Để đa ra phơng pháp giải bài tập tôi đa ra các bài tập mÉu sau :
Bài 1 :
Khi viết số chẵn liên tiếp từ 0 đến m phải dùng 5449 lợt chữ số . Hỏi chữ số cuối cùng của dãy là chữ số nào ?
Phân tích : Bài toán này có thể coi là bài toán ngợc với bài toán minh hoạ ở dạng 4 . Muốn biết chữ số cuối cùng của dãy là bao nhiêu ta cần dự đoán xem dãy số có mấy loại số ( có 1 chữ
số , cố 2 chữ số , có 3 chữ số ...) Từ đó mới tìm đợc số hạng cuối cùng của dãy
Tôi hỏi học sinh :Em dự đoán xem dãy số bài ra có mấy loại số ?( 4 loaị số ) Vì sao ? ( vì tổng số chữ số có 1 chữ số
đến các số có 3 chữ số là : 1 x 5 + 2 x 45 + 3 x 450 = 1445 ( chữ số ) , tổng số chữ số có 1 chữ số đến các số có 4 chữ số là : 1445 + 4 x 450 = 3245( chữ số ) , do đó 1445 < 5449 <
3245 )
Bài giải ( Cách 1)
2 số chẵn liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị
Các số chẵn có 1 chữ số là :(8 - 0 ) : 2 + 1 = 5 ( số ) nên có :
1 x 5 = 5 ( lợt chữ số )
Các số chẵn có 2chữ số là :(98 - 10 ): 2 + 1 = 45( số ) nên cã :
2x 45 = 90 ( lợt chữ số )
Các số chẵn có 3chữ số là :(998 - 100 ) : 2 + 1 = 450 (số ) nên có :
3 x 450 = 1350 ( lợt chữ số )
Số lợt chữ số còn lại để viết các số chẵn có 4 chữ số là : 5449 - ( 5 + 90 + 1350 ) = 4004 ( lợt chữ số )
4004 lợt chữ số viết đợc số lợng các số có 4 chữ số là 4004 : 4 = 1001 ( sè )
Ta có dãy số có 4 chữ số sau : 1000 ; 1002 ; 1004 ; ...; m 1001 sè
Số các số hạng = ( số lớn nhất - số bé nhất ) : khoảng cách + 1 ta cã :
( m - 1000 ) : 2 + 1 = 1001 ( m - 1000 ) : 2 = 1001 - 1 ( m - 1000 ) : 2 = 1000
m - 1000 = 1000 x 2 m - 1000 = 2000 m = 3000
Vậy chữ số cuối cùng của dãy là chữ số 0 ở hàng đơn vị của số 3000
Ngoài ra dựa vào phần đầu của cách 1 ta cũng có thể có nhiều cách khác để tìm ra số hạng cuối cùng của dãy rồi tìm ra chữ số cuối cùng của dãy số nh sau:
Bài giải ( Cách 2) : Phần đầu nh cách 1
Nh vậy tính đến chữ số thứ 5449 thì viết đợc 1001 số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000
Từ 1000 đến số cuối cùng của dãy số có khoảng cách là : 1001 - 1 = 1000 ( khoảng cách )
Số hạng cuối cùng hơn số hạng đầu tiên là : 2x1000=2000(đơnvị)
Số hạng cuối cùng của dãy là : 2000 + 1000 = 3000
Vậy chữ số cuối cùng của dãy là chữ số 0 ở hàng đơn vị của số 3000
Bài giải ( Cách 3 ) Từ cách1 thì dãy có số các số chẵn là : 5+ 45 + 450 + 1001 = 1501 ( số chẵn )
Từ số 0 ( số hạng đầu tiên ) đến số hạng thứ 1501 có khoảng cách là :
1501 - 1 = 1500( khoảng cách )
Số hạng cuối cùng hơn số hạng đầu tiên là : 2 x 1500 = 3000 ( đơn vị )
Số hạng cuối cùng là : 3000 + 0 = 3000
Vậy chữ số cuối cùng của dãy là chữ số 0 ở hàng đơn vị của số 3000
Bài giải ( Cách 4) Từ cách 1 thì từ dãy số có các số chẵn là : 5 + 45 + 450 + 1001 = 1501 ( số chẵn )
Nếu viết thêm 1500 số lẻ liên tiếp xen kẽ thành dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 0 thì dãy mới có số các số hạng là :
1501 + 1500 = 3001 ( sè )
Vì dãy số mới là dãy tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 0 nên số hạng cuối cùng của dãy là số 3000 . Chữ số cuối cùng của dãy là chữ số 0 ở hàng đơn vị của số 3000
Trong các cách làm trên tôi nhận thấy đa phần các em hiểu cách 1 hơn . Do đó tôi hớng dẫn các em trọng tâm đến cách 1 còn các cách khác tôi khuyến khích các em làm .
Bài 2 Cho dãy số : 2 ; 4 ; 6 ;8 ....1994 ; 1996
a, Dãy số trên có bao nhiêu chữ số b, Tìm chữ số thứ 2000 của dãy
Phân tích : Dãy số bài ra là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 . Do đó muốn tính xem dãy số đó có bao nhiêu chữ
số ta làm nh thế nào ? ( Phân tách dãy số bài ra thành các dãy số nhỏ cùng loại số , tính số chữ số trong các dãy số nhỏ cùng loại rồi cộng các kết quả lại )
Muốn biết chữ số thứ 2000 của dãy ta cần phải tìm chữ số chứa chữ số thứ 2000 của dãy . Để tìm đợc ta cần dự đoán xem số đó thuộc dãy số nào ? Từ hớng dẫn đó tôi yêu cầu HS thảo luận nhóm để tìm ra cách giải nh sau :
Bài giải
a,Các số chẵn có 1 chữ số từ số 2 là :(8 - 2 ) : 2 + 1 = 4 ( sè )
Các số chẵn có 2chữ số là :(98 - 10 ): 2 + 1 = 45( số ) Các số chẵn có 3chữ số là :(998 - 100 ) : 2 + 1 = 450 (số ) Từ 1000 đến 1996 có : ( 1996 - 1000 ) : 2 + 1 = 499 ( số chẵn có 4 chữ số )
Vậy cả dãy số có :
1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 499 = 3440 ( ch÷ sè ) b, Theo câu a thì từ 2 đến 998 có :
1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 = 1444 ( ch÷ sè ) Do đó còn lại :
2000 - 1444 = 556 ( ch÷ sè )
Dùng 556 chữ số để viết các số chẵn có 4 chữ số từ 1000 trở lên ta đợc :
556 : 4 = 139 ( sè )
Số chẵn có 4 chữ số đầu tiên là : 1000 Số chẵn có 4 chữ số thứ 139 là x , ta có : ( x - 1000 ) : 2 + 1 = 139
( x - 1000 ) : 2 = 138 x - 1000 = 138 x 2 x - 1000 = 276
x = 1276
Vậy dãy số chẵn từ 2 đến 1276 gồm đúng 2000 chữ số Suy ra chữ số thứ 2000 của dãy là 6 ( của số 1276 )
Bài 3 : Cho dãy số : 1 ; 2; 3; .... ; 1991 ; 1992 a, Dãy số đó có bao nhiêu chữ số ?
b, Tìm chữ số thứ 3000 của dãy số
Tôi hớng dẫn học sinh làm bài này nh sau :
Câu a , yêu cầu học sinh tự làm bài rồi thông báo kết quả . GV - HS nhận xét chỉnh sửa
Câu b , Tôi yêu cầu học sinh tơng tự nh bài tập 2 sẽ thảo luận nhóm để tìm ra lời giải . Khi đó đa phần các nhóm đều cảm thấy lúng túng khi tìm xem dãy số có 4 chữ số gồm bao nhiêu số ( vì ở bài này 114 : 4 = 27 ( d 3 )
Còn 1 số nhóm thì giải thích và làm đợc đó là ( Dãy số có 4 chữ số gồm 27 chữ số và số thứ 28 của dãy này chính là số chứa chữ số cần tìm
Bài giải
a, Từ 1 đến 9 có : ( 9 - 1 ) : 1 + 1 = 9 ( số có 1 chữ số ) Từ 10 đến 99 có : ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 ( số có 2 chữ số ) Từ 100 đến 999 có : ( 999 - 100) : 1 + 1 = 900 ( số có 3 ch÷ sè )
Từ 1000 đến 1992 có : ( 1992 - 1000 ) : 1 + 1 = 993 ( số có 4 ch÷ sè )
Vậy dãy số có :
1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 900 + 4 x 993 = 6861 ( ch÷ sè ) b , Từ 1 đến 999 có :
1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 900 = 2889 ( ch÷ sè )
Do đó còn : 3000 - 2889 = 111 ( chữ số của các số có 4 ch÷ sè )
Vì 111: 4 = 27 ( d 3 ) nên có 27 số có 4 chữ số đã viết ( còn d 3 ch÷ sè n÷a )
Số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số là : 1000 Số tự nhiên có 4 chữ số thứ 27 là x , ta có :
( x - 1000 ) : 1 + 1 = 27 X - 1000 = 26
X = 1026
27 số có 4 chữ số là :
1000 ; 1001 ....; 1025 ; 1026
Vậy với 3000 chữ số , ta đã viết đến số 1026 và 3 chữ số còn d nữa của số tiếp theo 1027
Chữ số thứ 3000 của dãy số là chữ số 2 ( của số 1027 )
. Nh vậy tôi vừa trình bày 3 bài toán trên và với sự khác biệt của 3 bài toán sẽ cho tơng ứng 3 trờng hợp cụ thể của dạng bài này đó là :
TH1 : Tìm chữ số cuối cùng của dãy số
TH 2 : Tìm chữ số bất kì của dãy số ( trờng hợp chia hết ) TH 3 : Tìm chữ số bất kì của dãy số trờng hợp chia có d Trong đó trờng hợp 1 có thể coi là trờng hợp đặc biệt của trờng hợp 2
Từ đó tôi đa ra phơng pháp chung nh sau : Bíc 1:
Dãy số bài ra có mấy loại số (số có 1chữ số , 2 chữ số , có 3 ch÷ sè ...)
Bớc 2 : Xem chữ số cần tìm thuộc dãy số nào ? Bớc 3 : Tìm số chứa chữ số cần tìm rồi kết luận
Để củng cố thêm cho phơng pháp đó tôi đa ra 1 số bài tập
áp dụng nh sau
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho dãy số : 2; 4 ;6 ; 8 ....; 1990 ; 1992 Tìm chữ số thứ 3000 của dãy
Bài giải B
ớc 1 : Tính số chữ số của dãy
Các số chẵn có 1 chữ số từ số 2 là :(8 - 2 ) : 2 + 1 = 4 ( sè )
Các số chẵn có 2 chữ số là :(98– 10 ): 2 + 1 = 45( số )
Các số chẵn có 3 chữ số là :(998 - 100 ) : 2 + 1 = 450 (số )
Các số chẵn từ 1000 đến 1992 có : ( 1992 - 1000 ) : 2 + 1
= 497 ( số chẵn có 4 chữ số ) Vậy cả dãy số có :
1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 497 = 3432 ( ch÷ sè ) B
ớc 2 : Xét xem chữ số thứ 3001 thuộc dãy số có mấy chữ
sè
Các số chẵn từ 2 đến 998 có tất cả :
1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 497 = 1444 ( ch÷ sè ) NhËn thÊy 1444 < 3001 < 3432
Do đó chữ số thứ 3001 thuộc dãy số tự nhiên chẵn có 4 chữ số bắt đầu từ 1000
B
ớc 3 : Tìm số chứa chữ số thứ 3001 của dãy
Từ chữ số thứ 1444 đến chữ số thứ 3001 có số chữ số là : 3001 - 1444 =1557 ( chữ số của các số chẵn có 4 chữ số ) Dùng 1557 chữ số để viết các số chẵn có 4 chữ số bắt
đầu từ 1000 trở lên ta đợc :
1557 : 4 = 389 ( sè ) d 1 ch÷ sè
Số chẵn có 4 chữ số đầu tiên là : 1000 Số chẵn có 4 chữ số thứ 389 là x , ta có : ( x - 1000 ) : 2 + 1 = 389
( x - 1000 ) : 2 = 388 x - 1000 = 388 x 2 x - 1000 = 776 x = 1776
Vậy với 3001 chữ số , ta đã viết đến số 1776 và 1 chữ số nữa của số tiếp theo là 1778
Chữ số thứ 3001 của dãy thuộc số 1778 và chữ số thứ 3001 của dãy là chữ số 1 ( vì d 1 )
Bài 2 Khi viết dãy số lẻ liên tiếp từ 1 đến x cần dùng 2001 ch÷ sè
a, Hỏi chữ số cuối cùng của dãy là chữ số nào ? b, Chữ số thứ 100 là chữ số nào ?
Bài giải
2 số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị a, B ớc 1 : Tìm số chữ số của dãy
Các số lẻ từ 1 đến 9 có : ( 9 - 1 ) : 2 + 1 = 5 ( sè ) Các số lẻ từ 11 đến 99 có : ( 99 - 11 ) : 2 = 1 = 45 ( sè ) Các số lẻ từ 101 đến 999 có : ( 999 - 101 ) : 2 + 1 = 450 ( sè ) Các số lẻ từ 1 đến 999 có tất cả :
1 x 5 + 2 x 45 + 3 x 450 = 1445 ( ch÷ sè ) B
ớc 2 : Xét xem chữ số cuối cùng của dãy thuộc dãy số nào ? Chữ số thứ 2001 của dãy thuộc dãy số tự nhiên lẻ có 4 chữ số B
íc 3 :
Chữ số thứ 1445 đến chữ số thứ 2001 có số chữ số là : 2001 - 1445 = 556 ( ch÷ sè )
Dùng 556 chữ số để viết các số lẻ có 4 chữ số bắt đầu từ 1001 trở đi ta đợc
556 : 4 = 139 ( sè )
Số lẻ có 4 chữ số đầu tiên là : 1001 Số lẻ có 4 chữ số thứ 139 là x , ta có : ( x - 1001 ) : 2 + 1 = 139
( x - 1001 ) : 2 = 138 x - 1001 = 138 x 2 x - 1001 = 276 x = 276 + 1001 x = 1277
Vậy chữ số cuối cùng của dãy là chữ số 7 ở hàng đơn vị của số 1277
b, Các số lẻ từ 1 đến 99 có tất cả : 1 x 5 + 2 x 45 = 95 ( ch÷ sè )
Do đó chữ số thứ 100 của dãy thuộc dãy số tự nhiên lẻ có 3 ch÷ sè
Chữ số thứ 95 đến chữ số thứ 100 có số chữ số là :
100 - 95 = 5 ( ch÷ sè )
Dùng 5 chữ số để viết các số lẻ có 3 chữ số bắt đầu từ 101 trở lên ta đợc :
5 : 3 = 1 ( sè ) d 2 ch÷ sè
Vì vậy số 103 chứa chữ số thứ 100 của dãy và chữ số thứ 100 của dãy là chữ số 0 ( vì d 2 )
Tóm lại : Để giải tốt dạng bài này , GV cần rèn cho học sinh kĩ năng tính số chữ số của các dãy số cùng loại số ( cùng có 1 chữ số , cùng có 2 chữ số ....)
Biết dự đoán chữ số cần tìm thuộc dãy số nào ? Và từ đó tìm ra số có chứa chữ số cần tìm.