Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ TÍN HIỆU
2.2. Phép biến đổi Wavelet (WT - Wavelet Transform)
2.2.2. Một số khái niệm cơ bản
a. Độ phân giải thời gian - tần số
Khi phân tích những tín hiệu không ôn định như tín hiệu điện tim thì cần biết thông tin ca về mặt tan số lẫn thời gian của tín hiệu. Vậy một phép biến đối thích
23
hợp với tín hiệu không ôn định phái đồng thời có tính định vị thời gian và tính định vị tần số. Tính định vị của một phép phân tích phụ thuộc vảo tính định vị của hàm
cơ sở được sử dụng trong phép phan tích đó nên các ham cơ sở được sử dụng trong
phân tích các tín hiệu không ôn định phải định vị tốt trong miền thời gian và tân số.
Tính định vị của một hảm cơ sở phụ thuộc vào mức độ trải rộng của hảm cơ sở
đó theo thời gian và tan số. Nếu mức độ trải rộng của hàm cơ sở càng nhỏ thì độ
phân giải thời gian — tần số của phép biến đổi càng lớn, tính định vị của hàm cơ sở
theo thời gian — tân sô càng cao.
b. Nguyên lý bắt định
Trong phân tích tín hiệu, phép phân tích cần phải đạt được độ phân giải tốt trong cả miễn thời gian và tần số. Tuy nhiên. điều này không thé đạt được vì độ
phân giải thời gian — tần số của một hàm cơ sở cũng tuân theo nguyên lý bat định
Heisenberge. Nguyên lý đặt ra một giới hạn tối đa cho độ phân giải thời gian — tan
số của bat kỳ một phép biến đổi tuyến tính nào.
apars (2.7)
2z
Theo nguyên lý bat định Heisenberge. không thê xác định chính xác tần số nào xảy ra ở thời điểm nào mà chỉ có thể biết được khoảng tần số nào xảy ra ở một khoáng thời gian nào mà thôi. Điều đó có nghĩa la không thé đạt được độ phân giải tốt trong miễn thời gian và miền tan số. Nếu độ phân giải thời gian càng tốt thì độ phân giải tần số càng giảm và ngược lại.
c. Phép co giãn và dịch chuyển
Xéthàm ƒ(x) xác định trên R thì:
f4(x)= ƒ (=) (2.8)
Trong đó:
- fs (x) chính là ham f(x) được co giãn và dich chuyền di.
24
- ad: Hệ số co giãn
- b; Hệ số dịch chuyền
Hàm f có chu kỳ T là tuần hoàn nếu: f (t+7)= f(t). vteR.
2.2.3. Phép biến đổi Wavelet liên tục (CWT ~ Continous Wavelet Transform)
a. Định nghĩa
Biến đôi Wavelet liên tục được xác định là tông trên toàn khoảng thời gian của
tín hiệu nhân theo tỷ lệ, dịch mức của hàm Wavelet [10].
L7 .(t-b
CWT (a,b)=—= | x(t)w (“”hu (2.9 (ô5)=<= Jx()wV{= )
Trong đó:
- x(t): tín hiệu vào
-W (rt) : Ham Wavelet me (Mother Wavelet).
.(r-b} tà TY SA : &-. 25, ga 3
- oy (=): phiên bản của ham Wavelet mẹ đã được co dẫn và dich chuyên
a
- a: Hệ số ty lệ (co giãn).
- b:Hé số dịch chuyên.
. : Hệ số chuẩn hóa đảm bảo tích phân năng lượng độc lập với a và b.
a
Như vậy tin hiệu cần phân tích sẽ được nhân với một phiên bản của Wavelet mẹ đã được dịch chuyên theo hệ số dịch chuyên b và co dãn theo hệ số tỷ lệ a sau đó lay tích phân trên toàn miễn thời gian. Kết quả là ở đầu ra thu được các hệ số Wavelet C là một hàm theo các hệ số a và b. Nhân mỗi hệ số với các Wavelet theo
ty lệ và dịch mức tương ứng lại hợp thành tín hiệu nguyên thủy.
b. Định tỷ lệ và dịch chuyên Wavelet
Định tỷ lệ: định tỷ lệ Wavelet là kéo giãn hoặc co lại các Wavelet, được đặc
trưng bởi hệ SỐ tỷ lệ a. Hệ SỐ tỷ lệ a tỷ lệ nghịch với tần số của tín hiệu:
25
- _ Hệ số tỷ lệ càng nhỏ thì Wavelet càng co lại nhiều, chỉ tiết thay đổi nhanh do đó
có khả năng biểu điển các tín hiệu có thành phan tan số cao hơn.
- Hệ số tý lệ càng lớn thì Wavelet càng dẫn ra, chi tiết thay đổi chậm hơn, thô hon do đó có thê biéu diễn các tín hiệu có thành phan tần số thấp hơn.
Hình 2.8 cho thấy sóng Sin ứng với các hệ số tỷ lệ a khác nhau:
a
f(x)=sin(4x) aqa=-
Hình 2.8. Sự co ddn sóng Sin
Dịch chuyên: địch chuyên một Wavelet là làm trễ hoặc sớm sự bắt đầu của nó
đi K mẫu. Dịch chuyên y(t) đi & mẫu ta được y(t-k).
br
Hình 2.9. Dich chuyén Wavelet [6]
c. Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục
Biến đôi Wavelet liên tục là tông trên suốt khoảng thời gian của tín hiệu được nhân bởi phiên bản tỷ lệ và dịch của Wavelet [4]. Quá trình này tạo ra các hệ SỐ
Wavelet là hàm của tỷ lệ và vị trí. CWT gôm có 5 bước:
26
- Bước 1: Lấy một Wavelet và so sánh nó với khởi đầu của một tín hiệu nguyên
thủy.
- Bước 2; Tính toán giá trị C là đại lượng đặc trưng cho mức độ tương quan giữa
Wavelet với đoạn tín hiệu dang so sánh. Hệ số C càng cao chứng to Wavelet giống tín hiệu càng nhiều. Kết quả phụ thuộc vào loại Wavelet được chọn.
rane JVI
¢= o.oie2
Hình 2.10. Bude / và 2 cua CWT [6]
- Buée 3: Dịch chuyén Wavelet sang phai rồi thực hiện lại bước | và 2, tiếp tục thực hiện cho đến khi bao trùm toàn bộ tín hiệu.
Hình 2.11. Bước 3 ca CWT [6]
- Bước 4: Co giãn Wavelet và lặp lại từng bước từ 1 đến 3.
Tin hiệu š ON Vl
Wavelet pW
C=0.2247
Hình 2.12. Bước 4 của CWT [6]
- Bước 5: Lap lại từ bước 1 đến bước 4 cho tắt ca tỷ lệ
Sau khi thực hiện biến đổi Wavelet liên tục sẽ thu được một tập các hệ số
được tạo ra bởi những tỷ lệ khác nhau (co giãn) ứng với những đoạn tín hiệu khác
nhau. Các hệ số tạo thành kết quả hồi quy của tín hiệu nguyên thúy thực hiện trên các Wavelet. Như vậy, biến đôi Wavelet liên tục được thực hiện ở mọi tỷ lệ ứng với
toàn bộ tín hiệu.
27
Nếu biến đôi Fourier bị hạn chế bởi nguyên lý bất định Heisenberge ở chỗ là không thé đạt được độ phân giải tốt cả trong miễn thời gian lẫn trong miễn tần số thì với biến đôi Wavelet có thẻ đáp ứng được trong miền thời gian — tần số. Biến đôi Wavelet đưa ra một giải pháp rất linh hoạt như sau: nó thực hiện ở mọi ty lệ ứng với toàn bộ tín hiệu, tỷ lệ cao ứng với tần số thấp, tỷ lệ thấp ứng với tần số cao; thành phan tín hiệu tan số cao sẽ có độ phân giải tốt hơn trong miễn thời gian còn thành
phan tín hiệu tần số thấp sẽ phân giải tốt hơn trong miền tan số [6].
Hình 2.13. Mar phăng thời gian — tan số với biến đổi Wavelet
Trong hình 2.13 thé hiện rõ điều đó: ở thành phan tan số cao, bề rộng ở mặt phẳng tần số lớn trong khi bề rộng ở mặt phăng thời gian lại rất nhỏ, điều đó có nghĩa là ở thành phan tan số cao thì độ phân giải tốt hơn ở miễn thời gian và độ phần giải kém ở miền tan so. Ngược lai, ở thành phần tần số thấp thì bè rộng mặt phang tần số nhỏ trong khi bề rộng mat phẳng thời gian lớn. hay nói cách khác đi là độ phân giải tốt trong miền tần số và độ phân giải thấp trong miễn thời gian. Như
vậy, trong trường hợp này nguyên lý bất định vẫn được đảm bảo.