YCCĐ CÁC KHÓI LỚP KHÁC YCCDLOP10 LƯUY
1.6.2.3 Bài 2: XÁC SUÁT CỦA BIẾN CÓ
4.3.1. Yêu cầu cần đạt
Yêu câu can đạt của bài học:
- Nhận biết được định nghĩa cô điền của xác suất, nguyên lí xác suất bé.
- Tinh được xác suất của biến có trong một sé bài toán đơn giản bằng phương pháp tô hợp (trường hợp xác suất phân bố đêu).
- Tinh được xác suất trong một số thí nghiệm lặp bằng cách sử dụng sơ đỏ hình cây (ví dụ: tung xúc xắc hai lần, tính xác suất dé tong số cham xuat hiện trong
hai lần tung bằng 7, ...).
- _ Mô tả được các tính chat cơ bản của xác suất.
- _ Nhận biết được khái niệm biến có đối và tinh được xác suất biến có đối.
4.3.2. Phân tích nội dung
A/ HD KHOI ĐỘNG
Từ khoá: Biến cô đối, Xác suất của biến cô.
Lay ra ngau nhiên đông thời 2 viên bi từ một hộp chứa 5 viên bi xanh và Š viên bi đỏ có cùng kích thước và trọng lượng. Biến có lay được 2 viên bi cùng màu
hay 2 viên bi khác màu có khả năng xảy ra cao hơn? Trong bài này ta sẽ tìm hiểu công
thức tính xác suât đê có thê so sánh được kha năng xay ra của biến cô.
SGV nói rang HD mở dau đưa HS vào tình huéng có van dé. Bang trực quan thông
thường rất khó để so sánh khả năng xảy ra của hai sự kiện. Qua đó, HS thấy được cần phải sử dụng các công cụ tổ hợp dé tính xác suất.
Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy rằng bằng cảm nhận và kiến thức học được ở bài trước, một số HS có thé nhận ra rằng biên có “lấy được 2 viên bi cùng màu” có khả năng xảy ra thấp hơn “lay được 2 viên bi khác mau” bởi có thé đếm số trường hợp thuận lợi cho mỗi biến cô. HS bang cảm nhận có thé đưa ra dự đoán tuy nhiên không có cơ sở nào đề chứng minh dự đoán này. Lúc này van dé nảy sinh, HS nhận thay cần thiết có một công cụ dé có thé so sánh khả năng xảy ra của biến có một cách khoa học. Và phần mở đầu cũng cung cấp rang công cụ đó chính là công thức tính xác suất.
B/ HD KHAM PHA - THUC HANH - VAN DỤNG
1. Xác suat của biên cô HDKPI:
Gieo một con xúc xác cân đôi và đông chat. Hãy so sánh kha năng xảy ra của hai biên cô:
46
A: “Mặt xuat hiện có sô cham chan”.
B: "Mặt xuất hiện có số cham lẻ`.
Do con xúc xắc được ché tạo cân đôi và dong chat nên các mặt của nó đều có cùng khả
nang xảy xuất hiện. Không gian mẫu của phép thử trên là:
Q={1;2;3;4;5;6} .
Tập các kết quả thuận lợi cho biến có A là: A= {2:4:6}.
Khi đó, tỷ số = 5 được gọi là xác suất của biến cổ A.
Ví dụ minh hoa này đảm bảo HS có thé ôn lại được khái niệm xác suất đã được học từ các khối lớp trước. HĐKP nhắn mạnh việc các kết quả đồng khả nang xảy ra. SGV nhân mạnh rằng cần phải quy ước trước rằng trong các bài toán tính xác suất của phép thử gieo đồng xu. tung xúc xắc, ... can nêu rõ đồng xu hay các con xúc xắc là cân đối và đông chất; của phép thử lay vật ra từ hộp cần nêu rõ các vật có cùng kích thước và khối
lượng dé dam bảo các kết quả đều có cùng khả năng xảy ra.
SGK đưa ra ví dụ cụ thê từ đó tông quát lên định nghĩa xác suất cô điền:
Giả sử một phép thir có không gian mẫu Q gém hữu hạn các kết quả có cùng khả ' năng xảy ra và A là một biến cố.
Xác suất của biến cô A là một số, kí hiệu là PCA) được xác định bởi công thức:
n(A)
P(A) = n(Q)
Trong đó, n(A) và n(Q) lần lượt là kí hiệu số phan tử của tập A và @.
Chú ý:
- Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cô điển của xác suất.
- V6i mọi biến cố A, 0< P(4) 41.
- P(Q) =I1,P(Z)s=0.
Xác suất của mỗi biến cô đo lường khả năng xảy ra của biến có đó. Biến cô có kha năng xảy ra càng cao thì xác suất của nó càng gan I.
Như vậy, SGK đã nhắn mạnh được rằng bây giờ HS có thê đo lường được khả năng xảy
ra của biến cô bằng công thức tính xác suất như trên. Theo đó, xác suất của biến cô là
47
một số có giá trị từ 0 đến 1, và xác suất của biến có không thé bằng 0 và xác suất của
biến cố chắc chắn là 1.
Tiếp đó, GV đưa ra Ví dụ minh hoạ vận dụng công thức tính xác suất biến cô.
Ví dụ 1:
Hộp thứ nhất đựng 4 tam thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 4. Hộp thứ nhất đựng 6 tam thẻ cùng loại được đánh số từ | đến 6. Lấy ngẫu nhiên từ hộp một tam thẻ.
a) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử.
b) Goi A là biến có “Hai thẻ lấy ra có cùng số". Hãy liệt kê các kết qua thuận lợi
cho A và tính xác suất của A.
c) Gọi là biến cô “Tông hai số trên thẻ lây ra lớn hơn 8”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho B và tớnh xỏc suất của biến cú ệ.
Giải
a) Kết quả của mỗi lan thử là một cặp G; ÿ) với ¡ e{l;2;3;4} là số thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất và j€ {1;2;3;4;5;6} là số thẻ lay ra từ hộp thứ hai. Không gian mẫu
của phép thử là:
(1:1);(1;2):đ;:3):(1:4);(;5);(;6);
o-=J(2Л;(2);(2:3);(;4);(2;3);:6);
(3:1):(3:2);(3:3):(3:4):(3:5):(3:6);
(4;1);(4;2);(4:3);(4;4);(4:5);(4;6)
b) Không gian mẫu có 24 kết quả, tức là n(Q) = 24..
Biến có A={(;D;(:2);;3);(4;4)}.
Số các kết quả thuận lợi cho A là n(Ay=4. Do đó, xác suất của biến có A là
P(A)=—=-.(A) 364 1
c) Biến có B={(3;6);(4;5);(4:6)} .
Số cỏc kết quả thuận lợi cho B 1a m(ỉ) = 3. Do đú, xỏc suất của biến cỗ B là
P(B)=—=-.3 1 24 8
Vi dụ này chỉ mang tính chat cung cấp cách biểu diễn tính xác suất của một biến cô
trong trường hợp đơn giản. HS sẽ được thực hành áp dụng công thức thông qua HĐTHI như sau:
48
9 Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chat. Tính xác suất của các biến có:
a) “Hai mặt xuất hiện có cùng số cham”.
b) “Téng số cham trên hai mặt xuất hiện bằng 9”.
Tiếp đó, SGK đưa ra một ví dụ áp dụng công thức tính xác suất nhưng trong trường hợp số phần tử của không gian mẫu tương đối lớn, không phù hợp với việc đếm bằng phương pháp liệt kê. Đây cũng là trọng tâm của phan này, HS sẽ tính xác suất bằng cách sử dụng quy tắc đếm.
Ví dụ 2:
Trong hộp có 5 viên bi xanh và 7 viên bi trang có kích thước và khôi lượng như nhau.
Ta lay hai viên bi bằng hai cách:
- _ Cách thứ nhất: Lay ngẫu nhiên một viên bi, xem màu rồi trả lại hộp. Sau đỏ lại lấy một viên bi một cách ngau nhién.
- _ Cách thứ hai: Lay cùng lúc hai viên bi từ hộp.
Gọi A là biến cổ “Cá hai lần đều lay được viên bi màu trắng”. Với cách lấy nào thì biến cô A có khả năng xảy ra cao hon?
Giải
Theo cách lay bi thứ nhất, áp dụng quy tắc nhân ta có số phan tử của không gian mẫu là
n(€3) = 12.12 =144.
Số khả năng thuận lợi cho A là n(A) = 7.7 = 49.
# ˆ 4 ˆ ơ “ ộ 49
Do đó, xác suât của biên cô A theo cách lây bi thứ nhật là 144°
+ ES Ũ . ES x ` * a . ` 2
Theo cách lay thứ hai, số phan từ của không gian mẫu là n(Q)=C,, = 66.
Số khả năng thuận lợi cho A là n(A) =C =21.
: aa ; 21 7
Do đó, xác suất của biên cô A theo cách lay bi thứ hai la — ==.
l 66 22
` 49 7 ˆ .* s Ấ , £ fk £ Py . h
Vì 144 > 22 nen với cách lây thứ nhất thì biên cô A có khả năng xảy ra cao hơn.
SGV đề cập rằng mục đích của Ví dụ nảy là dé HS nhận thay được xác suất phụ thuộc vào cách thực hiện phép thử. HS sẽ nhận ra sự khác nhau giữa lay có hoàn lại và lay không hoàn lại, có ví dụ trực quan minh hoạ. Đây là một điều hết sức cần thiết nên được
49
GV giới thiệu và làm rõ khi dạy về quy tắc xác suất ở lớp 10. Bởi HS đã làm quen từ trước nên nhiệm vụ bây giờ là tập trung tỉnh đúng xác suất ở những thí nghiệm khác
nhau bang phương pháp tô hợp và có sự phân biệt giữa cách thực hiện.
HĐVD: Hãy tính xác suất của hai biến cô được nêu ra ở hoạt động khởi động của bài
học.
Sau khi HS đã có được công cụ can thiết để giải quyết van đề về khả năng xảy ra của sự kiện, HS sẽ quay vẻ giải quyết van dé ban dau bằng công cụ này. Tiền trình này phù hợp
với tiền trình day học khái niệm: Công cụ - Đối tượng - Công cụ: Bài toán mở đầu ngầm an rằng sử dụng xác suất sẽ giải quyết được vấn đề về khả năng xảy ra của sự kiện =>
Dịnh nghĩa về xác suất => Sử dụng xác suất là công cụ dé giải quyết các bài toán khác
nhau. trong đó có bai toán mở dau.
Tiếp đến, SGK trình bày một mục mà SGK chương trình 2006 không hè đẻ cập, đây là điểm mới của CT GDPT 2018 và là một công cụ đề tính xác suất, theo đúng YCCĐ đã
nêu ở phan trên.
2. Tính xác suất bằng sơ đồ hình cây
Ví dụ 3:
Tung một con xúc xắc cân đôi, đông chat 3 lân liên tiếp. Tính xác suat của biên cô A:
*Trong 3 lần tung có ít nhất 2 lần liên tiếp xuất hiện mặt sap”.
Giải
Kí hiệu S nếu tung được mặt sap, N nêu tung Lint Lin? Lin3 Ka qua 4xảyra được mat ngửa. Các kết quả có thé xảy ra trong 3 8 SE” " = &
i + a 4 das Ps ` N SSN có
lan tung được thé hiện ở sơ đô hình cây như hình §
§ SNS khéog
2 N << .
2.
N SNN_ khôn
Có tất cả § kết quả có thé xảy ra, trong đó có 3 § ` sa NSS có
„= : N NSN không
két quả thuận lợi cho A. Do đó: N : - -
N < § NNS khẽng
3 N NNN khếng
P(A)= rt Hình 2
Như vậy, SGK đã bám sát YCCĐ của chương trình GDPT 2018, đó là vận dụng quy tắc đếm bằng sơ đô hình cây để tính toán xác suất trong một số thí nghiệm lặp. Điều này là khả thi vì HS đã được làm quen với sơ đồ hình cây từ khi học chương vẻ quy tắc đếm và phương pháp tỏ hợp. Khi trình bay bằng sơ đỗ hình cây, HS sẽ nhận thấy được tập
50
không gian mẫu một cách trực quan, đồng thời nhanh chóng xác định được số kết quả thuận lợi cho biến cô cũng như số phan tử của không gian mẫu một cách nhanh chóng.
Tuy nhiên, việc sử dụng sơ đồ hình cầy không phải bao giờ cũng kha thi: sơ đồ hình cây chi phù hợp trong một số thí nghiệm có số phan tử của không gian mẫu không quá lớn và không có quá nhiều đối tượng được xét đến. GV nên nhắn mạnh hoặc đưa thêm một số ví đụ về bài toán có thé sử dụng sơ 46 hình cây đề trình bày một số loại sơ đồ hình cây đông thời cũng nên đưa ra ví dụ cho thấy sử dụng sơ đồ hình cây không phải là phương án hợp lí. HDTH2 tiếp theo SGK đưa ra là một ví dụ của một loại sơ đồ hình cây khác mà GV có thê giới thiệu.
Ba bạn Lan, Mai, Dào đặt thẻ học sinh của mình vào một hộp kín, sau đó mỗi bạn lay ngau nhiên một thẻ từ hộp. Tinh xác suất của biến cô “Không bạn nào lay đúng thẻ của minh”.
Sơ đồ của bài toán trên có thé như sau:
Mai Lan Đào
Lan —— Dao Không
oe <=. Đào — Lan Khong
Mai — Dao Không
Lan smy... — Mai Có
Mai —— Lan Có
Đào Lan — Mai Không
Sau đó, SGK chuyên sang một phan mới là Biến cố đối. Day cũng là phan kiến thức được dé cập trong SGK ở chương trình 2006. Trong một số trường hợp, HS cần sử dung biển có đối dé tính được xác suất dé dàng hơn. SGK đưa ra HDKP đẻ dẫn dắt như sau:
“2 Một hộp có 10 tam thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên cùng một lúc 3 thẻ. Tính xác suất của biến cô tích các số ghi trên 3 thẻ đó là số
chin.
SGV có gợi ý rằng ở hoạt động này, GV có thé đặt các câu hỏi dé dẫn dắt như “Khi nao
thì tích các số ghi trên 3 thẻ đó là số chin?” và “C6 nên phân tích thành nhiều trường
hợp dé đêm số cách lay thẻ thoả mãn yêu cầu hay không?”. Nhìn vào tinh huống này, chúng tôi cho rằng Gv chỉ nên gợi ý ở câu thứ nhất néu thay HS gặp khó khăn trong việc định hướng cách làm. GV để HS tiến hành theo cách thông thường: liệt kê các trường hợp thuận lợi của biến có. Lúc này, đa số HS sẽ nhận thấy sự khó khăn và phức tạp khi tiễn hành theo chiến lược này. Các HS này cảm nhận được rằng mình có thẻ giải quyết
51
được bài toán nhưng qua trình di đến đó lại gặp các khó khăn. Lúc này, GV mới dẫn dắt và giới thiệu về bien có đối. GV sẽ nhận xét vé sự khó khăn khi thực hiện theo cách thông thường, nên điều cần thiết là cần có một công cụ dé tính toán xác suất của những biển có như vậy một cách nhanh chóng và thuận tiện hon, đỏ chính là “Bién cô đối”.
SGK đưa ra kiến thức như sau:
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cỗ “Khéng xảy ra A”, kí hiệu là A, được gọi
‘ ` xã 4 4
là biên cổ đồi của A.
A=Q\A; P(A)+P(A)=1.
GV can nhấn mạnh rằng hai tập hợp biểu dién A va A không được có bat cứ một phan
tử chung nào, tức là néu như x là một phan tử của tập không gian mẫu Q thì hoặc là xeA hoặc x€ A. Ở đây, chúng tôi gợi ý GV có thé dùng sơ đồ Ven để biểu diễn mối
ˆ ằ ơơ-‹ Ê ` A
quan hệ của hai biên cô A và A.
Q
Sau khi giới thiệu về biến có đối, SGK dua ra vi dy minh hoa nhim giúp HS bước đầu thực hành xác định biến cô đối của một biến cổ và vận dụng biến có đối đề tính xác suất.
Ví dụ 4:
Gieo dong thời ba con xúc xắc cân đôi và đồng chat. Gọi A là biên cô “Tich sô châm ở
mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số chăn”.
a) Hãy tìm biến cô đôi của biến có A.
b) Hãy tính xác suất của biến có A.
Giải
a) Biến có đối của biến có A là biến có “Tich số cham ở mặt xuất biện trên ba con
xúc Xắc là $6 lé”,
52
A A ` Pa a . ` ỉ ằ 1% $
b) Tông sô trường hợp có thê xảy ra của phép thử là n(Q) =6.
A xảy ra khi mặt xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều có số chấm là số lẻ. Số kết
quả thuận lợi cho A là n(A) =3.
Xác suất của biến cố A là P(A) =—=-,
Xác suất của biến cố A là 1- P(A) ==.
8
Ở ví dụ này, HS thực sự sẽ gặp khó khăn trong việc liệt kê các kết quả có thé xảy ra.
Lúc nay, SGK chứng tỏ được rằng khi sử dụng công cụ biến có đối thì công việc tính xác suất trở nên nhanh chóng và thuận tiện hơn rất nhiều.
Tiếp theo, HS sẽ được thực hành sử dụng biến có đối đề tính xác suất của biến cô. Hơn nữa, đề tính được xác suất này, HS cần huy động thêm các kiến thức Số học dé có thé giải quyết bài toán.
9 Gieo đông thời ba con xúc xắc cân doi và dong chat. Tính xác suat các biến cô:
a) “Tich các số cham ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”;
b) “Tong các số cham ở mat xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 4”.
9 Trong hộp có 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và § viên bi vàng có kích thước và
khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 4 viên bi. Tính xác suất dé 4
viên bi lây ra:
a) Cú ớt nhất ẽ bi xanh.
b) Có ít nhất 2 bi đỏ
Trong các ví dụ này, HS có thẻ sẽ luôn thực hiện hoặc suy nghĩ đến chiến lược liệt kê số phần tứ thuận lợi cho biến cô đề bài yêu cầu trước. Tuy nhiên, các chiến lược này chắc chan sẽ được loại bỏ vi độ phức tạp cũng như số trường hợp thuận lợi. Lúc nay, chiến lược sử dụng biến cô đối sẽ phát huy tác dụng. Thực chat, HS cũng không quá khó khăn đề nhận ra khi nào thi cần sử dụng “biến cô đối” bởi đây là kiến thức có phan tương đồng khi HS học ở phan công thức tổ hợp và chỉnh hợp trước đó (HS cũng thực hiện tìm phan bù của một biến cô nao đó đề từ đó suy ra số phan tứ biến cỗ đề bài yêu cầu). Hơn nữa, ở HDTH 4, HS sẽ nhận thấy được một trong những dấu hiệu cần phải vận dụng
“biến cô đối” chính là sự xuất hiện từ khoá “có ít nhất 1”, “co ít nhất 2”.
Một số điểm khác biệt so với SGK Đại số và giải tích lớp 11 cơ bản (DS> 11 CB):
53
- SGK theo chương trình GDPT 2018 không dé cập đến các phép toán trên các biến cô như: giao, hợp của các biến có, các thuật ngữ như: hai biến có xung khắc, hai biển cố độc lập.
- Trong SGK ĐS>IICB, chuẩn kiến thức yêu cầu phải biết được công thức cộng xác suất (Nếu hai biến cỗ A,B xung khắc thì P(AUB)= P(A)+ P(B) và công thức nhân xác suất (Hai biến có A,B độc lập khi và chi khi
P(A.B) = P(A).P(B)).
- Công thức liên quan đến biến cô đối chỉ được xem là một hệ quả của công thức cộng xác suất.
Thay đôi này so với SGK ĐÐS>11CB là hoàn toàn phù hợp với YCCĐ của chương trình GDPT 2018 của Bộ ban hành (YCCD chi bao gồm nhận biết được định nghĩa của
biến có đối va tính được xác suất của biến cố đổi).
Phần cuối cùng, SGK trình bày kiến thức liên quan đến “Nguyên lí xác suất bé" như
Sau:
4. Nguyên lí xác suất bé
2 Có | hạt gạo nếp năm lẫn trong một cái thùng chứa 10 kg gạo tẻ. Lay ngẫu nhiên
I hạt gạo từ thùng. Theo bạn, hạt gạo lây ra là gạo tẻ hay gạo nếp?
Trong thực tế, các biến cỗ có xác suất xảy ra gan băng | thì gần như là luôn luôn xảy ra
trong một phép thử. Ngược lại, các biên cô mà xác sual xảy ra gân băng 0 thì gan như
không xảy ra trong một phép thử.
Trong Lý thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biêu như sau:
Nếu một biển cô có xác suất rất bé thì trong một pháp thử, biển có đó sẽ không xảy ra.
Ví dụ như khi một con tau lưu thông trên biển, xác suất dé nó bị đánh đắm là số dương.
Tuy nhiên, néu tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cỗ này rất nhỏ. con tàu có thé yên tâm hoạt động.
Nêu một nhà sản xuât tuyên bô ty lệ gây sôc phản vệ nặng khi tiêm một loại vac xin là
rất nhỏ, chỉ khoảng 0,001 thì có thé tiêm vac xin đó cho mọi người được không? Câu trả lời là không, vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá. nêu tiêm loại vac xin đó
cho hàng loạt người thì khả nang có nhiêu người bị sôc phản vệ nặng là rat cao.
Đây là một trong những điềm mới hoàn toàn của YCCD theo CT GDPT 2018 so với chương trình 2006 ở phần xác suất. Phần kiến thức này nhằm mục đích cung cấp cho
HS một nhận xét rằng: Một sự kiện có xác suất xảy ra rất nhỏ, gần bằng không thì gần