Bài tập 1.7.1. Chứng minh các định lý sau đây trong mặt phẳng afin bằng phương pháp xạ ảnh:
a) Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) Trong một hình thang, trung điểm hai cạnh đáy chia điều hoà cặp giao điểm hai đường chéo và giao điểm hai cạnh bên.
c) Đường trung bình trong hình thang thì song song với hai cạnh đáy.
Giải a) Phân tích: Trong P2 cho W, A2 =P2\W. Hình bình hành ABCD có:
AB // CD ⇒ AB∩ AD = J ∈ W.
AD // BC ⇒ AD∩ BC = K ∈ W.
Vì I là tâm hình bình hành nên [ACIP] = [DBIQ] = −1 với P = AC ∩ W, Q=BD∩W.
P
K Q
C J D
A B
I
Bài tập xạ ảnh: Trong P2 cho hình tứ đỉnh toàn phần ABCD có hai điểm chéo AB ∩CD = J ∈ W và AD∩BC = K ∈ W. Gọi I = AC ∩ BD, P = AC ∩W, Q=BD∩W. Chứng minh [ACIP] = [DBIQ] =−1.
Chứng minh:
Xét hình tứ đỉnh toàn phần ABCD có
[KJQP] =−1(tính chất hình tứ đỉnh toàn phần).
Xét chùm đường thẳng DA, DC, DI, DP có [ACIP] = [DA, DC, DI, DP] = [KJQP] =−1.
Xét chùm đường thăng CA, CB, CI, CQ có [DBIQ] = [CD, CB, CI, CQ] = [JKP Q] = 1
[KJP Q] =−1.
b) Phân tích:
Trong P2 cho W, A2 =P2\W.
Hình thang ABCD có AB // CD ⇒ AB∩ CD = I ∈W.
M, N là trung điểm của AB và CD
⇒ [ABMI] = [CDNI] =−1.
Q
B C I N′ D
A M′ P
Bài tập xạ ảnh: Cho hình tứ đỉnh toàn phần ABCD sao cho AB∩CD = I ∈ W. Lấy hai điểm M, N sao cho [ABMI] = −1, [CDNI] = −1. Gọi Q = AD∩ BC, P =AC∩BD. Chúng minh rằng M, N, P, Q thẳng hàng và [MNP Q] =−1.
Chứng minh:
Xét hình tứ đỉnh toàn phần ABCD có ba điểm chéo I, P, Q.
P Q∩AB =M′;CD∩P Q=N′. Theo tính chất hình tứ đỉnh toàn phần:
[M′N′P Q] =−1.
Mặt khác, xét chùm đường thẳng tâm D có:
[M′IAB] = [DM′, DN′, DA, DB] = [M′N′P Q] =−1.
⇒ [BAM′I] =−1
⇒ [ABM′I] = 1
[BAM′I] = [ABMI]. ⇒ M′ ≡M, N′ ≡N. Vậy M, N, P, Q thẳng hàng và [MNP Q] =−1.
c) Phân tích:
Trong P2 cho W, A2 =P2\W.
ABCD là hình thang, AB // CD suy ra AB∩CD =I ∈W. M là trung điểm của AD suy ra [ADMP] =−1 với P ∈ W.
N là trung điểm của BC suy ra [BCNQ] =−1 với Q∈ W.
MN // AB // CD suy ra MN, AB, CD đồng quy tại I∈ W.
P Q
C I D
M′ A
B N′
Bài tập xạ ảnh: Cho hình tứ đỉnh ABCD sao cho AB ∩CD = I ∈ W. Gọi P = AD∩W, Q = BC∩W. Gọi M, N ∈ AB, BC sao cho [ADMP] = [BCNQ] = −1.
Chứng minh M, N, I thẳng hàng.
Chứng minh:
Giả sử IN ∩AD tại M’. Chứng tỏ M’ ≡ M.
Thật vậy, xét chùm đường thẳng tâm I có [ADMP] = [BCNQ] =−1 = [ADMP]
⇒ M′ ≡M.
⇒ I, M, N thẳng hàng.
Bài tập 1.7.2. Giải các bài toán dựng hình sau đây trong mặt phẳng afin bằng cách chỉ dùng thước (để vẽ đường thẳng):
a) Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi đã cho trước một đường thẳng d song song với đường thẳng AB.
b)Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB và một điểm D không thẳng hàng với A, B. Dựng qua D một đường thẳng song song với AB.
Giải
a) Phân tích: Đưa bài toán trong không gian afin vào không gian xạ ảnh.
E
A J B
K C D
I ∆
d F
Trong P2 cho W, A2 =P2\W.
Trong A2 ta có d//AB nên trong P2, d∩AB =F ∈W.
Gọi J là trung điểm của AB trong A2 thì trong P2 có[ABJF] =−1.
Giả sử gọi C, D bất kỳ trên d thì ABCD là hình tứ đỉnh toàn phần và AB∩CD = F ∈ W, gọi E = AD∩BC, K = AC∩BD, I =EK ∩DC khi đó E, I, K, J thẳng hàng. Suy ra J =EK∩AB.
Ta suy ra cách dựng:
E
C (d)
J B A
K
D I
-) Lấy C, D tuỳ ý thuộc đường thẳng d sao cho: AD∩BC =E, AC∩BD=K.
-) Dựng EK.
-) Dựng J =AB ∩EK. Ta được J là điểm cần dựng.
Chứng minh: Đưa bài toán trong không gian afin vào không gian xạ ảnh.
Ta có CD // AB trong A2 nên AB ∩CD = F ∈ W trong P2 . Xét hình tứ đỉnh toàn phần EDKC có ED∩CK =A, EC∩KD =B, J =AB ∩EK,F =AB∩DC.
Suy ra [ABJF] =−1 trong P2 nên J là trung điểm của AB.
Biện luận: Bài toán có nghiệm hình duy nhất vì xác định được duy nhất E và K.
b) Phân tích: Đưa bài toán trong không gian afin vào không gian xạ ảnh.
E
A C B
K M D
I ∆
F d
Trong P2 cho W, A2 =P2\W.
Giả sử dựng được d // AB trongA2 thìd∩AB =F ∈W trongP2, lại có C là trung điểm của AB nên [ABCF] = −1. Giả sử có M, D ∈ d thì ta được hình tứ đỉnh toàn phần EDKM có A= ED∩MK, B =EM ∩DK, K =BD∩AM, F =AB ∩DM, C =EK ∩AB.Từ đó suy ra.
Cách dựng: Ta có đoạn AB và C là trung điểm của AB.
Dựng điểm E bất kỳ trên đường thẳng BM, M bất kỳ.
Dựng EI, EA, AM.
Dựng K =AM ∩EC, D =AE∩BK.
Khi đó DM là đường thẳng cần tìm.
E
M (d)
C B A
K
D I
Chứng minh: A2 =P2\W. Xét trongP2, giả sửAB∩W =F. Vì C là trung điểm của AB nên [ABCF]=-1.
Gọi I =EK∩DM. Trong hình tứ đỉnh toàn phần ABMD có [ABCF]=-1. Suy ra [EA, EB, EC, EF] =−1⇒ [ED, EM, EI, EF] =−1 ⇒[DMIF] = −1 hay D, M, I, F thẳng hàng. Do đó DM ∩AB =F ∈W nên DM // AB.
Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình vì chỉ xác định duy nhất các giao điểm K và D.
Bài tập 1.7.3. Từ các định lý Desargues, Meunelaus, Cêva trong mặt phẳng xạ ảnh, hãy suy ra những định lý của hình học afin.
Giải
Từ bài toán xạ ảnh (1.5.2) trong P2 lấy đường thẳng d làm vô cùng của mô hình xạ ảnh của A2 thì ba điểm độc lập A, B, C diễn tả ba đỉnh của một tam giác ABC của A2, các điểm A′′, B′′, C′′ là các điểm vô tận của mô hình, các tỷ số kép xạ ảnh [BCP A′′], [CAQB′′],[ABRC′′]diễn tả các tỷ số đơn afin [BCP], [CAQ], [ABR] từ đó có định lý Menelaus và định lý Ceva trong mặt phẳng afinA2.
Định lý Menelaus trong A2: Trong mặt phẳng afin A2 cho ba điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC mà không trùng với các đỉnh A, B, C. Điều kiện cần và đủ để ba điểm P, Q, R thẳng hàng là tích ba tỷ số đơn [BCP][CAQ][ABR] = 1.
Định lý Ceva trongA2: Trong mặt phẳng afinA2cho ba điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh của tam giác ABC. Điều kiện cần và đủ để tích ba tỷ số đơn[BCP][CAQ][ABR] =
−1là ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy.