghịch đảo của hàm h1 nhờ vào hàm fliplr.