Bài tập 3.4.1. Trong P2 cho hai tam giác ABC, A′B′C′ thoả mãn điều kiện của định lý Desargues (nghĩa là các đường thẳngAA′, BB′, CC′ đồng quy). Chứng minh rằng, 6 giao điểm sau đây nằm trên một đường bậc hai: AB ∩B′C′, AB∩C′A′, BC∩A′B′, BC∩C′A′, CA∩A′B′, CA∩B′C′.
Giải
Gọi N = AB ∩B′C′, M = AB ∩C′A′, Q = BC ∩A′B′, R = BC ∩C′A′, P = CA∩A′B′, K =CA∩B′C′.
Vì AA′, BB′, CC′ đồng quy nên theo định lý Desargues thứ nhất áp dụng vào hai đơn hình ABC, A′B′C′ ta có α= BC∩B′C′, β =CA∩C′A′, γ =AB ∩A′B′ thẳng hàng.
Do đó hình sáu đỉnh MNKPQR có ba cặp cạnh đối diện giao nhau tại ba điểm thẳng hàngα, β, γ.
Theo định lý Pascal đảo, tồn tại một đường bậc hai không suy biến (S) đi qua M, N, K, P, Q, R.
Đối ngẫu: Trong P2 cho hai đơn hình ABC, A′B′C′ có các giao điểm AB∩A′B′, BC∩B′C′,CA∩C′A′thẳng hàng. Khi đó sáu đường thẳngAB′, B′C, A′C, A′B, BC′, C′A tiếp xúc với một đường bậc hai không suy biến (S) nào đó.
Bài tập 3.4.2. Trong mặt phẳng afin cho Hypebol (H) với hai đường tiệm cận a và b. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên (H). Gọi a′ là đường thẳng đi qua A và song song với a, b′ là đường thẳng đi qua B và song song với b. Đường thẳng AC cắt b′ tại P, đường thẳng BD cắt a′ tại Q. Chứng minh rằng PQ // CD.
Giải
Gọi không gian xạ ảnh P2, trong đó, A2 =P2\W.
Ta có a, b là hai đường tiệm cận của (H) trong A2 nên trong không gian xạ ảnh P2 a, b là hai tiếp tuyến của ôvan (S) trong đó a tiếp xúc với (S) tạiA′, b tiếp xúc với (S) tạiB′ và W =A′B′.
Trong không gian A2, ta cóa//a′ nên a∩a′ ∈A′B′ trongP2. Do a′∩A′B′ =A′ suy ra a∩a′ =A′.
Tương tự b∩b′ =B′. Do đó ta có hình vẽ
a b
A′ B′
D B C
A P
Q
H
Xét hình 6 đỉnh A′B′BDCA nội tiếp ôvan có : AA′∩BD=Q;
BB′∩CA=P; A′B′∩CD =H.
Theo định lý Paxcan thì Q, P, H thẳng hàng.
⇒ PQ∩ CD = H ∈W.
⇒ PQ // CD trongA2.
Bài tập 3.4.3. Trong mặt phẳng afin cho tam giác ABC và một Parabol thay đổi luôn luôn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA. Gọi P, Q, R là các điểm tiếp xúc lần lượt nằm trên AB, BC, CA. Chứng minh:
a. Mỗi đường thẳng RP, PQ, QR đều đi qua một điểm cố định.
b.Các đường thẳng AQ, BR, CP đồng quy.
Giải
α
β γ D
B C
P Q
R E I
∆
A
Goi∆là vô cùng của mô hình xạ ảnh củaA2 thực. Tam giác cố định ABC được thể hiện bằng một đơn hình cố định có ba đỉnh không thuộc∆. Gọi các điểm vô tận của AB, BC, CA lần lượt là α, β, γ. Parabol biến thiên (G) được thể hiện bởi một đường ôvan biến thiên tiếp xúc với AB, BC, CA, ∆ tại P, Q, R, D. Theo định lý Brianshon áp dụng vào hình bốn đỉnh BCγD, các đường thẳng QD, RP, Bγ, Cα đồng quy tại điểm I. Vậy đường thẳng RP đi qua điểm cố địnhI =Bγ ∩Cα.
Một cách tương tự ta chứng minh được rằng PQ đi qua điểm cố địnhJ =Cα∩Aβ và QR đi qua điểm cố định K =Aβ∩Bγ.
Lại theo định lý Brianshon áp dụng vào hình ba đỉnh ABC thì AQ, BR, CP đồng quy tại một điểm.
Bài tập 3.4.4. Cho một đường ôvan (S) thay đổi đi qua 4 điểm cố định A, B, C, D.
Tiếp tuyến của (S) tại B cắt AC tạiB′, tiếp tuyến của (S) tại C cắt BD tại C′. Chứng
minh rằng, đường thẳng B′C′ luôn đi qua một điểm cố định.
Phát biểu bài toán đối ngẫu.
Giải
A
B
C D
B′ C′ O
+) Hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan (S).
Gọi AD ∩BC = O, tiếp tuyến tại B cắt AC tại B′, tiếp tuyến tại C cắt BD tạiC′. Theo định lý Paxcan ta có B′, O, C′ thẳng hàng.
Mà A, B, C, D cố định nên O = AD ∩BC cố định.
Vậy B′C′ luôn đi qua điểm cố định O.
Bài toán đối ngẫu: Cho 4 đường thẳng cố định a, b, c, d tiếp xúc một ôvan (S).
Đường thẳng m đi qua tiếp điểm của b với (S) và điểm a∩c, đường thẳng n đi qua tiếp điểm của c với (S) và điểm b∩d. Tìm quỹ tích củam∩n.
Bài tập 3.4.5. Cho hai điểm A, B cố định trên ôvan (S) và một điểm F không thuộc (S). Một đường thẳng thay đổi đi qua F cắt (S) tại M và N. Tìm quỹ tích giao điểm của AM và BN, của AN và BM.
Phát biểu bài toán đối ngẫu.
Giải
Gọi giao điểm của AN và BM là Q, giao điểm của AM và BN là P.
Xét f: {A} → {B}, AQ 7→BQ.
Phân tích: f = h ◦ g trong đó:
g: {A} → {B} biến AQ thành BM. g là ánh xạ xạ ảnh theo định lý Steniner.
h: {B} → {B} biến BM thành BN ≡ BQ. h là biến đổi xạ ảnh đối hợp theo định lý Frêgiê.
Suy ra f là ánh xạ xạ ảnh.
+) Nếu A, B, F thẳng hàng thì f(AB) = BA nên f là phép chiếu xuyên trục, suy ra quỹ tích Q là một đường thẳng, đó chính là đối cực của F đối với (S).
+) Nếu A, B, F không thẳng hàng thì f(AB)6=BA nên f không là phép xuyên trục.
Suy ra quỹ tích Q là đường bậc hai không suy biến đi qua A và B.
Vì M, N có cùng vai trò nên quỹ tích Q và P trùng nhau.
Đối ngẫu:Cho đường ôvan (S) và đường thẳng d không tiếp xúc với (S), hai đường thẳng phân biệt a và b tiếp xúc với (S). Một điểm D chạy trên d, hai tiếp tuyến của (S) đi qua D là m và n. Gọi p là đường thẳng nối a∩m với b∩n, và q là đường thẳng nối a∩n với b∩m. Khi đó nếu a, b, d đồng quy thì các đường thẳng m, n đi qua một điểm cố định. Còn nếu a, b, d không đồng quy thì các đường thẳng m, n tiếp xúc với một ôvan nào đó.
Bài tập 3.4.6. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường ôvan (S). Gọi a, b là các tiếp tuyến của (S) tại A và B, M =AC∩b, M′ =BC∩a, N =AD∩b, N′ =BD∩a.
a. Chứng minh rằng, các đường thẳng AB, CD, M’N, MN’ đồng quy.
b. Gọi O là giao điểm của a và b. Chứng minh:
[O, B, M, N] = [A, O, M′, N′].
Phát biểu các kết quả đối ngẫu.
Giải
A
B
C M
M′
N N′
P O
a) Xét hình bốn đỉnh ABCD có:
a∩BC = M′ b∩DA = N AB∩CD = P
Theo định lý Paxcan cho hình bốn đỉnh ta có P, N, M′ thẳng hàng.
Tương tự, xét hình bốn đỉnh DBAC có:
a∩BD = N′ b∩AC = M BA∩CD = P
Theo định lý Paxcan ta được P, N′, M thẳng hàng VậyAB, CD, M′N, MN′ đồng quy tại P.
b) Xét chùm {P} có :
[P O, P B, P M, P N] = [P O, P A, P N′, P M′]
⇒ [O, B, M, N] = [O, A, N′, M′] = [A, O, M′, N′].
Kết quả đối ngẫu:Cho bốn đường thẳng cùng tiếp xúc với ôvan (S). Gọi A, B là tiếp điểm của (S) với a và b, các đường thẳng m đi qua a∩cvà B, m’ đi qua b∩c và A, n đi quaa∩d và B, n’ đi quab∩d và A. Khi đó bốn điểm a∩b, c∩d, m′∩n, m∩n′ thẳng hàng. p là đường thẳng đi qua A và B thì [p, b, m, n] = [a, p, m’, n’].
Bài tập 3.4.7. Cho ôvan (S) và hai điểm I, J trên nó. Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên tiếp tuyến của (S) tại I và J. Vẽ AC và BD tiếp xúc với (S) lần lượt tại C và D. Ký hiệu P = ID ∩ AC, Q = JC ∩ BD. Chứng minh rằng PQ ∩ AB ∈ IJ.
Phát biểu bài toán đối ngẫu.
Giải
I
J A
B C
P Q
O D
M
Xét hình bốn đỉnh CDIJ nội tiếp ôvan (S). Gọi CD ∩ IJ = O, DI ∩ CJ = M.
Theo bài ra: tiếp tuyến tại C giao với tiếp tuyến tại I tại A.
Theo định lý Paxcan ta có A, O, M thẳng hàng.
Xét hình bốn đỉnh DCJI có tiếp tuyến tại D giao với tiếp tuyến tại I tại điểm B.
CD ∩ IJ = O, DI∩ CJ = M. Theo định lý Paxcan suy ra B, O, M thẳng hàng.
Vậy AB, CD, IJ đồng quy tại O.
Mặt khác, ta cũng có:
Tiếp tuyến tại C giao với ID tại P.
Tiếp tuyến tại D giao với CJ tại Q.
CD ∩ IJ = O.
Theo định lý Paxcan cho hình 4 đỉnh CJID ta được P, Q, O thẳng hàng.
Vậy AB, PQ, IJ đồng quy tại O hay PQ ∩AB ∈ IJ.
Bài toán đối ngẫu: Cho ôvan (S) và hai đường thẳng m, n tiếp xúc với (S). Hai đường thẳng a và b đi qua hai tiếp điểm của (S) với m và n. Vẽ hai đường thẳng c, d cắt (S) tại hai điểm a∩c và b∩d, p là đường thẳng nối m∩d và a∩c, q là đường thẳng nối n∩cvà b∩d. Chứng minh rằng đường thẳng nối p∩q và a∩b đi qua giao điểm của m và n.