2 Phát triển năng lực chứng minh hình học giải tích cho học sinh
2.2 So sánh kiến thức về đường tròn (mặt phẳng) và mặt cầu (không gian)
- phương trình chính tắc đường tròn tâm I(a;b), bán kính R (x−a)2+ (y−b)2 =R2 - phương trình chính tắc mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kínhr (x−a)2 + (y−b)2 + (z−c)2 =r2 - phương trình tổng quát x2+y2−2ax−2by+c= 0 với a2+b2−c >0 Đường tròn tâm I(a;b), bán kính R=√ a2+b2−c - phương trình tổng quát x2+y2−2ax−2by−2cz+d= 0 với a2+b2 +c2−d >0 Mặt cầu tâmI(−A;−B;−C), bán kínhr =√ a2 +b2+c2−d - tiếp tuyến đường thẳng ∆ :Ax+By+C = 0
tiếp xúc với đường tròn (I, R) khi
d(I,∆) =R ⇔ |Aa√+Bb+C|
A2+B2 =R
- tiếp tuyến
mặt phẳngα :Ax+By+Cz+D= 0
tiếp xúc với mặt cầu (I, r) khi
d(I, α) =r ⇔ |Aa√+Bb+Cc+D|
A2+B2+C2 =r
Ví dụ 2.12. Hệ thống kiến thức “Khoảng cách” trong hình học giải tích trong không gian chương trình phổ thông.
– Khoảng cách giữa hai điểmA vàB với A(a1;a2;a3) và B(b1;b2;b3)là
AB =|−→AB|=p(b1−a1)2+ (b2−a2)2+ (b3−a3)2
– Khoảng cách giữaM(x0;y0;z0)và mặt phẳng (α) :Ax+By+Cz=D= 0 là
d(M, α) = |Ax0+By0+Cz0+D| √
A2+B2+C2 ·
– Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng∆
* Viết phương trình mặt phẳng (α) chứaM và vuông góc với ∆. * Tìm giao điểmH của ∆ với (α).
* Khoảng cách từ M đến ∆chính là khoảng cách giữa M và H (hình 1.8).
d(M,∆) =M H
– Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ∆và ∆0
* Lấy M(x0;y0;z0)∈∆.
* Khoảng cách giữa∆ và ∆0 chính là khoảng cách giữa M và ∆0.
d(∆,∆0) = d(M,∆0)
* Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆và song song với ∆0. * Lấy một điểm M00(x00;y00;z00) tùy ý trên ∆0.
* Khoảng cách giữa∆ và ∆0 chính là khoảng cách từ điểm M00 đến (α), hình 1.10.
d(∆,∆0) =d(M00, α)
– Khoảng cách giữa đường thẳng ∆và mặt phẳng (α) song song ∆
* Lấy một điểm M0(x0;y0;z0) tùy ý trên ∆.
* Khoảng cách giữa∆ và (α) chính là khoảng cách từ điểmM0 đến (α), hình 1.9. Hoặc cho học sinh ghi nhớ: khoảng cách giữa một đường thẳng và mặt phẳng song song với nó là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường phẳng đó tới mặt phẳng.
Hay ∆k(α) M0(x0;y0;z0)∈∆ d(∆, α) = d(M0, α).
– Khoảng cách giữa hai mặt phẳng(α) và (β)song song với nhau * Lấy một điểm M0(x0;y0;z0) tùy ý trên (α).
* Khoảng cách giữa(β) và (α)chính là khoảng cách từ điểm M0 đến (β).
Hoặc cho học sinh ghi nhớ: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nhau là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.
Hay (α)k(β) M0(x0;y0;z0)∈(α) d(α, β) =d(M0, β).
2.2.2 Các biện pháp phát triển năng lực chứng minh hình học giải tích cho học sinh thông qua việc tổ chức quá trình dạy học
Biện pháp 1. Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua khai thác các phương pháp dạy học tích cực
Linh động tận dụng ưu thế của từng phương pháp dạy học và kết hợp các phương pháp dạy học trong cùng một nội dung dạy học, trong đó chú trọng sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập toán hình học giải tích giúp cho học sinh lĩnh hội tốt tri thức, rèn luyện được kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác.
Ví dụ 2.13. Cho (E) : x 2 9 +
y2
4 = 1 và điểm M(x1;y1), với x1, y1 cho trước. Hãy viết
phương trình tiếp tuyến với(E) từ M. [21]
Hình 2.5:
– Đây là tình huống gợi vấn đề: (E) : x 2 9 +
y2
4 = 1 và M(x1;y1) cho trước thì M có
thể có ở 1 trong 3 vị trí như trong hình 2.5.
* Nếu M nằm ngoài (E) thì ta dự đoán vẽ được 2 tiếp tuyến với elip (E). * Nếu M nằm trên (E)thì ta dự đoán chỉ vẽ được 1 tiếp tuyến.
* Nếu M nằm trong (E) thì ta dự đoán không vẽ được tiếp tuyến. – Vậy khi nào xác định được M nằm ngoài, nằm trong hay thuộc (E)? * Ta có nếu x 2 9 + y2 4 >1thì M(x1;y1) nằm ngoài(E). * Nếu x 2 9 + y2 4 = 1 thì M ∈(E). * Nếu x 2 9 + y2 4 <1thì M(x1;y1) nằm trong (E).
– Giả sửM(x1;y1)nằm ngoài (E). Tìm phương trình tiếp tuyến với (E). Gọi N(x0;y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (E).
Ta có N(x0;y0)∈(E) nên x 2 0 9 + y20 4 = 1 (1)
Và tiếp tuyến tạiN đi qua điểm M nên x1x0
9 +
y1y0
4 = 1 (2)
Giải hệ từ hai phương trình (1) và (2), ta được hai bộ số (x0;y0), từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: x1x0
9 +
y1y0
4 = 1.
– Giả sửM(x1;y1)∈(E) thì phương trình tiếp tuyến là x1x
9 +
y1y
Chỉ có 1 tiếp tuyến.
– Giả sửM(x1;y1)nằm trong(E)theo dự đoán thì không vẽ được tiếp tuyến nào đến
(E). Ta chứng minh bằng toán học như sau:
Giả sử quaM(x1;y1)nằm bên trong (E)và ta vẽ được tiếp tuyến với (E)thì Gọi N(x0;y0) là tiếp điểm, ta có x
2 0 9 +
y02
4 = 1 (3)
Và do tiếp tuyến qua M(x1;y1) nên x1x0
9 +
y1y0
4 = 1 (4)
Giải hệ từ hai phương trình (3) và (4) ta có hệ vô nghiệm, nên điều giả sử là sai. Suy ra từM nằm trong (E)thì không vẽ được tiếp tuyến nào với elip (E).
Ngoài cách giải tách đối số, về việc tìm phương trình tiếp tuyến của (E), còn có hai cách giải nữa.
* Cách 2: Đường thẳng(∆) quaM(x1;y1) nên (∆) :y−y1 =k(x−x1)
Khi đó(∆) là tiếp tuyến của (E) khi hệ
x2 9 + y2 4 = 1 y=k(x−x1) +y1 có nghiệm kép.
Giải hệ trên ta tìm được k. * Cách 3: Sử dụng công thức: (E) : x 2 a2 +y 2 b2 = 1 tiếp xúc (∆) :Ax+By+C = 0⇔a2A2+b2B2 =C2. Và điều kiện M ∈(∆) làAx1+By1+C= 0.
Giải hệ phương trình vừa tìm được để tìm giá trịA, B, C. Ta có (∆) :Ax+By+C = 0 qua M(x1;y1) tiếp xúc với (E) : x
2 9 + y2 4 = 1 ⇔ Ax1 +By1+C = 0 9A2+ 4B2 =C2
Giải hệ này ta đượcA, B, C.
Biện pháp 2. Sử dụng hệ thống câu hỏi gợi mở vấn đề cần suy nghĩ nhằm phát triển khả năng liên tưởng và huy động kiến thức của học sinh trong giải toán chứng minh
Ý nghĩa của việc thực hiện biện pháp
Sử dụng hệ thống câu hỏi gợi mở, giáo viên dễ dàng hướng dẫn giúp cho học sinh tiếp cận vấn đề chứng minh, học sinh hiểu được tại sao phải xuất phát từ điều này hay tại
sao phải vẽ thêm đường kia, góp phần tăng thêm tính tích cực cho học sinh. Qua đó phát triển năng lực liên tưởng, huy động và vận dụng kiến thức đã có của học sinh trong hoạt động giải toán.
– Biện pháp này thường áp dụng để tìm tòi hướng chứng minh. Một số lưu ý
– Đối với từng loại học sinh, câu hỏi phải vừa sức, không nên khó quá hoặc dễ quá; câu hỏi khó quá làm cho học sinh chán, thiếu tự tin, mất nhiều thời gian suy nghĩ vô ích, nếu dễ quá làm cho học sinh coi thường, không chịu cố gắng suy nghĩ, không hứng thú suy nghĩ.
– Câu hỏi phải có nội dung chính xác, thích hợp với mục đích, yêu cầu, nội dung của quá trình suy luận. Câu hỏi phải rõ ràng, không mập mờ, khó hiểu hoặc có thể hiểu theo nhiều cách.
– Không nên đưa ra câu hỏi mà học sinh chỉ có thể trả lời: có hay không, đúng hay sai, ví dụ như: “Hai vectơ này có bằng nhau không?”. Những câu hỏi như vậy không có tác dụng kích thích sự suy nghĩ, tìm tòi của học sinh, [14].
Ví dụ 2.14. Viết phương trình đường tròn(C)đường kínhABvớiA(1; 2)vàB(3;−4). – Giáo viên “Dạng chính tắc của phương trình đường tròn là gì?”
Học sinh “(x−a)2+ (y−b)2 =R2”
– Giáo viên “Muốn lập phương trình đường tròn ta cần biết các yếu tố nào?” Học sinh “Tọa độ tâm I(a;b) và bán kính R”
– Giáo viên “Tâm của đường tròn là gì của đường kính AB?” Học sinh “Trung điểm của đường kínhAB”
– Giáo viên “Tọa độI được tính như thế nào?”
Học sinh “Tọa độ của I là trung bình cộng tọa độ của A và B I 1 + 3 2 ; 2−4 2 →I(2;−1)” – Giáo viên “Liên hệ giữa đường kínhAB và bán kínhRcủa đường tròn như thế nào?”
Học sinh “R = 1 2AB”
– Giáo viên “Công thức tính độ dài AB như thế nào?” Học sinh “AB =p(3−1)2+ (−4−2)2 =√
40 = 2√
10
suy ra R =√
Tức là, bằng sơ đồ như ở hình 2.6, giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi thích hợp. Sau đó bằng phép tổng hợp, giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lời giải hoàn chỉnh.
Hình 2.6:
Biện pháp 3. Tăng cường các hoạt động suy luận có lý giúp học sinh phát hiện và định hướng giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học giải toán
Ý nghĩa của việc thực hiện biện pháp
Trong dạy học toán học, vấn đề phát triển năng lực tư duy, trong đó tăng cường khả năng suy luận và diễn đạt suy luận là một nhiệm vụ chủ yếu trong dạy học. Do đó quá trình dạy học sẽ đạt kết quả tốt hơn nếu giáo viên chú ý đến việc rèn luyện tư duy, bồi dưỡng phương pháp suy luận cho học sinh, từng bước hình thành và phát triển một số kỹ năng trí tuệ và thao tác tư duy quan trọng như phân tích, tổng hợp, suy luận có lý,. . . dẫn đến cho học sinh biết chứng minh và bác bỏ các trường hợp dễ.
Một số lưu ý
Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận và chứng minh theo các hướng sau đây:
– Tăng cường các hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý. – Hướng dẫn học sinh suy luận theo quy tắc suy diễn và quy nạp.
– Tích cực rèn luyện cho học sinh suy luận theo phương pháp đi lên và phương pháp tổng hợp.
Biện pháp 4. Khai thác các hoạt động nhóm giúp cho học sinh phân tích lời giải các bài toán hình học giải tích để phát hiện và sửa chữa các sai lầm trong các lập luận giải toán
Ý nghĩa của việc thực hiện biện pháp
Tổ chức các hoạt động nhóm là một cách dạy học trong đó giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động hợp tác với nhau trong các nhóm để giải quyết vấn đề đặt ra, nhằm đạt được mục tiêu dạy học.
Hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực của người lao động hiện đại, trong đó lao động hợp tác theo nhóm và hoạt động giao tiếp có tính tích hợp là đặc điểm nổi bật của công việc lao động trong tương lai. Tăng cơ hội thảo luận, trao đổi từ đó khắc sâu kiến thức hơn, nâng cao chất lượng học tập của từng học sinh. Phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh; phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán cho học sinh.
Phạm vi áp dụng biện pháp
Khi yêu cầu phải tiến hành giải một bài toán lớn phức tạp, bao gồm nhiều bài toán nhỏ, một người không làm được hết trong một khoảng thời gian ngắn.
Hoặc tổ chức thảo luận nhằm đưa ra định hướng và cách giải quyết cho một vấn đề nào đó.
Hoặc giáo viên hướng dẫn học sinh giải một dạng bài toán bằng nhiều cách khác nhau, từ đó lựa chọn cách giải nào là tối ưu cho dạng toán đó.
Một số lưu ý
– Khi tổ chức các hoạt động học tập theo nhóm, giáo viên cần chú ý phân công công việc hợp lý để mọi thành viên trong nhóm đều tích cực làm việc.
– Không phải bất kỳ lúc nào, việc tổ chức hoạt động học tập theo nhóm cũng đạt hiệu quả cao.
Sau khi đưa ra ví dụ 2.13 ta yêu cầu các nhóm học sinh giải bài toán ở ví dụ 2.15, bằng ba cách đã được hướng dẫn và nhận xét cách giải nào là tối ưu nhất.
Ví dụ 2.15. Trong mặt phẳng Oxy cho (E) :x2+y 2
5 = 1. Tìm phương trình các tiếp
tuyến với (E)đi qua điểm M(−2;−1). [21]
Giải. Rõ ràngM(−2;−1)nằm ngoài (E), nên việc tìm phương trình tiếp tuyến có ba cách giải.
1) Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến∆ : x0x+y0y
Ta có M0 ∈(E) M ∈∆ ⇔ x2 0 +y 2 0 5 = 1 −2x0− y0 5 = 1 ⇔ x0 =−2 7 →y0 =−15 7 x0 =−2 3 →y0 = 5 3·
Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến là2x−y+ 3 = 0 và 2x+ 3y+ 7 = 0. 2) Gọi k là hệ số góc của ∆ qua M(−2;−1), ta có ∆ : y=k(x+ 2)−1.
∆tiếp xúc với (E) khi hệ
y=k(x+ 2)−1 x2+ y 2 5 = 1 có nghiệm kép.
Giải hệ trên ta cók = 2 hoặc k =−2
3.
Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến là2x−y+ 3 = 0 và 2x+ 3y+ 7 = 0. 3) Gọi ∆ :Ax+By+C = 0 qua M(−2;−1), ta có −2A−B+C = 0.
Mặt khác ∆tiếp xúc với (E) khi A2+ 5B2 =C2.
Giải hệ −2A−B+C = 0 A2 + 5B2 =C2, chọn A= 2 thì ta có hệ trở thành C = 4 +B C2 = 5B2+ 4 ⇒ " B = 3 →C= 7 B =−1→C= 3.
Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến là2x−y+ 3 = 0 và 2x+ 3y+ 7 = 0. Dễ thấy, trong ba cách giải trên thì cách 3 là cách giải tối ưu nhất.
Chương 3
Thực nghiệm sư phạm
3.1 Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được nêu ra trong chương 2 về việc rèn luyện và phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trong dạy học giải toán hình học giải tích thông qua một số tiết dạy lý thuyết và bài tập nội dung hình học tọa độ trong mặt phẳng của chương trình hình học lớp 10 tại trường THPT Nguyễn Việt Dũng, phường Lê Bình, quận Cái Răng, TP. Cần Thơ, qua đó kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết khoa học đề ra.
3.2 Nội dung thực nghiệm
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”, sách giáo khoa Hình học 10 với thời lượng 13 tiết, kế hoạch cụ thể được liệt kê ở bảng 3.1.
Bảng 3.1: Bảng phân phối tiết dạy thực nghiệm
Tên bài Số tiết
Phương trình đường thẳng 6
Phương trình đường tròn 3
Phương trình đường elip 2
3.3 Tổ chức thực nghiệm
Thời gian thực nghiệm được tiến hành từ ngày 22/02/2012 đến ngày 15/04/2012 tại trường THPT Nguyễn Việt Dũng (Cần Thơ). Ở đây chúng tôi dùng cách chọn nguyên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. Hai lớp thực nghiệm và lớp đối chứng học chương trình cơ bản, với trình độ học sinh thuộc diện đại trà, mức độ nhận thức trung bình khá. Hai lớp thực nghiệm và đối chứng đều có trình độ học lực tương đương nhau. – Lớp thực nghiệm: 10B2 (36 học sinh)
– Lớp đối chứng: 10B7 (38 học sinh)
Giáo án thực nghiệm được soạn trên tinh thần các biện pháp sư phạm đã đưa ra và tôn trọng phân phối chương trình sách giáo khoa hiện hành, giữ nguyên mục đích, yêu cầu và nội dung bài dạy theo quy định, đặc biệt khai thác bài dạy và khắc sâu kiến thức trọng tâm cho học sinh theo hướng phát triển năng lực giải toán hình học giải tích cho học sinh.
3.4 Đánh giá, phân tích kết quả thực nghiệm
3.4.1 Đánh giá các tiết dạy thực nghiệm
Qua quan sát và khảo sát qua các phiếu điều tra chúng tôi rút ra một số nhận xét sau: Về ý kiến giáo viên dự giờ thực nghiệm
Giáo viên đồng tình với các nội dung thực nghiệm, đặc biệt ủng hộ các biện pháp sư phạm đã nêu ra trong luận văn.
Về ý kiến của học sinh ở lớp dạy thực nghiệm
Sau mỗi nội dung dạy học chúng tôi tiến hành khảo sát bằng hình thức phát phiếu điều tra ý kiến của các em về không khí lớp học, nội dung bài học và lượng kiến thức, mức độ tiếp thu bài học. Kết quả cụ thể như sau: