1. Ph−ơng pháp
Sử dụng ph−ơng pháp mô hình hóa cùng các qui tắc đếm cơ bản.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Có 5 tem th− khác nhau và 6 bì th− cũng khác nhau. Ng−ời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem th−, 3 bì th− và dán 3 tem ấy lên 3 bì th− đã chọn. Một bì th− chỉ dán 1 tem th−. Hỏi có bao nhiêu cách làm nh− vậy ?
Giải
* C53 cách chọn tem th−. * C63 cách chọn bì th−.
* 3! cách dán tem. do đó, số cách làm bằng
C53.C63.3!
Ví dụ 2. Một ban châp hành thanh niên có 11 ng−ời, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Ng−ời ta muốn chọn một ban th−ờng trực 3 ng−ời, trong đó phải có ít nhất một nữ. Có bao nhiêu cách chọn ban th−ờng trực ?
Giải
* Gọi A là tập các cách chọn ban th−ờng trực, suy ra
|A| = C113 .
* Gọi B là tập các cách chọn ban th−ờng trực không có nữ, suy ra
|B| = C73
Ta có B = A\B là tập các cách thành ban th−ờng trực 3 ng−ời, trong đó phải có ít nhất một nữ. Ta đ−ợc:
|B| = |A\B| = |A| − |B| = 130 cách
Ví dụ 3. Trong 100 vé số có 2 vé trũng th−ởng. Nếu mua 12 vé số thì có bao nhiêu tr−ờng hợp: a) Không vé nào trúng th−ởng ? b) Có ít nhất 1 vé trúng th−ởng ? c) Có đúng 1 vé trúng th−ởng ? Giải Trong 100 vé số có 2 vé trúng th−ởng còn 98 vé không trúng th−ởng. Gọi A là tập các bộ 12 vé số trong bộ 12 vé số trong bộ 100 chiếc, suy ra
|A| = C10012
b) Ta có a1 = A\A1 là tập các bộ vé trúng ht−ởng. Ta đ−ợc:
c) Số các bộ 12 vé, có đúng một vé trúng th−ởng bằng:
C21.C9811.
Ví dụ 4. Ng−ời ta muốn thành lập một tổ công tác gồm 3 nữ và 4 nam, 3
nữ có thể chọn trong 10 nữ, còn 4 nam có thể chọn trong 7 nam, trong đó có anh Bình và chị An.
a) Có bao nhiêu cách lập tổ ?
b) Có bao nhiêu cách lập tổ mà anh Bình và chị An không ở trong cùng một tổ?
Giải
a) Muốn thành lập tổ công tác, có thể tiến hành theo hai b−ớc sau: B−ớc 1: Chọn 3 nữ trong 10 nữ
=⇒ Có C103 cách chọn. B−ớc 2: Chọn 3 nam trong 7 nam
=⇒ Có C74 cách chọn. Vậy số cách chọn tổ bằng C103 .C74 = 4200 cách b) Gọi A là số cách thành lập tổ, ta có: |A| = 42000 Gọi B là tập các cách thành lập tổ mà nah Bình và chị An ở cùng một tổ, suy ra B ⊂ A. Muốn tính |B| ta tiến hành theo hai b−ớc sau:
B−ớc 1: Chọn 2 nữ trong 9 nữ (vì đã có chị An)
=⇒ Có C92 cách chọn.
B−ớc 2: Chọn 3 nam trong 6 nam (vì đã có anh Bình)
=⇒ Có C63 cách chọn. Vậy |B| = C92.C63 = 720 cách Ta có B = A\B là tập các cách thành lập tổ mà anh Bình và chị An không ở cùng một tổ. Ta đ−ợc |B| = |A\B| = |A| − |B| = 3480 cách
Ví dụ 5. Trong một hộp chứa 100 sản phẩm có 90 sản phẩn đạt yêu cầu và10 sản phẩm ch−a đạt yêu cầu. Hãy lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 10sản phẩm.
a) Có bao nhiêu kết quả khác nhau ?
b) Có bao nhiêu bộ 10 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm đạt yêu cầu ?
Giải
a) Số bộ 10 sản phẩm khác nhau là
C10010
b) Số bộ 10 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm đạt yêu cầu là
C908 .C102 .
Ví dụ 6. Ng−ời ta muốn phân loại một thế hệ thanh niên theo giới tính (nam hoặc nữ), theo tình trạng hôn nhân (đã lập gia đình hoặc ch−a lập gia đình), và theo nghề nghiệp (17 nghề nghiệp trong xã hội). Có bao nhiêu cách phân loại khác nhau ?
Giải
Mỗi cách phân loại ứng với bộ ba pần tử (x,yj, zk), trong đó: * xi là phần tử của tập E = { nam và nữ }
* yj là phần tử của tập F = { đã lập gia đình, ch−a lập gia đình}
* zk là phần tử của tập K, gồm 17 phần tử về nghệ nghiệp trong xã hội. Vậy, mỗi bộ (xi, yj, zk) là phần tử của tích Đềcác E ìF ì K.
Vậy số cách phân loại bằng:
|E ì F ì K| = |E| ì |F| ì |K| = 2.2.17 = 68 cách
Ví dụ 7. Gieo một con xúc xắc 6 mặt k lần a) Có bao nhiêu kết quả khác nhau ?
b) Có bao nhiêu kết quả, trong đó 1 điểm không lần nào xuất hiện ?
Giải
Đặt E = {1,2,3,4,5} là tập các số điểm trên 6 mặt xúc xắc.
a) Một kết quả của k lần giao con xúc xắc ứng với một bộ (α1, α2, ..., αk)
có k phần tử, trong đó αi ∈ E, i = 1, k, αi chỉ số điểm trên mặt xúc xắc ở lần gieo thứ i.
Vậy, mỗi bộ (α1, α2, ..., αk) cók là phần tử của tích Đềcác E14ì2...4ì3E
| {z }
n lần
=
E(k)
Vậy số cách phân loại bằng:
|E(k)| = |E|k = 6k cách
b) Một kết quả của k lần gieo con xúc xắc, trong đó mặt 1 điểm không lần nào xuất hiện, ứng với một bộ (α1, α2, ..., αk) có k phần tử, trong đó
αi ∈ E1 = E \ {1}, i = 1, k, αi chỉ số điểm trên mặt xúc xắc ở lần gieo thứ i.
Vậy mỗi bộ (α1, α2, ..., αk) là phần tử của tích Đềcác E14ì2...4ì3E1
| {z }
n lần
=
E(k) = E1(k)
Vậy số cách phân loại bằng
|E1(k)| = |E1|k = 5k cách
3. Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (ĐH Thái Nguyên 99). Có 12chiếc bánh ngọt khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chúng vào 6 chiếc hộp giống nhau. , mỗi chiếc hộp có 2
chiếc bánh.
Kết quả: C122 = 66 C666 = 9085768.
Bài 2 (ĐHSP Vinh 99). Một ôổ sinh viên có 20 em trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm.
Kết quả: C83.C74.C52 = 19600 cách.
Bài 3 (ĐHYK 98). Một chi đoàn có 20 đoàn viên trong đó 10 nữ. Tôt công tác có 5 ng−ời. Có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần ít nhất 1 nữ.