Bài tập 3.6.1. Dùng mô hình xạ ảnh để chứng minh định lý của hình học Ơclit : Ba đường cao trong tam giác đồng quy.
Giải
z x A
C
α R I β J P γ Q ∆
B
Đường thẳng vô tận là ∆, hai điểm xyclic là I và J. Tam giác ABC được thể hiện bởi đơn hình ABC có các đỉnh ở ngoài ∆.
Đặt P = BC∩∆, Q = CA∩∆, R = AB ∩∆. Ba đường thẳng x, y, z đi qua A, B, C thể hiện ba đường cao của tam giác ABC khi và chỉ khi chúng cắt∆ lần lượt tại α, β, γ sao cho ba cặp điểm(P, α), (Q, β), (R, γ) chia điều hoà I, J.
Nói cách khác (P, α),(Q, β), (R, γ) là ba cặp điểm tương ứng của một biến đổi xạ ảnh f trên∆nhận I, J làm hai điểm bất động. Do đó theo hệ quả của định lý Desargues thứ hai (phần đảo), x, y, z đồng quy.
Bài tập 3.6.2. Trong mặt phẳng Ơclit cho hai đường thẳng phân biệt a, b và một điểm A thuộc a nhưng không thuộc b. Một điểm C không thuộc a, b. Một đường thẳng thay đổi đi qua C cắt a tại M, cắt b tại N. Tìm họ đường thẳng đi qua M và vuông góc với AN.
C
A N
M Q E
a b
J ∆ P I
Giải
Gọi∆là đường thẳng vô tận và I, J là hai điểm xyclic thì A và C không thuộc ∆, a và b không trùng với ∆. Đặt P =AN ∩∆. Đường thẳng đi qua M thẳng góc với AN, được thể hiện bằng một đường thẳng xạ ảnh đi qua M, cắt ∆ tại Q thoả mãn [PQIJ]
= -1.
Tìm quỹ tích các đường MQ như sau: có ánh xạ f : a→ ∆ biến M thành Q theo quy tắc: choM ∈a, nối MC cắt b tại N, nối NA cắt∆tại P, lấyQ∈∆sao cho [PQIJ]
= -1, đặt f(M) = Q.
Dễ dàng thấy rằng f là một ánh xạ xạ ảnh vì nó là phân tích f =k◦h◦g; trong đó:
g :M 7→N là một phép thấu xạ xuyên tâm, h:N 7→P cũng là phép thấu xạ xuyên tâm.
k :P 7→Q là một biến đổi xạ ảnh đối hợp trên∆nhận I, J làm hai điểm bất động.
Đặt E = a ∩∆, B = EC ∩∆, H = AB ∩∆. Khi đó f(E) = E khi và chỉ khi [HEIJ] = −1.
Vậy nếu [HEIJ] = −1 thì là phép chiếu xuyên tâm và quỹ tích các đường thẳng MQ là một chùm đường thẳng có tâm là tâm chiếu. Nếu[HEIJ]6=−1thì theo định lý Steiner đối ngẫu, quỹ tích các đường thẳng MQ là hình bao ngoại tiếp của một đường ôvan tiếp xúc với a và∆.
Suy ra lời giải của bài toán Euclide đã cho như sau:
• Nếu đường thẳng đi qua C song song với a, cắt b tại một điểm B màAB ⊥athì các đường thẳng đi qua M và vuông góc với AN lập thành một chùm.
• Nếu đường thẳng đi qua C, song song với a, không cắt b hay cắt b tại một điểm β nhưng AB không vuông góc với a thì quỹ tích các đường thẳng đi qua M và vuông góc với AN là tập các tiếp tuyến của một Parabol mà a là một tiếp tuyến cho trước.
Bài tập 3.6.3. Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit để giải các bài toán sau đây trong mặt phẳng Ơclit:
a. Cho điểm D không nằm trên các cạnh của tam giác ABC. Các đường thẳng a, b, c đi qua D lần lượt vuông góc với DA, DB, DC và lần lượt cắt BC, CA, AB tại
A′, B′, C′. Chứng minh rằng ba điểm A′, B′, C′ thẳng hàng.
b. Cho điểm O không nằm trên cạnh của tam giác ABC và đường thẳng d đi qua O. Các đường thẳng a, b, c đi qua O lần lượt đối xứng với các đường thẳng OA, OB, OC đối với d và lần lượt cắt BC, CA, AB tại A′, B′, C′. Chứng minh rằng ba điểm A′, B′, C′ thẳng hàng.
c. Cho ba dây cung AB, CD, EF của một đường tròn (O) sao cho CD và EF đi qua trung điểm H của AB. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB với CE và DF. Chứng minh rằng, H cũng là trung điểm của MN. Nếu thay đường tròn (O) bằng một đường cônic thì bài toán còn đúng không?
d. Cho tiếp tuyến d tại điểm A của đường tròn và một điểm C trên đường kính AB, C nằm giữa A và B. Một đường thẳng thay đổi qua C cắt đường tròn tại N và N′. Các đường thẳng BN, BN′ lần lượt cắt d tại M và M′. Gọi T và T’ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến khác d của đường tròn đi qua M và M′. Chứng minh rằng, các đường thẳng T T′ luôn đi qua một điểm cố định và giao điểm của MT và MT′ nằm trên một đường thẳng cố định.
Giải
A
C D I
b a c
∆ β α′ γ β′ α γ′
J
B
a) Gọi đường thẳng vô tận là ∆ và hai điểm xyclic là I và J. Bốn điểm A, B, C, D không nằm trên ∆ và tạo thành một hình bốn đỉnh ABCD. Điều kiện a ⊥ DA, b⊥DB,c⊥DC theo nghĩa Ơclit được thể hiện bằng nghĩa xạ ảnh như sau: Nếu đặt α=AD∩∆,β =BD∩∆, γ =CD∩∆, α′ =a∩∆,β′ =b∩∆,γ′ =c∩∆thì (α, α′), (β, β′), (γ, γ′) cùng chia điều hoà I, J.
Suy ra có biến đổi xạ ảnh f : ch{D} → ch{D} thoả mãn f(AD) = a, f(BD) = b, f(DC) = c.
Áp dụng hệ quả định lý Desargues thứ hai đối ngẫu ta được ba điểmA′ =a∩BC, B′ =b∩CA, C′ =c∩AB thẳng hàng.
b)
Đường thẳng vô tận là ∆, hai điểm xyclic là I và J. Các điểm A, B, C, O lập thành một hình bốn đỉnh ABCO có các đỉnh không thuộc∆. ĐặtD= (d)∩∆, điểmS ∈∆ sao cho [SDIJ] =−1. Phép đối xứng (thẳng góc) qua trục (d) theo nghĩa Ơclit được
D
β γ′ J α S (∆)
O A
B C′
B′ B A′ β′
I γ
∆
thể hiện bằng phép thấu xạ đối hợp f tâm S, trục (d).
Đặt α =OA∩∆, β =OB∩∆, γ =OC∩∆, α′ =f(α), β′ =f(β),γ′ =f(γ)thì α′, β′, γ′ thuộc ∆ và [SDαα′] = −1, [SDββ′] = −1, [SDγγ′] = −1. Các đường thẳng a=Oα′,b =Oβ′,c=Oγ′ là các đường thẳng đối xứng với OA, OB, OC qua (d) theo nghĩa Ơclit.
Rõ ràng biến đổi xạ ảnh đối hợp g : ch{O} → ch{O}, biến Oα, Oβ, Oγ thành a, b, c. Do đó theo hệ quả của định lý Desargues thứ hai (đối ngẫu) ta được ba điểm A′, B′, C′ thẳng hàng.
c)
F I
J ∆
P Q C E
B D MT A R
K
Gọi ∆ là đường thẳng vô tận và I, J là hai điểm xyclic. Đường tròn (G) được thể hiện bằng một đường ôvan đi qua I, J. Các điểm A, B, H nằm bên ngoài ∆ và đặt K =AB∩∆thì [ABHK] = −1.
Áp dụng định lý Desargues thứ hai vào chùm đường bậc hai đi qua C, D, E, F (cụ thể là (G) và đường bậc hai suy biến (CE, FD) với cát tuyến AB, ta có một biến đổi xạ ảnh đối hợpf :hg{AB} →hg{AB}mà f(A) = B, f(M) = N.
Vì [ABHK] = −1, f(H) = H, f(K) = K. Do đó [MNHK] =−1, và vì K là điểm vô tận của AB nên điều này có nghĩa Ơclit rằng H là trung điểm của MN.
d)
O
I J ∆
P
M
M′ T
T′
A N′
N
B
C E
D
Gọi ∆ là đường thẳng vô tận và I, J là hai điểm xyclic. Đường tròn (G) được thể hiện bằng một đường ôvan đi qua I, J. Tâm đường tròn là cực của ∆ đối với (G).
Đường kính AB là đường thẳng đi qua O. C ∈ AB nhưng không thuộc ∆ và C 6=O.
Theo định lý Frêgiê ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp g : ch{B} →ch{B}, BN 7→ BN′. Do đó có biến đổi xạ ảnh đối hợpf :d→d, M 7→M′. Suy ra:
i) Áp dụng định lý Frêgiê đối ngẫu vào (G), tiếp tuyến (d) và biến đổi xạ ảnh đối hợp f thì các điểm D = MT ∩MT′ chạy trên một đường thẳng cố định (l) nào đó.
Đặt P = (d)∩∆thì P là cực của AB. Ta có T T′ là đối cực của D, mà D chạy (l) thì T T′ phải đi qua cực của (l). Vì (l) đi qua P nên cực của (l) nằm trên AB. Vậy chuyển sang bài toán Ơclit ta kết luận rằng các đường thẳng T T′ đi qua một điểm cố định trên đường kính AB.
ii) Khi N ≡ A thì N” ≡B và M ≡A, M′ ≡ (d)∩∆. Vậy (l) đi qua (d)∩∆. Do đó chuyển sang bài toán Ơclit ta kết luận rằng các điểm D chạy trên một đường thẳng cố định song song với (d).