Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ TÍN HIỆU
2.1. Phép biến đối Fourier (FT - Fourier Transform)
Trong phân tích tín hiệu, người ta thường áp dụng các phép biến đổi lên tín hiệu để có được thông tin khác mà tín hiệu ban đầu không có. Có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng nhưng biến đổi Fourier là một công cụ rất mạnh được sử dụng phô biến. Đặc biệt. phép biến đổi Wavelet được phát triển dựa trên cơ sở nền tảng của phép biến đổi Fourier.
Các tín hiệu đo được trong thực tế đều là tín hiệu trong miền thời gian được biểu điển lên đô thị bằng hai trục thời gian và biên độ. Tuy nhiên, trong xử lý tín hiệu thi tín hiệu thường được chuyển sang miễn tan số để thực hiện các mục đích khác nhau như lọc nhiều, nén hoặc nhận dạng tín hiệu... Để chuyên tín hiệu từ miền thời gian sang miễn tan số, người ta thường dùng phép biến đổi Fourier.
Hình 2.1. Phép biến đổi Fourier [6]
2.1.1. Phép biến đổi Fourier liên tục
Xét tín hiệu x(t). Biến đôi Fourier là tích phân được lấy trong toàn miền thời gian của tín hiệu x(t) với ham mũ cơ số e. Sau biến đổi, ta thu được phô tan số
X (@) của tín hiệu x(t) ban đầu.
X(ứ)= [x(t)Ê “& (2.1)
Trong đó:
x(t): tín hiệu trong miễn thời gian
17
- X(@): tín hiệu trong miền tan số (phô tan số)
- @=2Zƒ: tần số góc của tín hiệu.
Ngoài ra, dé thu được tín hiệu nguyên mẫu trong miễn thời gian, ta áp dụng biến đôi Fourier ngược. Cũng tương tự như biến đôi Fourier, biến đôi Fourier ngược
là:
x(t)=— | X(ứ).cÊ “đe (2.2)
Biến đổi Fourier và Fourier ngược được ký hiệu như sau: x(t) X(@). Bản chất của phép biến đôi Fourier chính là chia một tín hiệu thành tông các hàm sin
ứng với các tân sô khác nhau.
Hình 2.2. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu có chu kỳ 2.1.2. Biến đổi Fourier rời rac (DFT - Discrete Fourier Transform)
Biến đôi Fourier liên tục được sử dụng rộng rãi trong phân tích tín hiệu. Tuy nhiên, phép biến đổi này có những hạn chế nhất định: độ dài tín hiệu là vô cùng
trong khi tín hiệu thực tế có chiều dài hữu hạn, mặc khác, biến tần số là liên tục trong khi yêu cầu xử lý trên máy tính là rời rạc. Xuất phát từ hạn chế trên đã dẫn đến sự ra đời của biến đổi Fourier rời rac.
Xét tín hiệu x(n) có chiều dài hữu han L. Biến đôi Fourier rời rac N điểm ( N >L) của tín hiệu ban đầu x(n) được xác định theo công thức:
X(&)=Š xíny sở (2.3)
Biên đôi Fourier ngược có dang:
YS X(K)e* (2.4)
Với k=0, 1,.., V-l; n=0, Lu, Nel
Trong đó:
- x(n): tín hiệu vào
- X(k): tín hiệu ra sau phép biến đổi DFT - N:chu kỳ lây mẫu
Từ tín hiệu liên tục tiền hành lấy mẫu ta được tín hiệu rời rạc.
1# H 7 EF
Hình 2.3. Tin hiệu liên tục và tín liệu rời rac
2.1.3. Biến đổi Fourier nhanh (FFT ~ Fast Fourier Transform)
Biến đôi Fourier rời rac (DFT) được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng của xử lý tín hiệu số để xác định các thành phân tần số của tín hiệu và thực hiện lọc tín hiệu trong miền tần số. Tuy nhiên, phương pháp này gặp phải hạn chế là tốc độ tính toán chậm. Dé khắc phục hạn chế trên, phép biến đổi Fourier nhanh đã ra đời với
mục đích cải tiền tốc độ tính toán của DFT.
Nguyên tắc của phương pháp này là chia nhỏ tập dữ liệu mẫu ra thành các tập
con nhỏ hơn sau đó thực hiện biến đôi Fourier rời rạc trên từng tập con, nhờ đó ta loại bỏ được các phép tính toán không cần thiết, qua đó, giảm thời gian tính toán và
độ phức tạp của thuật toán.
Các bước tiến hành biến đôi Fourier nhanh :
- Bước 1; Phân ly DFT N điểm thành hai DFT thành phần N/2 điểm. Từ đó, xác định phương trình tái tông hợp.
19
- Bước 2: Phân ly mỗi DFT N/2 điểm thành 2 DFT N/4 điểm. Xác định phương trình tái tông hợp.
- Bude 3: Cứ tiếp tục như thé cho đến khi tạo ra V/2 DFT 2 điểm.
Vậy biến đổi Fourier nhanh đã góp phan cải thiện tốc độ tính toán và giảm đi độ phức tạp của thuật toán. Phép biến đôi Fourier nhanh được ứng dụng rộng rãi
trong phát hiện nhiễu tín biệu.
2.1.4. Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT - Short Time Fourier
Transform)
Phép biến đổi Fourier là một công cụ mạnh trong phân tích tín hiệu. Tuy nhiên. phép biến đổi nay có nhược điểm là khi chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số thì mọi thông tin về thời gian bị mat đi trong miền tần số do đó không thê biết được các sự kiện xảy ra tại thời điểm nào. Mặc khác. phép biến đôi Fourier không thích hợp với những tín hiệu không ôn định. Nhằm khắc phục hạn chế trên, năm 1946, Dennis Gabor đưa ra phép biến đôi Fourier cải tiến thực hiện
trong thời gian ngăn nên được gọi là phép biến đôi Fourier thời gian ngắn.
a. Nguyên tắc
Nguyên tắc của phương pháp này là phân chia tin hiệu ra thành từng đoạn đủ
nhỏ sao cho có thể xem tín hiệu trong mỗi đoạn là tín hiệu ôn định, sau đó, thực
hiện biến đôi Fourier trên từng đoạn tín hiệu này. Như vậy STFT vừa có tính định vị theo tần số do tính chất của biến đổi Fourier vừa có tính định vị theo thời gian do được tính trong khoảng thời gian ngắn.
Biên độ
0 Thời gian 0 Thời gi an
Hình 2.4. Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn
20
b. Dinh nghĩa
Tín hiệu x(t) được nhân với một hàm cửa số W (r-r} dé lay được tín hiệu trong một khoảng thời gian ngắn xung quanh điểm 7. Sau đỏ, phép biến đôi
Fourier được thực hiện trên đoạn tín hiệu này và thu được một hàm phụ thuộc vào
hai tham biến ŠTFT (ứ,7):
STET(œ.+)= f Wˆ(t-r)x(r)e “at (2.5)
-..
STFT ngược được tính bởi công thức:
~ ~#
x(r}= | [ STFT (@.r)W" (1-r)e"dedr (2.6)
c. Tinh chat
- STFT do sự giống nhau giữa tín hiệu với phiên ban dịch và biến điệu của hàm
cửa sô cơ bản W (fr).
- STFT có tính định vi thời gian — tan số.
- Thao tác dịch và biến điệu hàm cửa số không làm thay đôi kích thước hàm cửa số mà chỉ tịnh tiễn theo trục thời gian — tần số.
- STFT thé hiện mỗi quan hệ giữa thời gian và tân số tín hiệu, cung cấp thông tin về thời gian và tần số xuất hiện sự kiện.
- Độ phân giải theo thời gian phụ thuộc vào kích thước cửa số d. Hạn chế
Phép biến đôi Fourier thời gian ngắn có ưu điểm là cho một sự hòa hợp khi mồ tả tín hiệu giữa hai miền thời gian — tần số. Tuy nhiên, nó gặp phải hạn chế là khi đã chọn một cửa số phân tích thì kích thước cửa số không thay đôi trên toàn bộ mặt phẳng thời gian — tan số. Mặc khác, đối với các tín hiệu không ồn định thì STFT không thê đạt được độ phân giải tốt cả trong miền thời gian và miền tan số. Nếu
21
chon cửa số rộng dé phân tích các thành phan ôn định với độ phân giải tần số tốt thì
không phan tích được với độ phân giải thời gian tốt. Ngược lại, nêu chọn cửa sô hẹp
dé đạt được độ phân giải tốt về mặt thời gian thì độ phân giải tần số lại xấu đi. Mau
thuẫn này không thê giải quyết được với STFT.