Bài tập 3.3.1. Cho đường ôvan (S) và hai điểm A, B cố định trên nó, một đường thẳng d cố định không đi qua A và B. Với mỗi điểm M thay đổi trên (S), các đường thẳng AM và BM lần lượt cắt d tạiA′ vàB′. Tìm quỹ tích giao điểm của AB′ và A′B.
Phát biểu bài toán đối ngẫu.
Cho đường thẳng AB là đường thẳng vô tận, hãy suy từ bài toán trên thành bài toán trong mặt phẳng afin.
Giải A
B
M A′
B′
d N
Xét ánh xạ f: {A} → {B}, AN 7→ BN.
Có thể phân tích f = g◦h◦g, trong đó:
g :AN 7→BB′ (phép chiếu xuyên trục với trục là d).
h:BB′ 7→AA′ (ánh xạ xạ ảnh theo định lý Steiner).
g :AA′ 7→BA′ ≡ BN.
Vậy f là ánh xạ xạ ảnh.
ĐặtA′0là giao điểm của d với tiếp tuyến của (S) tại A, ta thấyf(AB) =BA′0 6=BA.
Do đó f không là phép chiếu xuyên trục.
Vậy quỹ tích điểm N là đường bậc hai không suy biến tiếp xúc vớiBA′0 và vớiAB1′, trong đó B1′ là giao điểm của d với tiếp tuyến của (S) tại B (vì f−1(BA) =AB1′).
Chú ý rằng nếu d cắt (S) thì mỗi giao điểm của d và (S) là một điểm thuộc quỹ tích.
Đối ngẫu: Cho đường ôvan (S) và hai đường thẳng a, b cố định tiếp xúc với (S), một điểm D cố định không nằm trên a và b. Với mỗi tiếp tuyến m thay đổi của (S), nối D với các điểm M =a∩m, N =b∩n. Khi đó đường thẳng đi qua hai giao điểm a∩DM và b∩DN tiếp xúc với đường ôvan nào đó đi qua DA∩b và a∩DB.
+) Với AB là đường thẳng vô tận, ta có bài toán afin sau:
Cho hypebol (H) với hai phương tiệm cận là −→c1 và −→c2; M thuộc (H) và d là đường thẳng bất kỳ có phương khác hai tiệm cận. Gọi A′ là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng qua M có phương−→c1, B′ là giao của d và đường thẳng qua M có phương
−
→c2. Tìm quỹ tích giao điểm của đường thẳng đi qua B′ có phương −→c1 và đường thẳng qua A′ có phương −→c2.
Bài tập 3.3.2. Cho đường ôvan (S) và hai điểm A, B cố định trên nó, một đường thẳng d cố định không đi qua A và B. Với mỗi điểm M thay đổi trên d, các đường thẳng AM và BM lần lượt cắt (S) tại A′ và B′. Tìm quỹ tích giao điểm của AB′ và A′B.
Phát biểu bài toán đối ngẫu.
Cho đường thẳng AB là đường thẳng vô tận, hãy suy từ bài toán trên thành bài toán trong mặt phẳng afin.
A
B d
M
A′
B′ N
Xét ánh xạ f: {A} → {B}, AN 7→ BN.
Có thể phân tích f = g◦h◦g, trong đó:
g: AN 7→BB′ (ánh xạ xạ ảnh theo định lý Steiner).
h: BB′ 7→AA′ (phép chiếu xuyên tục, với trục chiếu d).
g: AA′ 7→BN.
Vậy f là ánh xạ xạ ảnh. Kiểm nghiệm ta thấy f(AB) 6= BA nên f không là chiếu xuyên trục.
Vậy (theo định lý Steiner đảo) quỹ tích N là một đường bậc hai không suy biến đi qua A và B. Chú ý rằng mỗi giao điểm (nếu có) của d và (S) là một điểm của quỹ tích.
Đối ngẫu: Cho đường ôvan (S) và hai đường thẳng a, b cố định cho trước, một điểm D không nằm trên a và b. Với mỗi đường thẳng m thay đổi đi qua D,m∩a =C, m∩b=E,a′, b′ lần lượt đi qua C và E tiếp xúc với ôvan (S). Gọia′∩b=P,b′∩a=Q thì PQ luôn tiếp xúc với một ôvan nào đó tiếp xúc với a và b.
+) Với AB là đường thẳng vô tận ta có bài toán afin sau:
Cho hypebol (H) với hai phương tiệm cận là −→c1,→−c2; d là đường thẳng bất kỳ có phương khác tiệm cận. Lấy M bất kỳ nằm trên d. GọiA′là giao điểm của (H) và đường thẳng qua M có phương −→c1,B′ là giao điểm của (H) và đường thẳng qua M có phương
−
→c2. Tìm quỹ tích giao điểm của đường thẳng quaA′ có phương−→c2 và đường thẳng qua B′ có phương −→c1.
Bài tập 3.3.3. Chứng minh rằng nếu hai hình bốn đỉnh toàn phần có cùng chung ba điểm chéo thì 8 đỉnh của chúng nằm trên một đường bậc hai.
Giải
Trong P2 cho hình bốn đỉnh toàn phần ABCD có ba điểm chéo P = AB ∩CD, Q=BC∩DA,R =AC∩BD. Giả sử hình bốn đỉnh toàn phần A′, B′, C′, D′ cũng có ba điểm chéo P, Q, R mà không có đỉnh nào trùng với A, B, C, D.
Dễ thấy rằng mỗi đỉnh của A′B′C′D′ không nằm trên một cạnh nào của ABCD, suy ra tồn tại một đường bậc hai không suy biến (S) đi qua A, B, C, D, A′. Đường thẳng P A′ cắt (S) tại một điểm M nào đó. Vì P là một điểm chéo của A′B′C′D′, còn A′ là một đỉnh của A′B′C′D′, nên phải có một đỉnh nữa của A′B′C′D′ nằm trên P A′, có thể giả sử đỉnh đó là B′.
Đặt N = P A′∩QR thì [P NA′B′] = −1(do QR là một đường chéo của A′B′C′D′ và P là một điểm chéo của nó). Mặt khác, ta lại có [P NA′M] =−1 (vì QR là đối cực của P đối với (S).
Suy ra M ≡B′. Vậy B′ ∈(S).
Một cách tương tựC′, D′ cũng thuộc (S), tức làA, B, C, D, A′, B′, C′, D′cũng thuộc (S).
Bài tập 3.3.4. Cho ba điểm không thẳng hàng O, A, B và một đường thẳng d không đi qua A và B. Một điểm M thay đổi trên d. Gọi R = AM ∩ OB, S = BM ∩OA. Tìm tập hợp các đường thẳng RS.
Giải
Xét trường hợp O không thuộc d. Đặt E = OA ∩ d, F = OB∩ d.
Ánh xạ f: {OA} → {OB}, C 7→ R có thể phân tích thànhf =k◦h◦g trong đó:
g: S 7→BS (phép nối).
h: BS 7→AR (phép chiếu xuyên trục).
k: AR 7→R (phép cắt).
Vậy f là ánh xạ xạ ảnh. Ta có f(O) = F6= O nên f không là phép chiếu xuyên tâm.
Do đó theo đính lý Steiner (đối ngẫu), các đường thẳng RS tiếp xúc với một đường bậc hai không suy biến nhận OA, OB làm hai tiếp tuyến lần lượt tại E, F.
Trường hợp O ∈ d thì f(O) = O nên f là phép chiếu xuyên tâm với tâm I nào đó.
Suy ra các đường thẳng RS đi qua I, có thể xác định I bởi điều kiện [ABHI] = -1.
Bài tập 3.3.5. Cho ba đường thẳng d, d′ và a không đồng quy và một điểm O không nằm trên chúng. Một đường thẳng thay đổi đi qua O cắt d, d′ và a lần lượt tại M, M′ và I. Gọi J là điểm mà [M, M′, I, J] =−1. Tìm quỹ tích điểm J.
Giải
Đặt S = d ∩d′. Lập ánh xạ f: {S} → {O},SJ 7→OI. Có thể phân tích f =p◦h◦g, trong đó:
g: SJ 7→ SI (g là biến đổi xạ ảnh đối hợp của {S} có hai phần tử bất động d,d′).
h: SI 7→I (phép cắt chùm {S} bởi a).
p: I 7→ OI (phép nối{a}với tâm O).
Vậy f là ánh xạ xạ ảnh.
Do O không thuộc d, d′, a nên f(SO) 6= OS.
Vậy f không là phép chiếu xuyên trục, suy ra quỹ tích là một đường bậc hai không suy biến đi qua S và O.
S
I N
d d′
J a O
Bài tập 3.3.6. Cho đường ôvan (S), đường thẳng d và hai điểm cố định A, B. Hai điểm thay đổi M, M′ trên d và liên hợp với nhau đối với (S). Tìm quỹ tích giao điểm của AM và BM′.
Giải
A
B N
M′
M
(d) (S)
Ánh xạ g: {d} → {d}, M 7→ M′ là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của {d}. Do đó dùng phép biến đổi lên chùm {A} và chùm {B} ta thấy ánh xạ f: {A} → {B}, AM 7→BM′ là xạ ảnh.
Nếu AB đi qua một giao điểm (nếu có) của d và (S) thì f(AB) = BA. Do đó f là phép chiếu xuyên trục và quỹ tích N = AM ∩ BM’ là một đường thẳng (trục chiếu).
Đường thẳng này đi qua các giao điểm (nếu có) của d và (S).
Nếu AB không đi qua giao điểm nào của (d) và (S) thì f(AB)6=BA. Do đó f không là phép chiếu xuyên trục và quỹ tích N là một đường bậc hai không suy biến đi qua A và B và các giao điểm (nếu có) của d và (S).