III. Hệ số và số hạng trong khai triển nhị thức
2.6.A3 6= 1440 số Vậy, số các số thỏa mãn đầu bài, bằng
Vậy, số các số thỏa mãn đầu bài, bằng
840 + 1440 = 2280 số
Ví dụ 12. Từ sáu chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đ−ợc bao nhiêu số gồm
4 chữ số khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5.
GiảiĐặt E = {0,1,2,3,4,5}. Đặt E = {0,1,2,3,4,5}. Một số 4 chữ số đ−ợc ký hiệu α = a1a2a3a4, với a1 ∈ E, i = 1,4 và a1 6= 0 Ta xét hai tr−ờng hợp Tr−ờng hợp 1: Nếu a5 = 0 =⇒ Có 1 cách chọn.
* a1, a2, a3, a4 là bộ phân biệt thứ tự đ−ợc chọn từ E\{1} do đó nó là một chỉnh hợp 5 chập 4
=⇒ Có A45 cách chọn.
Vậy, trong tr−ờng hợp này chúng ta nhận đ−ợc
1.A45 = 120 sốTr−ờng hợp 2: Nếu a5 = 0 =⇒ Có 1 cách chọn. Tr−ờng hợp 2: Nếu a5 = 0 =⇒ Có 1 cách chọn. * a1 đ−ợc chọn từ tập E\{0,5} =⇒ Có 4 cách chọn. * a2, a3, a4 là một bộ phận thứ tự đ−ợc chọn từ E\{5, a1} đo đó nó là một chỉnh hợp 4 chập 3 =⇒ Có A34 cách chọn.
Vậy trong tr−ờng hợp này chúng ta nhận đ−ợc:
Vậy, số các số thỏa mãn điều kiện đầu bài hình thành từ E bằng:
120 + 96 = 216 số
Ví dụ 13. Cho tập các chữ số E = {1,2, ..., n}. Có thể lập đ−ợc bao nhiêu số gồm n chữ số phân biệt sao cho các chữ số 1 và 2không đứng cạnh nhau ?
Giải
Ta có lập luận:
* Gọi A là tập các số gồm n chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, suy ra
|A| = Pn = n!
* Gọi B là tập các số gồm n chữ số phân biệt sao cho các chữ số 1 và 2
đùng cạnh nhau. Để tính |B| ta tiến hành theo hai b−ớc sau:
* B−ớc 1: Chọn một bộ n − 1 phần tử từ tập F = {α,3,4, ..., n}, trong đó α = (1,2) =⇒ Có Pn−1 cách chọn. * B−ớc 2: Chọn một hoán vị các phần tử của α =⇒ Có P2 cách chọn. Vậy, |B| = Pn−1.P2 = 2.(n − 1)! Ta có
B = A\B là tập các số gồm n chữ số phân biệt sao cho các chữ số 1 và
2 đúng cạnh nhau. Ta đ−ợc:
|B| = |A\B| = |A| − |B| = n! − 2,(n − 1)! = (n− 2).(n − 1)! cách
Ví dụ 14. Với 5 chữ số ,1,2,3,4,5. Có thể lập đ−ợc bao nhiêu số gồm
5 chữ số phân biệt và thỏa mãn điều kiện: a) Mỗi số nhỏ hơn 40000
b) Mỗi số nhỏ hơn 45000.
Giải
Một số 5 chữ số đ−ợc ký hiệu
α = a1a2a3a4a5, với a1 ∈ E, i = 1,5 và a1 6= 0
a) Ta có thể lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Ta có:
* Vì α nhỏ hơn 40000 nên a1 ∈ {1,2,} (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
=⇒ Có 3 cách chọn.
* a2, a3, a4, a5 là một bộ phân biệt thứ tự đ−ợc chọn từ E\{a1} do đó nó là một hoán vị của 4 phần tử
=⇒ Có P4 cách chọn.
Vậy,các số gồm 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 40000, hình thành từ tập E,
bằng:
3.P4 = 360 số
Cách 2: Gọi A là tập các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ E và mỗi số nhỏ hơn 40000
* Gọi A1 là tập các số có 5 chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, và bắt đầu bằng chữ số 1, suy ra:
A1 ⊂ A&|A1| = P4 = 24.
* Gọi A2 là tập các số có 5 chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, bắt đầu bằng chữ số 2,suy ra:
A2 ⊂ A&|A2| = P4 = 24
* Gọi A3 là tập các số có 5 chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, bắt đầu bằng chữ số 3,suy ra:
A3 ⊂ A&|A3| = P4 = 24
Ta có:
A = A1 ∪ A2 ∪ A3&A1, A2, A3 đôi một không giao nhauTheo qui tắc cộng Theo qui tắc cộng
|A| = |A1| +|A2| +|A3| = 3.24 = 72 sốb) Vì α nhỏ hơn 45000 nên a1 ∈ {1,2,3,4} b) Vì α nhỏ hơn 45000 nên a1 ∈ {1,2,3,4}
Xét hai tr−ờng hợp:
Tr−ờng hợp 1: Nếu a1 ∈ {1,2,3}
=⇒ Có 3 cách chọn.
* a2, a3, a4 là bộ phân biệt thứ tự đ−ợc chọn từ E\{a1} do đó nó là một hoán vị của 4 phần tử
=⇒ Có P4 cách chọn.
Vậy, trong tr−ờng hợp này chúng ta nhận đ−ợc
3.P4 = 72 sốTr−ờng hợp 2: Nếu a1 = 4 =⇒ Có 1 cách chọn. Tr−ờng hợp 2: Nếu a1 = 4 =⇒ Có 1 cách chọn. * a2 ∈ {1,2,2} =⇒ Có 3 cách chọn. * a3, a4, a5 là một bộ phận thứ tự đ−ợc chọn từ E\{a1, a2} đo đó nó là một hoán vị của 3 phần tử =⇒ Có P3 cách chọn.
Vậy trong tr−ờng hợp này chúng ta nhận đ−ợc:
1.3.6.P3 = 18 số
Vậy, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 45000, hình thành từ tập E, bằng
72 + 18 = 90 số
Ví dụ 15. Có bao nhiêu số nguyên, d−ơng với các chữ số phân biệt, nhỏ hơn 10000?
Giải
Đặt E = {0,1,2,3, ...,9} (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Gọi A là tập các số gồm các chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, nhỏ hơn 10000.
Gọi Ak, k = 1,4 là tập các số cók chữ số phân biệt, hình thành từ tập E.
* Ak ⊂ A.
* Mỗi số thuộc Ak, k = 1,4 ứng với một chỉnh hợp 10 chập k các phần tử của E, trong đó chữ số đứng đầu khác 0, suy ra:
|Ak| = Ak10 − Ak9−1 = 9(10− 1)!(10− k)! (10− k)! từ đó |A1| = 9, |A2| = 81, A3| = 648, A4| = 4536. Ta có:
A = Y Ak(k = 1,4)&Ak, k = 1,4 đôi một không giao nhauTheo qui tắc cộng: Theo qui tắc cộng:
|A| = |A1| +|A2|+ |A3| + |A4| = 5274 sốChú ý: Trong lời giải trên ta đã sử dụng công thức tính: Chú ý: Trong lời giải trên ta đã sử dụng công thức tính: