2 Phát triển năng lực chứng minh hình học giải tích cho học sinh
1.3 Các hoạt động giáo dục được tiến hành trong dạy học
Luôn luôn Thường Thỉnh thoảng Không bao giờ Cho học sinh luyện tập nhiều
dạng toán khác nhau 28 17
Đưa ra các thuật toán hướng
dẫn học sinh giải toán 21 23 1
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ
tìm tòi lời giải 28 14 3
1.4 Kết luận
Trong chương này luận văn đã làm rõ các khái niệm năng lực, năng lực toán học, năng lực chứng minh toán học và năng lực giải toán; vận dụng các quy tắc suy luận thường sử dụng trong chứng minh các kết luận toán học; đưa ra các dạng toán và cách giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng cũng như trong không gian để phát triển năng lực chứng minh toán học, tư duy tích cực cho học sinh, đồng thời nêu được tiềm năng của chủ đề hình học giải tích trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Việc phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh trong dạy học giải toán hình học giải tích là rất cần thiết bởi qua đó, chúng ta giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc sống. Do đó thấy rằng công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra được các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy tích cực cho học sinh.
Chương 2
Phát triển năng lực chứng minh hình học giải tích cho học sinh
2.1 Những định hướng xây dựng
2.1.1 Mục tiêu của việc dạy học hình học giải tích trongtrường phổ thông trường phổ thông
2.1.1.1 Về kiến thức
Hình học giải tích trong mặt phẳng
– Hiểu vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng.
– Hiểu phương trình tổng quát và các dạng đặc biệt của nó, phương trình tham số của đường thẳng.
– Hiểu được điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau.
– Biết công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng.
– Hiểu được cách viết phương trình đường tròn.
– Hiểu định nghĩa của elip, hiểu phương trình chính tắc, hình dạng của elip. – Hiểu được định nghĩa hypebol, phương trình chính tắc, hình dạng của hypebol. – Hiểu được định nghĩa, phương trình chính tắc của parabol. Biết ý nghĩa của tham số tiêu, tiêu điểm, đường chuẩn, hình dạng của parabol.
Hình học giải tích trong không gian
– Biết các khái niệm hệ tọa độ trong không gian, tọa độ của một vectơ, tọa độ của điểm, biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai điểm.
– Biết khái niệm và một số ứng dụng của tích có hướng. – Biết phương trình mặt cầu.
– Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
– Biết phương trình tổng quát của mặt phẳng, điều kiện song song hoặc vuông góc của hai mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
– Biết phương trình tham số của đường thẳng, điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc hai đường thẳng vuông góc với nhau.
2.1.1.2 Về kỹ năng
Hình học giải tích trong mặt phẳng
– Viết được phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng(d)đi qua điểm M(x0;y0) và có phương cho trước, hoặc đi qua hai điểm cho trước.
– Tìm được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của vectơ chỉ phương của một đường thẳng và ngược lại.
– Biết chuyển đổi giữa phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng cho trước.
– Viết được phương trình đường tròn biết tâm I(a;b) và bán kính R. Xác định được tâm, và bán kính đường tròn khi biết phương trình đường tròn.
– Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn trong các trường hợp: biết tọa độ của tiếp điểm (tiếp tuyến tại một điểm nằm trên đường tròn); biết tiếp tuyến đi qua điểm nằm ngoài đường tròn; biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng có phương trình cho trước.
– Từ phương trình chính tắc của elip x
2
a2 +y 2
b2 = 1 với a > b >0xác định được độ dài trục lớn, độ dài trục bé, tiêu cự, tâm sai của elip; xác định tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh của elip.
– Viết được phương trình chính tắc của elip khi đã cho một số yếu tố xác định elip đó. – Từ phương trình chính tắc của hypebol x
2
a2 − y
2
b2 = 1 với a, b > 0 xác định được độ dài trục thực, độ dài trục ảo, tiêu cự, tâm sai của hypebol; xác định tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và đường tiệm cận của hypebol.
– Viết được phương trình chính tắc của hypebol khi cho một số yếu tố xác định hypebol. – Từ phương trình chính tắc của paraboly2 = 2pxvớip >0xác định tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn, vẽ được parabol.
– Viết được phương trình chính tắc của parabol khi cho một số yếu tố xác định parabol. Hình học giải tích trong không gian
– Tính được tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ, tích của một vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ.
– Tính được tích có hướng của hai vectơ. Tính được diện tích hình bình hành và thể tích khối hộp bằng cách dùng tích có hướng.
– Tính được khoảng cách giữa hai điểm có tọa độ cho trước.
– Xác định được tọa độ của tâm và tính được bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước.
– Viết được phương trình mặt cầu với các điều kiện cho trước. – Xác định được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
– Biết cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính được khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
– Biết được phương trình tham số của đường thẳng.
– Từ các phương trình tham số của hai đường thẳng, biết cách xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng đó.
– Giải được một số bài toán của hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
2.1.1.3 Về tư duy
– Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho thực tiễn cuộc sống.
– Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh; hình thành và phát triển ở học sinh tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo.
– Phát huy tính tích cực chủ động của học sinh trong học tập và phát huy khả năng tự học. Dẫn dắt học sinh tự thân trải nghiệm để chiếm lĩnh tri thức mới, chống lối học thụ động.
– Tận dụng ưu thế của từng phương pháp dạy học, chú trọng sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
– Coi trọng cả cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng lẫn vận dụng kiến thức vào cuộc sống thực tiễn.
2.1.1.4 Về giáo dục
Mục tiêu của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới, phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh đất nước.
Luật giáo dục 2005, [17], đã chỉ rõ:Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Giáo dục trung học phổ thông nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông và có những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp, có điều kiện phát huy năng lực cá nhân để lựa chọn hướng phát triển, tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Hình học giải tích nói riêng, môn toán nói chung, cũng như mọi môn học, xuất phát từ đặc điểm, vai trò, vị trí, ý nghĩa của nó, phối hợp cùng các môn học khác và các hoạt động khác nhau trong nhà trường, góp phần thực hiện các mục tiêu nêu trên.
2.1.2 Phân tích các mục tiêu phát triển tư duy cho học sinhtrong dạy học hình học giải tích trong dạy học hình học giải tích
Theo [13], nhiệm vụ phát triển tư duy trong dạy học môn toán nói chung, dạy học hình học giải tích nói riêng, bao gồm:
– Phát triển tư duy lôgic và ngôn ngữ toán học.
– Phát triển năng lực suy đoán và trí tưởng tượng không gian. – Rèn luyện các thao tác tư duy.
2.1.2.1 Phát triển tư duy lôgic và ngôn ngữ toán học
Do đặc điểm của khoa học của môn toán, môn toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy lôgic. Nhưng tư duy không thể tách rời với ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy lôgic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác.
Việc phát triển tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn toán có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau.
– Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết lôgic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát,...
– Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với định nghĩa.
– Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh.
2.1.2.2 Phát triển năng lực suy đoán và trí tưởng tượng không gianTưởng tượng là tạo ra hình ảnh những cái không có ở trước mắt hoặc chưa Tưởng tượng là tạo ra hình ảnh những cái không có ở trước mắt hoặc chưa hề có trên cơ sở những biểu tượng đã có. [21]
Tác dụng phát triển tư duy của môn toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy lôgic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn khai thác khả năng này, người thầy giáo cần lưu ý:
– Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen,...
– Những suy đoán có thể rất táo bạo, nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều. – Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng, quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay từ những hình phẳng, từ những biểu tượng đã biết ta có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có thực trong đời sống.
2.1.2.3 Rèn luyện các thao tác tư duy
Môn toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,... do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ này.
– Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ.
– Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp.
– Trừu tượng hóa là tách những bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây chỉ mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động.
– Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Như vậy, ta thấy ngay rằng trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa.
Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trong môn toán, học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh,... do đó có điều kiện rèn luyện cho họ những hoạt động trí tuệ này.
2.1.2.4 Bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ
Việc rèn luyện cho học sinh những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống.
Có thể nêu lên một số phẩm chất trí tuệ quan trọng:
– Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư duy. Trước hết, cần rèn luyện cho học sinh khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của một quá trình mới. Việc chuyển hướng quá trình tư duy không chỉ có nghĩa là đảo ngược quá trình này mà còn có thể chuyển từ hướng này sang một hướng khác không nhất thiết phải ngược với hướng ban đầu.
– Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy. Tính chất sau thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩ và tư tưởng của người khác và của bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?”,... đúng chỗ, đúng lúc.
– Tính sáng tạo: tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào.
Tính sáng tạo có thể dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ, có cân nhắc cẩn thận.
2.1.3 Các định hướng phát triển năng lực chứng minh cho họcsinh thông qua dạy học hình học giải tích sinh thông qua dạy học hình học giải tích
Định hướng 1. Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua khai thác nội dung dạy học
Khai thác các nội dung cơ bản của hình học giải tích thông qua các bài toán quen thuộc là một cách làm hữu ích khi dạy và học toán. Với chỉ một bài toán học sinh có thể nắm nhiều kiến thức cơ bản của hình học. Từ đây ta có thể khai thác các bài toán khác một cách hoàn toàn tương tự.
Ví dụ 2.1. Cho tam giác ABC cóA(0; 0), B(2; 4), C(6; 0) và các điểm: M trên cạnh
AB, điểmN trên cạnhBC, điểmP vàQtrên cạnhACsao choM N P Qlà hình vuông. Tìm tọa độ các điểm M, N, P, Q. Hình 2.1: Ta có A(0; 0), C(6; 0)⇒A, C ∈Ox. (hình 2.1) Suy ra P, Q∈Ox⇒ ( P(xP; 0) Q(xQ; 0) với 0< xP < xQ <6.
Phương trình các đường thẳng AB:y= 2x và AC :y = 0. Gọi cạnh hình vuông là a. Ta có M N AC = BM BA ⇒ a 6 = BM BA· (1) Kẻ BH⊥AC, suy ra BH = 4. Ta có M P