Thường rất bất tiện khi dùng bổ đề Barbalat để thiết kế điều khiển. Hệ quả dưới đây của Barbalat tiện lợi hơn nhiều bởi vì nó cho phép chúng ta sử dụng các bước thiết kế tương tự với các bước của phương pháp trực tiếp Lyalunov. Hệ quả này đủ để giải quyết cho hầu hết các bài toán bằng bổ đề Barbalat.
• Hệ quả 2.1: ( Giống như Lyapunov) : Nếu một hàm thực V(t) (t>0) thỏa các điều kiện sau:
o Nếu chọn V(t) ≥ 0
o Kiểm tra và nhận thấy V t&( )≤ 0 với mọi (t)và V t&( ) là liên tục thuần nhất thì V t&( ) → 0 khi t → ∞
Có thể chứng minh dễ dàng hệ quả này bằng cách xem V t&( ) như hàm f(t) trong phát biểu bổ đề Barbalat và lưu ý rằng tính giảm đơn điệu của hàm bao bên dưới V(t) có nghĩa là V(t) hội tụ đến một giới hạn nhỏ hơn V(0). Bởi vì Tính hội tụ của V(t) có nghĩa là tích phân tiến tới một giới hạn xác định.
0 ( ) t V r dr ∫ & = V(t) – V(0) (1.21) Về ý nghĩa hình học, hệ quả này có ý nghĩa rất đơn giản như hình 2.3: Độ dốc của đường bao bên dưới và giảm đơn điệu phải hội tụ về không nếu độ dốc phẳng.
Hình 2.4 Hàm phẳng giảm và không âm.
Điều kiện dường như không cần thiết của liên tục thuần nhất nhưng lại là cần thiết để rút ra kết luận hội tụ, như phản ánh trong hình 2.4. Hàm V trong hình 2.5a là không âm và đạo hàm của nó như trong hình 2.5b lại là không dương, nhưng đường dốc V& không hội tụ về không. Điều này xảy ra bởi vì V& là không liên tục thuần nhất, chẳng hạn như không trơn phẳng.
Hình 2.5 Một hàm với đạo hàm là không liên tục thuần nhất.
• Hệ quả 2.2:(Trong một số trường hợp, hệ quả dưới đây của bổ đề Barbalat
cũng rất có ích) Hệ quả : Nếu hàm thực f(t) : 2 0 ( ) f r dr ∞
∫ < ∞; và f2 là liên tục thuần nhất, thì f(t) → 0 khi t →∞ Hệ quả này có thể được chứng minh bằng cách xem f2 như hàm f trong bổ đề Barbalat.
Chương 3